MULTIPLICATION DES NOMÇEES COMPLEXES* I

Uaune dune certaine étqffe coûtani 65* i^^ 11^, on rfe- ''«^««fe le prix de 89 aunes 4.

17'^ ir

pour ic^.,.

Pïûsqu'une aune coûte 65* 1 7*^ 1 1*', il est clair que 3^ aunes gdoîvept coûter 3g fois 65* 17^ ik^, plus les -de ce mêihe «ombre ; c'est-à-dire qu'il faut multiplier d'abord 65* 17-^ ii^ P*** ^9 > et ensuiie par ^.

l'A première multiplication n'offre aucune diflLcuUé, d'après ^ ^Hiftété dit ci-dessus ; ainsi, nous ne nous y arrêterons pas, ^ obtient les 8 premiers produits partiels comme précé- ^meat.

Passons à la multiplication par ^. Or cette fraction peut se ^^^mposer en ^ ou -, plus g, qui est la moitié de î, plus g, ^^^«8t la moitié* de ^ ; donc , pour obtenir le produit par g^

110 MtTLTIPLICATION DES ITOHBRCS COttPLEXCS.

que Top ait effectué le produit de sS^ ig^ 5^ par 69; et 1>

somme de ces premiers produits partiels exprimera le ^rb

des 6g tt)ises.

Maintenant, pour déterminer le prix de 4^ 11' du mém^

ouvrage, observons qu'une toise coûtant 25^ 19^ 5^,4 P'^4^* ^^

3 pieds plus i pied, c'est-à-dire -^ plus 7 de toise, doivent

coûter les g ou la moitié, plus le 7^9 ou le tiers de la VMiiié d^

a5^ 19*^ 5^. De même , 1 1 pouces se décomposant en 6 pouce^ •

plus 3 pouces, plus 2 pouces, ou bien, en — ,plus — ipW^

deux fois — de pied , doivent coûter la moitié du prix que

l'on aura obtenu pour le pied , plus la moitié de cette miAi^y plus enfin deux fois le tiers de cette nouvelle moitié. Il &ut donc former tous ces produits.

D'abord, pour 3 pieds, on prend la moitié de 25*" ig^S^^ ^^

qui donne 12** ig*^ 8*» -; pour i pied, on prend le tiers de ^^ produit, et l'on trouve 4^6^ 6^ ^ (en observant que, lor^"* qu'on est parvenu aux deniers , il en reste 2 , qui, joints à ^»

donnent - dont le ^ est ^). Pour 6 pouces , on prend 1^

moitié du produit précédent, et il vient 2** 3*^ 3*^ — ; poU^

3 pouces , on prend encore la moitié de ce dernier produit f ce qui donne i*" i»^ 7*^ -y. Enfin, pour i pouce, on prend le

tiers de celui-ci , et l'on a o*" 7*^ 2^ — , produit que l'on écrit

deux fois.

Quant à l'addition des produits partiels, on la fait , comme dans le premier exemple, en observant toujours que le dénominateur 72 est multiple de tous les autres , et qu'alors on peut appliquer aux fractions les simplifitations du n? 48.

MULTIPUGATIOir DES lïOMBKES CMQPEJEXES. lit

S usqu'à pressent le multiplicande exprimait -des livres, sous et deniers, et alors le produit représentait des unités et subdivisions de la même nature > Voici une nouvelle question dans lac^uelle le multiplicande et le produit expriment des toises , {ieds y pouces. .. •

On peut faîte exécuter G^l^ ii9 pour i*; on demande fc nombre de toises qu* on fera exécuter pour ^S^ ig*' 5^.

Il est évident que, pour obtenir le nombre de ^ises demandé, il faut multiplier 69*^ 4' 1 1 p par 26 livres, et par les subdivisions de la livre, que comporte l'énoncé ; car si pour une livre on a pu faire exécuter 69*^ 4' 1 1 ^> il s'ensuit que pour 19 sous ,

ou -2 de livre, on peut faire exécuter les -^ de i^*^ 4^ ' ^^i

c'est-à-dire les — ou la moitié , plus les — ou la moitié de

« moitié , plus etc. . . .

Nous nous bornerons à présenter le tableau des calculs de

<^tte nouvelle multiplication :

Pour

GgT

iiP

lO'''....

II yj.. . I. . .7

112 MULTIFUGATION DES NOMBRES COBCPLEXES.

77. N, B, — Observons que, dans ce dernier exemple, M. deux facteurs de la multiplication sont les mêmes que de l'exemple précédent ; et cependant , on a obtenu deux sultats qui diâ'èrent Tun de l'autre , sinon par l'entier qui y entre , du moins par la nature de l'unité principale, et par I^ subdivisions de cette unité. Ainsi le principe du n^ Stf , qui consiste en ce que l'on peut intervertir V ordre des facteurs Sun produit, sans clianger le produit, ne semble vrai que pour les nombres abstraits. Pour le rendre applicable au cas de deux nombres complexes , il faudrait concevoir chacun de ces nombres réduit (n° 69) en un seul nombre fractionnaire de l'unité principale qui lui correspond ; et les deux nombres qu'on obtiendrait en intervertissant l'ordre des facteurs seraient égaux , abstraction faite toutefois de la nature de l'unité principale , laquelle devrait être difierente dans les deux produits. Il résulte, en effet, de la définition de la multiplication , que , toutes les fois que Ton considère des nombres concrets, le produit et le multiplicande doivent être de même nature; tandis que le multiplicateur, quoique pouvant être d'abord exprimé par un nombre concret , doit toujours être considéré , dans l'opération, comme un nombre abstrait qui désigne combien de fois on doit répéter le multiplicaiide, ou quelle partie on en doit prendre. 11 faut donc , lorsqu'on a une multiplication à effectuer, avoir soin de déterminer lequel des deux facteurs doit être pris pour multiplicande , ce qui n'est pas difîicile, puisqu'il est toujours de même nature que le produit , et que la nature de celui-ci est indiquée par l'énoncé de la question.

78. La preuve naturelle de la multiplication se fait parla division ; mais il est en général plus simple, à cause des fractions conipliquées que renferme souvent le produit, de doubler le multiplicande et de prendre la moitié du multiplicateia, ou réciproquement. Nous engageons les commençans à reprendre les opérations ci-des%ns, et à en faire les preuves d'aprèi cette méthode. Voici d'ailleurs dç nouveaux exemples sur lesquels ils peuvent s'exercer ;

DIVISION DES NOMBRES COltPLEXES. Il3 /

1*». Déterminer le prix de 35fc i"* S'* 4* 4^ dune certaine

marchandise, en supposant que la livre poids coûte aS*" i^^Z^»

RésuUat:^^S^B^ 10^^.

2*. Multiplier iSg*^ 5^ pP ïi^par aS* 19»^ il*.

fle^i/Z/fl/ .• 3635'^ 2^ 5P I o^ ^.

3'. Multiplierai^ 17»^ g^ par i5*" ii*'' 5*.

jReVwZ/û/ .• 496*- 10-^ 3^ 1^.

Nous aurons à traiter, par la suite {Chap. VJl), des ques« lions susceptibles de donner Ueu à la dernière opération.

division des nombres complexes. L

Nous dtstinguèrons également deux cas principaux : ou le dividende et le diviseur sont de nature différente ; ou bien ils sont de même nature.

79. Premier cas. — Le dividende et le diviseur e'tant de nature différente.

Bans ce cas , il peut arriver deux circonstances : ou le diviseur est incomplexe, ou bien il est complexe.

I*. Si le diviseur est incomplexe , considérez^le comme ^strait, et effectuez la division du dividende par le diviseur, en réduisant le quotient en unités principales et subdivisions de la même nature que le dividende.

^•.Si le diviseur est complexe, conveirtissez-le (a? 69) en un '<^ul nombre fractionnaire de son unité principale; multipliez ^ dividende par le dénominateur de la fraction diviseur, et divisez le produit par le numérateur, en réduisant toujours le ^^otient en unités principales et subdivisions de .la même ^ture que le dividende.

PREMIER EXEMPLE

On demande le prix de la toise d'un certain ouvrage, en ^^'Pposant que l'on ait pajé olS^Ôcj^ ig^ ii^ pour 568 toises du ^ni^cuvrage.

Il4 DIVISION DIS VOXBRES COMPLEXES.

. L^prix de la toise étant connu, 25469*' lo-^ 11^ en le multipliant par 568 on de- 2740 vrait reproduire 25469* 19*^ 1 1^; /-„ donc il faut diviser ce dernier nombre par 568.

Après avoir divise' 26469 par 9 9 568 comme à l'ordinaire , ce qui '9 donne 44 livres pour quotient, et 47 ^

477 livres pour reste , on réduit ]^

ce reste en sous en le multipliant 5663 par 20, et l'on ajoute au produit 55 1 les 19*^ du dividende, ce qui donne 9559*^, que l'on divise encore par 568 ; il v quotient i6*^, et pour reste 47**^ ^"^ ^'^^ mullipl pour en faire des deniers ; ajoutant au produit les du dividende, on trouve 5663^, que l'on divise de ne 568, ce qui donne pour quotient 9^ et pour reste i

le quotient total, ou le prix de la toise, est 44*^ 1^

SECOND EXEMPLE

On a acheté 258tb i"* 7"» 5«^ de marchandise pour de 3259* 1 7*^ lo^y on demande à combien revient la i de celte marchandise»

Le prix de la livre poids étant connu , en le mulli 2581b il"* 7*"* 5*^, on devra reproduire 3269* 17''' 10^ faut encore diviser le second nombre par le premier

DIVISION DES NOIArES COMPLEXES.

ii5

pour

SaSg* 26072 65i8

^T^Tès avoir converti le diviseur en un seul nombre frac* tioa t.>aîre^ suivant la règle du n® 69, on trouve pour ce diviseur,

"^^^9 puisque (n® 68) le gros est la 128* partie de la livre

* "^ 33iuQ concis j mais pour diviser 3269* 17*^ 10^ par ^ , il faut

K ^2) multiplier le dividende par le dénominateur 128, ce qui

^ûnue, comme on le voit de l'autre part, 4*7^66* a*'' 8**, et

diviser ce produit par le numérateur 33 149; cette dernière

j opération rentre dans celle de l'exemple précédent , et l'on

U*ouve, pour le prix demandé, la*" ii'^g^ \\T*

Il6 DITISIOlf DES NOMBRES COXf'LEXES.

Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la marcbe qu'il faut suivre dans tout autre.

80. Second cas. — Si le dividende et le diviseur sont de même nature, réduisez (n** 69) les nombres en unités de la plus petite des subdivisions qu'ils renferment , puis effectuez la division du premier résultat par le second, en exprimant, suivant la règle du n^ 70 , le quotient en un nombre complexe de la nature indiquée par l'énoncé de la question.

Ceci va s'éclaircir sur des exemples.

PREMIER EXEMPLE

La toise et un certain ouvrage coûte 47* '9''^ ^^J on de^ mande le nombre de toises que l'on peut faire exécuter pour 2728** i']'^ 10*^.

Si l'on connaissait le nombre de toises demandé , il est clair qn'en mullipliant le prix d'une toise, où 47* ^^"^ 5**» par ce nombre, on devrait reproduire 2728*" 17*'' 10*^5 donc il faut diviser 2728** 17^ 10** par 4?* igf^ 5\

20 ^20^ 79284 56T 5? 3p gi

654934 ii5i3

.'^ ii4i56 reste . io539

Après avoir réduit en deniers les deux nombres proposés,

on trouve que le premier revient à — > • de livre, et le se- * * 240

DITISION DES IfOMBKES COMPLEXES. II7

cond i — — de livre. Or, pour diviser le premier nombre par

le second, il faut (n* 62) renverser la fraction diviseur, ce qui

doni:ie^ — j-- et multiplier — ^-^ par — %-^ : mais le fac^ u5i3 * 1240 ^ Ii5i3

teur ^^Q entrant à la fois dans le produit des nume'rateurs et dans celui des dénominateurs, on peut le supprimer, et il

vierxt: — ^^-^ ; donc, tout se re'duit à diviser 654q34 par n 5i 3 , ii5i3 -^ ^r

<^6 ciui est conforme à la règle établie plus haut. Nous n'en* trerons dans aucun détail sur cette division , qui s'effectue, coitime on le voit ci-dessus, d'après la règle dun* 70j nous observerons seulement que, suivant l'énoncé delà question, le

iiouitie fractionnaire — -™-;r doit élre évalué en toises, pieds,

ii5i3 ^

Pouces, etc. .. .

On trouve ainsi pour résultat , 56*^ 5^ 3p 9* — ç-^.

SECOND EXEMPLE

On a payé i"^ pour i5^ 4^ 9I? d'un certain ouvrage; on de." >nande la somme qu'il faut payer pour 329*^ 5^ 11^8*.

Si l'on connaissait la somme demandée, en multipliant i5^ 4' 7^ P*"^ cette somme, on devrait reproduire 329''* 5^. . . ;

ou bien encore, autant de fois 329*^ 5^ contiendront

i5^ 4' 7^> autant de livres, sous , et deniers , on devra payer, O'où l'on voit qu'il faut diviser les deux nombres donnés Fan par l'autre; et le quotient exprimera en livres, sous, et deniers, la somme demandée.

ii8

DITISIOir DES ROKBBES COMPLEXES.

285ii6

20^ ifr^ 8*

ii35

285ii6

Après avoir réduit les deux nombres en lignes (parce que la ligne est la plus faible des subdivisions qui y entrent) on trouve

que le premier e'quivaut à ^^^ de toise , et le second à

de toise ; d'où l'on tire, en multipliant le premier par le

second renversé, — =7; — • convertissant ce nombre fraction-

naire en un nombre complexe de la livre , on obtient pour le

quotient cherché, 20* 18*^ 8^ ^ ou .

N. B. — Si l'un des termes de la division était incomplexe, il n'en faudrait pas moins réduire les deux nombres en unités de la plus petite subdivision qui se trouverait dans l'autre.

8i. Remarque. — Toutes les fois que le dividende etle diviseur sont de même nature par rapport à l'unité principrile, Fénoncé seul de la question indique quelle doit être la nature de l'unité' principale du quotient. Mais lorsque le dividende etle diviseur sont de nature différente, le quotient doit être de même nature que le dividende, puisque le dividende étant un produit, doit être (n* 77) de même nature que l'un de ses facteurs.

83. Quant à la preuve de la division, elle pourrait s'effectuer par la multiplication ; mais il est plus commode de doubler les deux termes , *^ ou d'en prendre la moitié , et d'effectuert sur les deux nombres ainsi modifiés , une nouvelle di^

VRACTIOnfS DÉCIMALES* 1 19

vision ; le quotient doit être le même (n° 45) que le précédent. Voici de nouvelles applications, ^ /

1*. Déterminer le prix de Faune d'une certaine étoffe, en '^

supposant que 6g* — aient codlé 2728* 1 7»^ 9^,

Résultat .^ 3g^ ^^ /\,^ ^,

a*. Dii^iser SSg* 1 1»^ 7^ par 89"^ 4' 7' ' o*.

Résultat .• 9* 11^ 5^ >o. II .

3*. Diviser 1347*'' '^ 'ji^par g^ 5^ 7' 10*, & quotient dûinmi .

être exprimé en livres , sous et deniers. .

Résultat : 135** lo-'' 2^