TROISIÈME EXEMPLE
Un vase plein de liquide phse , . i^fc 5®" 4^ ^1^^ La tare y ou le poids du vase vide,
est de 4 7 ^ 4d
On demande le poids du liquide. 12 i3 5 4d
Il est clair que si Ton soustrait du poids total du vase et diSliquide qu'il contient, le poids seul du vase , le reste doit re-^ pre'senter le poids du liquide.
Gomme on ne peut àter ^g àe 1 7 , on emprunte i gros quivaut 72 grains ; et l'on dit : 49 de 72 plus 17, ou de 89, il' reste 4o. Ensuite, 6 de 8 plus 3 , ou de 1 1, il reste 5. Passant:^ aux onces, 7 dé 4 9 cela ne se peut; mais comme i livre vaut^ 16 onces, on dit : j de 16 plus 4i ou de 20, il reste i3.
Enfin , 4 de. 16 il reste lit; donc le poids total du liquida est i2tt l3•«^5^4o«^^
MOLTIPLICATION DES NOBIBRÉS CéîltPLKtiES. 16$
Multiplication des nombres complexes.
Cette o^kéfation , plus difficile que les deux prefi^èiicis j detttânde beaucoup a attention , et ne peut être ^^yelpppée d'une manière bien nette que sur des exen^ples. - ,
Pour plus de clarté , nous distinguerons deux easpnncipapx : on, le multiplicande étant complexe, le multipliçatc^ic ,est iocomplexe ; ou bien , le multiplicande étant com'plè^te ou incomplexe , le multiplicateur est complexe;
7iS. Considérons d'i^ord le premier cas , celui oh y le multi^ plicande étant complexe j le multiplicateur est un nombre in-^ \ complexe ou un nombre entier quelconque.
Soit à multiplier a47** 17*^ 11*»
par 9
On troute ce produit en multipliant toutes les parties du Multiplicande, à commencer par les plus faibles , par le mul-» ^iplicateur, et qyant soin de retenir les unités des ordres supé^ ^eurs, fournies par les produits infériejurs. .;
Ainsi , Ton dit : 9 fois 1 1 deniers fopt 99 denieJi:S| qui oon' tiennent 8 fois 12 deniers ou 8 sous, et 3 deniers; oupp9§ alors ^ deniers et Von retient 8 sous pour les reporter sur le produi^ ^egsous.
Ensuite, 9 fois 7 font 63, et 8 de retenue font 71 soils ^>èNi Pose I sou et Ton retient 7 dixaînes de soiis; 9 fois i font 9 , ^^ 7 de ret^ue font 16 dixaînes de sous ; et , cpmme 2 dîtkiiàà^ ^^ sous font I livre , on prend la moitié de 16 qui est 8, t(}it ^*on retient pour les reporter au produit des livres , sur Û^ Quelles on opère d'après le procédé connu de la multiplicatSclh ^^ nombres entiers ; il vient enfin , pour le produit demandé, ^^Z\* 1-^ 3^
Dans cet exemple, où le multiplitiateur n'eirt 'exprime que
I^ar un seul chiffre , on a commencé par la droite , et l'on a
^éierifiin^ succeflêirement les sous fournis par le produit des
^^i^ I et l^s livres fournies par le produit dés sous. Iffais si le
Io4 MULTIPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES.
multiplicateur avait plusieurs chiffres , les mêmes de' termina— tions ne pourraient plus s'exe'cuter de tête ; et pour y parvenir, il faudrait faire à part des multiplications ^ ensuite des diTÎsions , afin de convertir les espèces inférieures en espèces supérieures , ce qui demanderait beaucoup de calcul. Dans ce cas , Vopéiation se fait d'une manière plus simple , ainsi qu'on va le voir sur Texemple suivant.
Multiplier le nombre ^84*" iS-^ 9**
par 867
pour 10''' 4^8 10»''
Après avoir effectué la multiplication de 784 par 857 comme à l'ordinaire , on passe à la multiplication de i5 sous par 8S'}> Pour obtenir sur-le-champ ce produit en livres , on observe
que, si Ton avait i livre à multiplier par 857, le produit serait
i5 857 livres; mais i5 sous, ou — de livre, ne sont que les inni
quarts de la livre; ou bien, étant décomposés en 10 sous et 5 sops, ils en sont la moiîié plus le quart; donc le produit djemandé se cqmpose de la moitié de 857 livres , plus le quart de 867 , ou, ce qui revient au même, plus la moitié de la moitié de SS"] livres. Ainsi l'on dira : pour 10 sous, la moitié de 857 livres est 4a8 (vojez d? Si) ^ et il reste i livre qui vaut 20 sous; la moitié de 20*'' est lo-^ ; et l'on obtient 428*" i^ pour le produit de io sous par 857.
Prenant maintenant la moitié de 4^8^ lo-^, on a 214* 5*^ pour le produit de 5 sous par 857.
Passant aux deniers, on remarque que 9 deniers sont décomposables qn 6 deniers plus 3 deniers^ or 6 deniers sont ttk
MOLTIPtiCATKW DES NOMBRES COMPLEXÏS. lo5
moitié d'un sou, et par conséquent, la moitié du 5* ouïe lo*" de 5 sous; donc le produit de 6 deniers par 857 ^^^ ^^ '<>* du produit précédent, ou de 2i4^ 5-^. Prenant d'abord le lo*" de 2i4»ûnapourquotient2i, etpourreste 4 livres, qui valent 4 fois ao , ou 8o sous, que l'on réunit aux 5 sous ; le lo* de 85 est 8 sous, et il reste 5 sous qui valent 5 fois 12 , ou 6o deniers ; enfin , le 10" de 60 est 6 ; et Ton a 21^ 8^ 6^ pour le produit de 6 deniers par 857 .
Pour obtenir le produit de 3 deniers par 867, il suffit de prendre la moitié du produit précédeiit, et l'on trouve lo*" 14-^3»^.
Souli{>[nant le tout, et faisant la somme des produits partiels, ou obtient 677.562* 17-^ g^ pour le produit total.
Cette manière d'obtenir les produits des subdivisions def limita principale du multiplicande, par le multiplicateur, s'appelle méthode des parties aliquoles , parce qu'elle consiste k décomposer l'es nombres d'unités de ces subdis^isions enpar^ lies aliquotes , soit de V unité principale , soit les unes des autres, c'est-à-dire ( n** 51) en parties qui soient respectivement contenues un nombre exact de fois les unes dans les au-très ; et alors , pour former un produit correspondant k l'une de ces parties aliquotes, on prend de l'un des produits qui précèdent, ime partie marquée par le nombre de fois que la partie aliquote que l'on considère est contenue dans la partie , yqui a fourni ce produit déjà obtenu. Y
Soit, pour nouvel exemple,
à multiplier 67^ 5^ 6P 5*
par; •. 59
pour y 29 3P
m^màmàm i * ■* ■»
t06 MULTIP UCATIOI^ Dfi$ N01»R£S OOMPUSXiS.
Pour obtenir U produit de 5 pieds par Sg^ on observe qme S^eâs se détoùi{>08&nt en 3 pieds, qui valent - toise » plus
a piedày qui valent ^ de toise ; donc, comme le produit de i toi&e
par, 59 serait 5g toises , celui de 5 pieds par Sg se composera de ia moitié de 6^ toises y plus le tiers de 5g; prenant d'abord la moitié de 5g toises, on obtient 2g, et il reste i toise, qui vaut 6 pied^y dont la moitié est 3 pieds ; ainsi , le produit de 3 pieds pajr 5g est 2€l^ 3-^. De même , le tiers de 5g est ig pour 57, et il reste 2 toises, qui valent 12 pieds^ dont le tiers est 4 ; on a donc ig*^ 4' pour le produit de 2 pieds par 5g.
Passant aux pouces, on observe que 6 pouces sont la moitié d'un pied, ou le quart de 2 pieds ; ainsi, pour obtenir le produit de 6 pouces par 5g, il suffit de prendre le quart du produit ig*** 4^ j ce qui donne 4**^ 5' 6p.
Maintenant, 5 lignes se décomposent en 4 lignes plus i ligne ; et comme 4 lignes sont le tiers d'un pouce, qui lui«même est le 6*^ 4^ 6 pouces, il s'ensuit que 4 lignes valentle tiers du 6* ou le 1^' de 6 pouces ; ainçi , on serait conduit à prendre le 18' de 47 5^ 6p , ce qui ne serait pas commode ; mais on peut lever cette difficulté en formant un produit auxiliaire ( improprement eipfelé faux produit), savoir le produit de 1 pouce par Sg. Or, ce produit est Iç 6* de 4^5^6p, ou 0*^4^ ''*» <^^^^ place au-dessous des autres produits , en ayant soin toute^ fois de le barrer, comme on le voit ci -dessus, parce qu'ii ne doit pas entrer en ligne de .compte ; après quoi , en prenant le tiers de ce produit , on obtient celui de 4 lignes par 5g , égal ào^i^^PS».
En6n , i ligne étant le fuewt de 4 lignes , on prend le quart du dernier produit , et. l'on trouve 0*^0^ 4' ï^**-
Additionnant tous les produits partiels , on obtient pour le produit total , /[OO'i^ 2^ 6p 7*.
76. Considérons actuellement le cas oU le multiplicateur est tui'iêéme un noptbre complexe. Mais prenons d'abord nu exemple qi|i ne soit paç trop compliqué.
