CHAPITRE III

Des nombres complexes.

67. Ce chapitre et le suivant ne sont, en quelque sorte , qu'une extension du second , puisqu'ils ne renferment que des applications de la théorie générale des fractions à des questions dans lesquelles on confère des fractions d'une es« pice particulière.

La théorie des nombres complexes, qui fait l'objet de celuici, a perdu, il faut l'avouer, un peu de son importance, depuis rétablissement du Système de'cimal des poids et mesures. Cependant , nous avons cru devoir l'exposeï^ avec autant de uéveloppeftient qu'on lui en donnait dah^ les anciens onvnslges, parce que nous la regardons comme très propre à familiariser lés jeunes gens avec la considération des fractions , et à leur wOflner cét/e "habitude de calcul, qu'on ne saurait trop leur ï'ecommander de travailler à acquérir (*). D'allleiirs, la complication des calculs que cette théorie comporte ne fera <tQe mieux ressortir l'avantage du nouveau Sy s tjème des poids et mesures sur l'ancien. .

n n existe une autre raison piiise'e d^n^ la considération des mcsares ^tiSDgènf, de la division da temps, etc.

ga DES irOMBEKS COMPLEXES.

On a déjà tu (n^ 8) que, pour évaluer les quantités plus petites que V unité principale , on conçoit cette unité divisés en un certain nombre de parties égales qu'on regarde elles-mêmes comme formant de nouvelles unités. Mais afin de rendre les calculs plus commodes , au lieu de partager tout d'un coup l'unité en un grand nombre de parties égales , on ne la divise d'abord qu'en un certain nombre de parties ; puis on subdivise celles-ci en d'autres , et ces nouvelles encore en d'autres parties. C'est ainsi que, pour les monnaies, on partageait autrefois la livre en 20 parties égales appelées sous, le sou en 1 2 parties égales appelées deniers. De même , l'unité de longueur, ou la toise , était divisée en 6 pieds, le pied en douze pouces , etc. ...

Chaque art subdivisait à sa manière l'unité principale qu'il s'était choisie {*). Voici un tableau qui présente les subdivisions des unités principales de ces différentes sortes de quantités :

Pour les monnaies.

68. La livre vaut 20 sous, le sou 12 deniers ^ donc la livre vaut 12 fois 20, ou 240 deniers.

On dit encore que le sou est la 20' partie de la livre') le de* mer est le 12* du sou > ou la 240* partie de la livre.

Pour les longueurs.

La toise vaut & pieds, le pied 17, pouces, le pouce 12 lignes f donc la toise vaut 12 fois 6, ou 72 pouces, 12 fois 'j2f oa 864 lignes.

Ou bien , le pied est le 6' de la toise ; le pouce est le I2* ds pied, ou le 72* de la toise; la ligne est le 12* du pouce, ou la 864' partie de la toise.

Pour les mesures itinéraires.

La lieue moyenne vaut 225o toises; elle se subdivise en *• mies , en quarts, et en demi-quarts ou huitièmes de lieue.

C) yoyez , pour Phi^toire et Torigincde ccf fortef de mcfurei^ an ountR" de M. Saiset, ayant pour lîlro ; Traité de Métrologie ancienne et moderf^'

OPÉRATIONS PRitmmAtRES SUR LES NOMBRES COMPLEXÉS. 9$

Pour les poids,

La livre vaut 2 marcs, le marc 8 onces , l'once 8 gros, le gros 72 grains ; donc la livre poids vaut 8 fois 2 , ou 16 onces, 8 fois 16, ou 128 gros, 72 fois 128 , ou «^216 grains.

Ou bieu encore ,' le marc est la moitié de la /iVre poids ^ Yonce est le 8* du marc ou le i6* de la /zVrcy le gros est le 8* de Vonce ou la 128^ partie de la livre ^ le grain est le 72' du gros ou la 9216* partie de la livre.

Pour le temps,

le jour se subdivise en 24 heures, l'heure en 60 minutes, la ininuteen 60 secondes, la seconde en 60 tierces. U année est de 365 jours j (ou de 366 dans les années bissextiles).

On appelle nombre complexe tout nombre concret (n**2) qui est décomposé en.plusieurs parties rapportées respectivement à desunités différentes ; et par opposition , celui qui est rapporté à ^e seule espèce d'unité, s'appelle nombre incomplexe. Ainsi , i3» 17-^ 9% 25^ 4** 7P 6S 41 tt i« f"' 5f l'jsr.... sont des . Rotabres complexes; 8 livres , 17 toises, 23 grains.... sont des nombres incomplexes.

69. Nous commencerons la théorie des nombres complexes par le développement de deux opérations qui lui sont particulières, et qui peuvent être regardées comme servant de base aux ^tre opérations principales. La première a pour objet, un fiombre complexe étant proposé, de le convertir en un seul nom^ ^re fractionnaire de r unité principale ;\a. seconde, étant donnée réciproquement une expression fractionnaire dune unité prin^^ cipale quelconque, d'en déduire le nombre complexe qu'elle ^présente.

I*. Soit 1 7*^ 5^ 7? 1 1^ i réduire en un seul nombre fraction^ noire de toise,

n est clair que, si l'on parvient à déterminer le nombre de

A^ QPÉBATIONS PRÉLIMINJLIRES

lignes que comprend le nombre proposé , il suffira ensuite donner le nombre 864 pour de'nominateur au résultat, pi:

que , d'après le tableau (n** 68) , la ligne vaut ^-tt? de to

Réduisons donc le nombre proposé , en lignes.

D'abord , puisque la toise vaut 6 ' 7 ^ 7' ^ •

pieds, on réduira en pieds 17'' 5^ en

multipliant 17 par 6, et ajoutant au ^^1

produit les 5 pieds que Ton a déjà ; on

obtient ainsi 1 07*^ pour résultat. , ^

Maintenant, comme le pied vaut 1 2P, , 55o3 on réduira en pouces 107^ 7P en multipliant 107 par 12 et ajoutant 7 au produit; ce qui do:

Enfin , puisque le pouce vaut 12 lignes, il suffit, pour rédt 1291^ 1 1* en lignes , de multiplier 1291 par 12 et d'ajoutei au produit , ce qui donne i55o3 lip,nes pour le nombre total lignes que contient le nombre 17"^ 5^ 7? 11*.

Donnant donc à i55o3 le dénominateur 864, on obtient -5:

oc

de toise pour le nombre demandé.

N» B, — Dans cette opération, nous avons été cond deux fois à multiplier par 12. En général, la multiplicat par le facteur 12 est très fréquemment employée dans théorie des nombres complexes; et il faut savoir multiplier nombre par 1 2 , comme on le multiplierait par un nom d'un seul chiffre. Toutefois, en attendant que la mémoire 1 assez exercée , on peut faire usage d'une Table de mullipll tion (n** 18) , étendue jusqu'à 12 inclusivement.

L'exemple précédent suffit pour mettre au fait de la mar qu'il faut suivre pour effectuer la première opération.

Voici en quoi elle consiste : multipliez d'abord le nom it unités principales que renferme le nombre complexe, pu nombre des unités de la plus haute subdivision, qui entrent à T unité principale , et ajoutez au produit les unités de c subdivision , que vous avez déjà.

SUR LES NOMBRES COMPLEX^.' qS

Multipliez le résultat ainsi obtenu par le nombre it unités ' de h seconde subdivision, que renferme la première , etajou-^ tezau produit les unités de la seconde subdivision, que vous avez déjà.

Multipliez le nouveau résultat par le nombre d'unités de la troisième subdivision , que renferme la seconde , et ajoutez au produit j etc.,; continuez ainsi ropération jusqu'à ce que vous soyez parvenu à la dernière subdivision.

Donnez erifin pour dénominateur au dernier résultat , le Jtombre d* unités de la plus petite subdivision, que contient hnité principale, nombre qui se trouve compris dans le tableau (n*» 68).

^ ÏO. 2°. Soit le nombre fractionnaire

en un nombre complexe.

On commence par diviser 6i5 par 23 comme à l'ordinaire , ce qui donne pour quotient 26 et pour reste 17 ; ainsi, l'on pejit déjà dire que le

nombre propose' est égal à 26^ plus -~

^e toise. Mais puisque la toise vaut

o pieds, il s'ensuit que -~ de toise

ï^c^iennent à -^de 6 pieds, c'est-à-

j. . . , 6 fois in , 102 j wre (tt«> e») à j— ^ ou à —5- de

pied; et autant de fois 102 contiendra 23, autant de pieds on ^uraau quotient. D'où l'on voit que, parvenu au reste 17, pour obtenir des pieds, on doit multiplier 17 par 6 et diviser le produit 102 par 23; ou obtient ainsi pour quotient 4^ et pour reste 1 0^ : le nombre proposé est donc égal à 26*^ 4^

plus -^ de pied.

En raisonnant sur cette nouvelle fraction comme sur la

— r- de toise à réduire

26T4»-5P2' il

96 Ot»éllAtIONS PRÉLIMINAIRES

précédente , on verra que , pour la réduire en pouces , il 8u£St de multiplier le reste 10 par 12, et de diviser le produit 120 par 23 ; il vient alors pour quotient 5? et pour reste 5^.

Multipliant ce nouveau reste par 12 pour avoir des lignes, on obtient le produit 60, qui , divisé par 23 ', donne au quotient 2, avec le reste i4^

Donc enfin , le nombre proposé est égal à 26*^ ^^ S^ n^ -^.

Ordinairement, on néglige la fraction — de ligne, ou bien

on l'estime à peu près. Ici, par exemple , si Ton avait — au lieu

lA. « 2 .

de ~^, la fraction équivaudrait à cligne. Mais, comme le dénominateur est plus grand que 21, il s'ensuit que -~ est plus

petit que » ligne. On reconnaîtrait de même que cette frac«

tion est plus grande que - ligne.

RÈGLE GÉNÉRALE. — Pour effectuer la seconde opération, divisez le numérateur du nombre fractionnaire proposé, par le dénominateur; vous obtenez ainsi un quotient qui exprime les unités principales , et un certain reste.

Multipliez ce reste par le nombre d'unités de la première subdivision, que renferme V unité principale, et divisez leprO' duitpar le dénominateur; vous obtenez un nouveau quotient qui exprime les unités de la première subdivision, et un nou" veau reste.

Multipliez ce reste par le nombre d'unités de la seconde subdivision, que contient la première, et divisez le produit pa^ le dénominateur; vous obtenez pour quotient les unités de UM' seconde subdivision, et un nouveau reste sur lequel v<ntS opérez comme sur les précédens. Vous continuez ainsi Topé-ration jusqu'à ce que vous soyez parvenu à la dernière sub^ division.