NOTIONS PRÉLIMINAIRES

fractions décimales, c'est-à-dire leur nomenclature et la nière de les écrire en chiffres. k

De même qu'en décuplant successivement l'unité , on foTÈrm.-ie de nouvelles unités auxquelles on a donné le nom de dixain^s, centaines, mille, dixaines de mille, etc. . .y de même aussi , Y oji a conçu l'unité divisée en lo parties égales que l'on à appelles dixièmes, chaque dixième divisé en i6 parties que l'on a appe« lées centièmes (parce que l'unité principale contient lo fois lo, ou loo de ces nouvelles parties), ensuite le centième divise en lo parties appelées millièmes, chaque millième en lo parties nommées dix^millihmes , et ainsi de suite ; ce qui a donné des cent'millihmes , millionièmes , dix-millionièmes, etc,„

En second lieu , il résulte (n° 6) du principe fondamental de la numération écrite des nombres entiers, que les chiffres, en remontant de droite à gauche, ont des valeurs relalii^es de dix en dix fois plus grandes, ou bien, en descendant de gauche à. droite , ont des valeurs de dix en dix fois plus petites. D'où il suit que si, à la droite d'un nombre entier déjà écrit en chiffres ^ on place de nouveaux chiffres^ en ayant soin toutefois de distinguer par un signe quelconque, une virgule par exemple, ce* nouveaux chiffres, du nombre entier, on aura, par cela même 9 représenté des parties successives de l'unité de dix en dix fois plus petites , c'est-à-dire des dixièmes, des centièmes, des m//— lièmes, etc.,.

Ainsi, l'ensemble des chiffres 24,75 exprimera 24 unités 9 7 dixièmes, et 5 centièmes ; 5,478 exprimera 5 unités, ^dixiè" mes, 7 centièmes, et 8 millièmes.

M, Soit proposé d'énoncer en langage ordinaire le nombre écrit en chiffres 56, 35o6.

Ce nombre peut d'abord s'énoncer ainsi : 56 unités, 3 dixi-ef mes f 5 centièmes , o millièmes , et 6 dix^millièmes ^ mais observons que 3 dixièmes valent 3o centièmes, ou 3oo millièmeê, ou 3ooo dix ' millièmes ; de même , 5 centièmes valent 5o mil' lièmes ou 5oo dix-^millièmes ; donc, le nombre total revient à 56 unités 35o6 dix-millièmes ; c'est-à-dire que , pour énoncer en langage ordinaire un nombre fractionnaire décimal écrit en

SUR LES FRACTIONS oéciMALES. 121

chiffre? y */ f<^nt énoncer séparément la partie entière , ou la partie à la gauche de la virgule , énoncer ensuite la partie qui est à la droite, comme si elle exprimait un nombre entier, et placer à la fin de V énoncé le nom de V unité de la dernière subdivision décimale.

Ainsi, 7, 493o5 représente 7 unités, plus i^g3o5 cent-milliè-' mes. De même, 249,007066 représente 249 unités, plus 7066 millionièmes.

On peut encore, si Ton veut, comprendre dans un seul énoncé la partie entière et la partie décimale. En effet, reprenons pour exemple, le nombre 56^35o6; comme une unité vaut 10 dixièmes, ou 100 centièmes, 1000 millièmes, loooo dix-millièmes, il s'ensuit que 56 unités équivalent à 56oooo dix-mlliemes ; et par conséquent 56,35o6 représente 5635o6 Jm:niUièmes; de même, 7 unités valant 700000 cent-millièmes, k nombre 7,493o5 revient à 7493o5 cent-millièmes j c'est-àdire qa^il suj/it, après at^oir énoncé le nombre comme s'il njr ^^aitpas de virgule, de placer à la fin de l'énoncé le nom de ^û dernière subdis^ision. Mais il est d'usage d'énoncer la partie entière séparément (*).

Béciproquement, on propose d'écrire en chijfres une fraction ^cimale énoncée en langage ordinaire.

Soit à écrire le nombre -y/zz^Z-ziei/y» unités, trois cent cin^ ^^ante- quatre millièmes. Ecrivez d'abord la partie entière 2g ; Cûsuite, comnfie 3oo millièmes reviennent à 3 dixièmes, et que ^0 millièmes formefit 5 centièmes, placez une virgule à la

(*) Noos proposerons, pour énoncer la partie dccinaaic, un autre moyen ^^iest, en ge'ncral, pins commode dans la pratique. Après avoir érioincë la P&nie entière comme il vient d^ëtre dû, séparez mentalement la partie ^iinale en tranches de trois chiffres h partir de la virgule ( la dernière ^fanche pouvant n'avoir que un ou deux chiffres) ^ énoncez ensuite chaque ^nnche séparément, et placez a la fin de chaque énoncé partielle nom de * unité qu'exprime le dernier chiffre de cette tranche.

Exemples. Le nombre 2,74986329 s^ënonce: 9 unités 749 millièmes ^ millionièmes ^g cent-millionièmes, . .

De même, i4»033oooo764 sV>nonee : 14 unités a3 millièmes o milUo' niâmes 76 billionièmes 4 dix-hilHonièmes»

laa NOTIONS PaéLIMINAIlŒS

droite de agjCt écrivez ensuite successivement les chiffres 3,5, et 4 ; ii viendra 29,354 pour le nombre e'nonce'. Pareillement, cent neuf unités deux mille trois dix-millièmes s'écnront 109,2003.

Soit encore à écrire le nombre 8 unités 37 millièmes.

Comme 36 millièmes font 3 centièmes , et qu'il n'y a pas àt dixièmes dans Ténoncé , on écrit 8^037 : c'est-à-dire que Ton met à la droite de la virgule , un pour tenir lieu des dixièmes qui manquent, et donner ainsi aux chiffres qui suivent^ leur véritable valeur.

RÈGLE céNÉRALE. — Pour écrire en chiffres un nombre déciibal énoncé en langage ordinaire , commencez par écrire la partie entière, et placez une virgule; puis écrivez successivement à la droite de cette virgule, les chiffres qui représentent les dixihmes, centièmes, etc^ que renferme C énoncé , en ayant soin de remplacer par des zéros, les différens ordres qui peuvent manquer.

S'il ti'y a pas de partie entière, c'est-à-dire si le nombre proposé est une fraction proprement dite , écrivez un o pour tenir lieu de la partie entière, et opérez ensuite comme on vient dé lé ^âire. Ainsi, dix-sèpt centièmes se représentent par 0,17; cent vingt-cinq dix-millihmes , par 0,61 25; douze raille deux cetil quatre mîllionihrnes , par 0,012204.

Enfin j dans l'énonce du nombre , la partie entière peut ne pa« édre distinguée de la partie décimale ; alors le nombre n'jeo est que plus facile à écrire en chiffres. Il faut écrire le nombre comme s' il exprimait des unités entières , et ensuite placer une virgule, de manière que le dernier chiffre à droite exprime dei unités de la dernière subdivision que comporte V énoncé.

Par exemple^ pour écrire le nombre quatre mille deux cent quatorze centièmes, écrivez d'abord 4214» et comme le dernier chiffre doit exprimer des centièmes ; placez la virgule entre s et i> ce qui donne 4^ 9^4*

De même , deux cent cinquante>trois mille vingt-neuf dix' millièmes se représentera par 25,3o29 ; et ainsi des autres. ,

8tf . On sent déjà tout l'avantage que présente cette manière

SUR LES TRACTIONS DlSciMALES. 123

l'écrire les fractions décimales. Une fraction se compose ordilairement de deux nombres placés l'un au-dessus de l'autre, utYoir : le numérateur et le dénominateur. Ici , la place de la «^rgule suffit pour indiquer le dénominateur, qui est égal à l'unité suivie éC autant de zéros quilj- à de chijjres décimaux, c'est-à-dire de cliiffires à la droite de la virale. Quantau numérateur, // se compose de V ensemble d/es chijjres qui sont à la droite de la virgule; ou bien , si Ton considère l'entier comme Induit en fraction , cest le nombre proposé , abstraction faite de la virgule.

Ainsi le nombre 23;5o37 mis sou^ la forn^e ordinaire d'une fraction, revient à 23 2. ou — • — 2. le nombre a,oo4oq

lOOOO 10000 ^

est égal à a ^ ou --^ ; enfin, 0,00021 54 équivaut à

looooo 100000

lOOÔOOOO*

Kécipraquement , 2 • ou ^ — r- se changent en 2,o53y

. 1000 loo.o

— ^ — ^^ en 17,2040. .. V.

Ces transformations de fractions décimal^ en ûactiçw iordbnaircs, et de fractions ordinaires en fractions décimales , sont d'unusàgecontînuel dans le Calcul. ' "'■ •

M. Il résulte d'abord de ce qui vient d'être Ôit, que, si, ^ns unefnaciion déàimalâ, on avance là virgule d^un ,ou de plusieurs rangs vers la droite, on mùttîptié le hofribre par îo, 100, iooo , étc,} et qu'au contraire, en la reculant d^un ou de plusieurs tangs vers la gauche^ on divise le nôfn^re par to,ï6ô, xooo.... " '' •

Soit, par exemple, /c nombre 1 53,07^96 ,* eï supposons 9u*on avance la virgule 'de 3 rangs vers la droite, ce qui

donne >53on2,95j je dis que le tiombre est rendu ^oobfoîé

plûi' gtlindr Btt ^et , le riombrie primitif rcfvieiit à ^ q^ooq "^

1 34 irOTlOlf s PAfitIMIIf AIRES SUR LES FRACTIONS DÎf CIHALES;

et lorsque la virgule est dëplacce , il devient ^-2- fn

^ ^ ^ '^ lOO '

tion dont le dénominateur est 1009 fois plus petit que celui

l'autre fraction ; donc (n® 4tf ) la seconde fraction est 1000 f<

plus grande que la proposée.

Au contraire, si Ton recule la virgule de 2 rangs vers

gauche, il vient i ,53o72g5 ou 2-Si-, fraction dont le d

nominateur est 100 fois plus grand que celui de la fracti proposée, 2L2- . donc la nouvelle fraction est 100 1

'^ lOOOOO

plus petite que celle-ci, '

On peut encore démontrer cela en observant que^ pai déplacement de la virgule, la valeur relative de chaque chii 4evient lo^ 100, 1000, etc. , fois plus grande ou plus peti Ainsi, en comparant 153072,95 à 153,07295 ^ on voit que chiffre 3 , qui exprimait dans celui-ci des unités simples , < prime maintenant des mille; le chiffre 5 à la gauche du 3, i exprimait des dixaines, représente inain tenant des dixaines mille; et ainsi des autres chiffres.

87. En plaçant un nombre quelconque de zéros à la drc d^une fraction décimale, on n'en change point la valeur.

Ainsi, 34i5 équivaut à 3,4i5o, ou 3,4i5oo , ou 3,4i5ooo en effet, ces nombres peuvent (n^ 82) se mettre sous la fori

3ii5 34i5o 34i5oo , , j -v r *•

--Î — , -2 , --2 . •• ; or les deux dernières fractions

1000 loooo I 00000

sont autre chose que la première dont on a multiplié les d(

termes par 10 , 100, ce qui n'en change pas la valeur (n^ 46}

Ou bien, on peut observer que les zéros placés à ladre des chiffres déjà écrits n'en changent pas la valeur relati et, comme ces zéros n'ont aucune valeur par eux-mêmes fraction reste toujours la même.

. Cette dernière transformation sert à réduire des fractx décimales au mime dénominateur. Par exemple , les fracti

ADoiTioif £T aoosnucrioir, 125

12^4^7 I ^>^^ I 7MS6 I 23,4f reviennent à 124070 | o^aSoo | 7,0456 I 28,4000; et, sous cette forme, elles ont loooo pour dénominateur commun.

Ces notions établies, nous pouvons passer aux opérations sur les fractions décimales.

88. Addiiifp, et Soustraction, — On effectue l'addition des fractions décimales de la même manière que celle des nombres entiers , après les avoir toutefois réduites au même dénomina'^ teur, et en ayant soin de séparer par une virgule , au résultat, autant de chiffres décimaux qu^il jr en avait dans celui des nombres qui en renfermait le plus.

Un seul exemple suffira pour éclaircir cette règle.

Onpropose Rajouter les nombres 324o56 1 245,379] 12,0476! 9,38 I 0t 459,2875.

J'écris d'abord z/n o à la droite du second nombre, et deux à la droite du quatrième ; puis je place les nombres ainsi préparés, les uns au-dessous des autres, de manière que les unités d'un même ordre se correspondent , et je fais l'addition comme à l'ordinaire. 82 ,4o56

Je trouve pour résultat 7584497 > ou , se- 245 ,8790 parant 4 chiffres décimaux vers la droite, 12,0476

758,44979 parce que les nombres qu'on a 9,8800

ajoutés, expriment des unités de Tordre des 45992875

^-millièmes. ,58,4497

Dans la pratique , on peut se dispenser —

d'écrire des zéros à la droite des nombres '^^ zzi^ qui ont le moins de chiffres décimaux, pourvu que Ton ait bien soin de disposer les unités dun même ordre dans une même colonne*

La soustraction s'effectue aussi comme pour les nombres entiers, aprhs que Ton a réduit les fractions décimales au même dénominateur (n* 87).

Par exemple, soit à soustraire 28,0784^ 62,09.

l'écris deux zéros à la droite de 621 09, ce qui me donne

ia6 MULTIPLICATIQl^ D£8 FRACTIONS DÉCIKALES.

621O900 ; pui^ j'e^ectue la soustraction cômmje à rordinaire ; j'ai soin seulement 62^ 0900 de séparer 4 cbiffres décimaux vers la 28,0784 droite du résultat. Z 7

Ces procédés sont fondés sur ce que — I

les unités de différens ordres, dans les 62,0900 preuve, fractions décimales , ayant les mêmes rapports de grandeur les unes à l'égard des autres , que dans les nombres entiers , il doit en être pour les retenues , ou pour les emprunts auxquels on est conduit , comme s'il s'agissait d'opérer sur des nombres entiers.

89. Multiplication des Jraclions décimales. ^-^Vour eSectuer cette opération, multipliez les deux nombres proposés l'un par l'autre, sans faire attention à la virgule qui s'y trouve; et lorsque vous aurez obtenu le produit total , séparez vers te droite j par une virale f autant de chiffres décimaux qu'il X en a dans les deux facteurs.

Soit, par exemple, à multiplier 35 , 407 p^f 1 2 , 54.

Pour nous rendre compte du procédé prescrit,

observons que les deux nombres proposés peu- 35^ 4^7

vent se mettre sous la forme — -^—^ et ^.Or, ^ -

pour multiplier deux fractions l'une par l'autre,

il faut (n" 89) multiplier numérateur par numé-

rateur, et dénominateur par dénominateur; ^~ . mais les deux numérateurs ne sont autre chose

que les nombres proposés, abstraction faite de 444*®^^7^ la virgule ; on doit donc premièrement multiplier ces deux nombres l'un par l'autre, ce qui donne 444^^3?^* On a ensuite, pour le produit des dénominateurs ,'100000, c'est-à-dire l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux dans les deux facteurs ; et il faut diviser le produit obtenu, par 1 00000^ ce qui revient évidemment à séparer 5 chiffres décimaux vers la droite ; on trouve ainsi pour résultat ^^fioi'jBi donc y etc.

DIVISION P£S FRACTIONS DECIXAUS* lan

autrement s en ôtant la vii^le dans le multiplicande , on le multiplie éTidemment par loooy puisqu'il exprimait d'abord des 1000*', et qu'il exprime maintenant des unités principales^ donc, en vertu des principes du n^ 45, le prodiût est par là renda looo fois trop grand; de même, comme en ôtant la virgule dans le multiplicateur, on le rend loo fois plus grand ^ il s'ensuit que le produit est de nouveau rendu loo fois trop ^nd ; il est donc, par la suppression des deux virgules, rendu looooo fois trop gra^d ; et , pour le ramener à sa juste valeur , ^ il but le diviser par looooo , ou séparer 5 chiffres décimaux vers la droite.

le raisonnement serait analogue , si l'on avait i^n plus ou nioins grand nombre de chiffres décimaux dans les deuxfactem^s. ^ . n peut arriver que l'un des deux nombres seulement renferme des décimales. Dans ce cas, on sépare vers la droite du pjvduit , autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans ce nombre. La démonstration est trop facile pour que*nous nous y arrêtions, ^û trouvera d'après ces règles , que

'*^* le produit de 4)0567 par g»5o3 est égal à 38j55o820i ; ^^ le produit de 4)00 1 5 par 29 est|jf6,o435; ^^ le produit de o,o3o54 par o,023 est 0,0007 o!;^4^.- ^* B. — Ce dernier exemple mérite quelque attention. En faisant abstraction de la virgule dans les deux facteurs, et effectuant 1^ multiplication, on trouve pour produit, 7024^; mais comme '^ y a cinq chiffres décimaux dans le multiplicande , et trois J ^ans le multiplicateur, il en faut huit au produit qui cependant S; ^6 renferme que cinq chiffres. Pour lever la difficulté, on ob- ^^rve que, le produit devant exprimer des unités du 8* ordre ji décimal , il suffit d'écrire , à la gauche de 70242 , des zéros en V Nombre suffisant pour qu'en plaçant ensuite la virgule, le der- ' ^ier chiffre 2 occupe le 8' rang décimal. Ici , l'on doit en écrire 9^atre, en comptant celui qui doit tenir la place des entiers; ^l l'on trouve 0,00070242. \^^^

90. Division des fractions décimales* — Cette opération ^'offire pas plus de difficulté. Commencez par réduire les deux^

nombres proposés au même dénominateur (n® 8T) ; effcctt ensuite la di^nsion en faisant abstraction de la virgule ; ^Ui obtenez ainsi le quotient demandé.

Soit à diviser 43,o47 par 2,S36gl8,

Je commence par écrire deux zéros ^So^'joo à la droite de 43,o47, ce qui donne 1767720 43,04700 ; puis je divise 43o470o par 245532

253698^ et j'obtiens, pour le véritable

^ 245532 quouent, 16^53^.

En effet , après avoir écrit deux zéros à la droite du di

vidende , ce qui n'en change pas la valeur, on peut mettre h

, , . t r 43o4'7oo 2536d deux nombres proposes sous la lorme - — -- — et ^

* '^ lOOOOO lOOOO'

Or, pour diviser le premier par le second , on doit (n** 62) ma tiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversé On aura donc, en observant que looooo est facteur commt

des deux termes, le résultat -^f^^— ^ ; c'est-à-dire qu'il fa

faire la division des deux nomhres considérés sans la virgui après avoir toutefois ramené le nombre des cTiiffres décimai à être le même de part et d! autre.

On peut dire encore que , les deux fractions décimales éta: réduites au même dénominateur, si l'on ote la virgule dai les deux termes , on rend le dividende et le diviseur le mêiK nombre de fois plus grands; donc, le quotient ne change p (n«45).

On trouvera par ce procédé, que le quo- 347 o3 tient de la division de 3,47o3 par 0,027, ^^^ 143 23o3

est 128

Celui de 0.596 par 0,00201 est 296 — -.

91. Dans les exemples prëcédens, on a obtenu facileincB la partie entière du quotient de la division ; mais les fractioi^ propres à compléter le quotient, ayant des termes très grands

EEDUCTIOIY d'une FRACT. ORDINAIRE XN FRACT. DÉCIMALE. IS9

sont difficiles à évaluer. 11 est alors naturel de chercher à exprimer cette fraction en parties plus simples de Tunite' principale , par exemple, en dixièmes , centièmes, millièmes y etc.,. Proposons-nous donc cette nouvelle question gënérale : Une fraction quelconque de l'unité principale d* une certaine nature étant donnée , évaluer cette fraction en décimales, ou bien, la convertir en fraction décimale.

Soit proposée d'abord Ut fraction j^. #/

Le nombre propose', e'tan t rapporté à l'u^* 3gQ

nité principale, exprime les j- de cette uiii^ ** * ®

té; mais , comme une unité simple vaut lo a^^

dixièmes , il s'ensuit que -r- revient à -7 — 27

de dixième; ainsi, lorsqu'on a disposé

les deux nombres i3 et 47 comme dans

^ division ordinaire , si Ton met d'abord

^ zéro au quotient pour tenir lieu des

^tiers, que l'on place une virgule, et qu'on divise i3o par 47 »

le quotient 2 ainsi oblenu , et écrit à la droite de la virgule,

^ésentele nombre de dixièmes contenus dans 7- ; c'est-à-dire

î^e 7- est égal à 2 dixièmes, vins -7- de dixième. Pareillement.

<^mme i dixième vaut 10 centièmes, il s'ensuit que 7- de

dixième est égal à -7— de centième, t)U , effectuant cette noù-

Velle division, à 7 centièmes, plus 7— de centième. En écrî-

^^ut un nouveau o à la droite de 3i, et divisant 3to par 47> on

ti*ouve pour quotient 6 millièmes que l'on écrit à la di^oite de9

deux chiffres précédens, et pour reste 38 à côté duquel on pose

^ nouveau o pour en faire des dix-millièmes j. ainsi.de suite»

£n poussant l'opération jusqu'âr ce qu'on ait obtenu 5 chiffi^es

l30 lUÊDDCTIOïV d'une FRACTION ORDINAI&E

décimaux, on trouve que j- équivaut à o^ayGSg, plus 7^ €f«

déni- millième , fraction qu'on peut négliger ; et Ton dit iloiv

i3 que 0^7659 est la valeur de j- ^ moim £un ccnt-miUiime

près, attendu que la fraction négligée est moindre que runit^ dé cet ordre.

En général, pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale , dispose!^ tes deux nombres comme dans la ai" vision; éciçivez un o au quotient, et à la droite de ce zéro me virgule. Gela posé, mettez un o à la droite du numéhOeur^ et diwez le nombre résultant par le dénominateur j vous obtenu un quotient qui exprime les dixièmes , et un certain reste, PUr cez un o à la droite de ce reste , et divisez le nombre résultant par le dénominateur; vous obtenez un quotient qui exprime les CENTIEMES > et un nouveau reste; écrivez un o à la droite de ce reste, et divisez le nombre résultant par le dénominateur; fHfUt obtenez un quotient qui exprime /ej millièmes ^ et un troit&we reste sur lequel vous opérez de la même manière. Enfin, vous continuez cette série d'opérations jusqu'à ce que vous ayez ob* tenu autant de chiffres décimaux que vous désirez en avoir, oïl que la question l'exii^é. S'il y a un reste, la fraction décimale qi^ VQUf obtenez ainsi , ne difiière de la fraction proposée aoç d*une quantité moindre que V unité de V ordre décimal auquel yçjus.ojvfiz arrêté le quotient.

Si le numérateur de la fraction est plus grand que le-déno- ^ridteur, vous commencez par extraire les unités; vwfi ]f^ écrivez au quotient, et vous posez une virgule pour les séparer de^ chiffres de la partie Cractioi^naire.

Il est aisé d'apercevoir l'analogie qui existe entre cette op^ ration et celle qui a pour objet de convertir un nombre fracr tionnairé d'une unité principale quelconque , en un nombre 'côinpléie, c'est-à-dire, en unités principales et 8ubdivisi6iit<k

*ciétte ttoiié. (rqr<?^ »• ro.)

''Ifous allons maintenant faire l'application de cette ligle 9Àt èxénlplés de division traités dans le numéro précédent» 1

Eir FRACTION DÉCIMALE. l3l

Soit proposé de diviser 43>o49 P^^ 2,53698, et dévaluer le quotient àmoins^ de .prhs.

Après avoir trouvé, comme prë- 4304709 oédemment, le quotient 16 avec le 1767720

ireste 245532^ on considère ce ïfeste 2/55320

c:omnie le nume'rateur d'une fraction naoâéo

clont le dénominateur est 253698; 1081020

«t alors on écrit un o à la dtoite dô 2Qéo3'i

ce reste ; puis on continue la division , /t

<é qui donne 'q dixièmes pour quotient, et pour teste 172038, à la droite duquel on écrit encore un ô;'pùis on divise le résultat par le même diviseur ; on obtient pour quôtieiît 6 centièmes, et pour reste. 198192, à côté duquel cfn place un o ; on divise de nouveau par le même diviseur, ce qui donne pour quotient 7 millièmes, avec un feàie qu't)n néglige.

Oxi obtient ainsi iQ;Q67 pow le quo^e^t à moins 4e

lOOO

près , puisque la quantité néglige'e est une fraction de mr7lième.

On trouverait également pour le quotient de la division de !« 547^' P^^ 0,027 ^ TVioins de 0,0001 près, 128,5296»

De même, oSgG divisé par 0,00201 donne pour quotient à mçins de 0,01 près, 296,51 .

^Qus reviendrons plus tard , y* chapitre , siir la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale , parce que cel^e çtpératio^u présente plusieurs propriétés f etnarqua^les que içous ne pouvons développer d'une manière çoi;nplète ppi^r le moment.

9^. Lorsque;, dans 1^ division, le diviseur e^ im. nqi^bre entier, ou reuCçjrme moins de chiAres décimaux qiu. If, dividende , au lieu d'écrire à sa droite des «éi'oii pour le vjé^W^ au même dénominateur que le dividende, i^ est plus sîjiiple d'opérer afa^i qu'on va le voir.

io5

l32 AOTRE MANIÈRE D'eFFEGTCER LA DIVISION

I**. Soit à diviser 43 7,4826 ^«r 56.

La division pouvant ici être considérée comme ayant pour objet de prendre la 56' partie du dividende, on prend d'abord le 56* de 437, ou l'on divise 437 par 56, ce qui donne pour quotient 7 unités, et pour reste 45 qui , suivi des 4 dixièmes du dividende , forme 454 dixièmes dont il faut prendre encore le 56"; c'est-à-dire que l'on divise 454 par 56, et l'on trouve pour quotient 8 dixièmes qu'on écrit à la droite du 7^ après avoir placé une virgule.

Le reste 6, suivi des 8 centièmes du dividende, donne 68 centièmes dont le 56' est i centième, et il reste 12 qui, svâv^ des 2 millièmes du dividende , forme 122 millièmes; divisai <^ 122 par 56, on obtient pour quotient 2 millièmes, et poaJ>* reste 10, à côté duquel on abaisse le dernier chiffre 5; on a 10^ qui, divisé par 56, donne au quotient 1 dix-millième; don^ enfin, le quotient demandé est 7,8121.

Ce quotient n'est exact que jusqu'aux loooo*^'"''; mais si Ton voulait obtenir un plus grand degré d'approximation, il faudrait poser un o à la suite du reste 49, et continuer suivant la règle du numéro 91;

Il est facile de reconnaître que cette manière d'opérer est plus simple que si l'on eût d'abord écrit 4 zéros à la droite du diviseur, afin de le réduire au même dénominateur que le dividende.

On trouverait de même que 1437586, divisé par 219, donne pour quotient o,o6564 , à moins de 0,00001 près.

2®. Soit à diviser 3,4^567 par 0,039.

Observons d'abord qu'en vertu des principes démontrés aux numéros 45 et 06, on peut, sans altérer le quotient d'une division, multiplier le dividende et le diviseur par un même nombre.

Cela posé | si l'on multiplie le divi-

DES FRACTIONS DÉCIMALES. l33

seur par looo , ce qui revient (n® 86) à supprimer la virgule, et qu'on multiplie le dividende par looo, ce qui revient ( même numéro ) à avancer la virgule de trois rangs vers la droite, on aura ramené la question à diviser 3406,67 par 89, opération qui rentre dans daiis le cas précédent.

RiGLE GÉNÉRALE. ; — Toutes Ics fois quc le dividende renferme plus de chiffres décimaux que le diviseur, supprimez à^ abord la virgule dans le diviseur, puis avancez la virgule , dans le dividende, fautant de rangs vers la droite qu'il y os^ctii de chiffres décimaux dans le diviseur j et effeetuez la ^^^ision comme dans le cas où le dividende seul contient des ^lïilïres décimaux.

Par une raison semblable , si le diviseur est un nombre enter terminé par un ou plusieurs zéros , on peut les sup- *Âuier, pourvu qu'on ait le soin de reculer la virgule dans le ividende, d'autant de rangs vers la gauche qu'il y avait de ^ Vos à la droite du diviseur.

Ainsi, par exemple, diviser 234«i5 par 8900 revient à divi- ^^f 2,341 5 par 89, puisqu'on n'a fait autre chose que rendre en ^ème temps 100 fois plus petits les deux termes de la division.

Au reste, nous n'avons présenté ces dernières règles que Comnie des moyens plus simples d'opérer dans la pratique ; car la règle établie précédemment (n^ 90) convient à tous les cas.