II.,.. 5 (C

. . . . onze ou ff.

(23io49 syst.

cinq) = (C5*, syst.£toi/ze).

DES STSTÈMES D£ NCMÉRATIOIV. i6q

On vérifierait ce calcul en reprenant les transformations dans un ordre inverse, c'est-à-dire en passant du système duodécimal au système quinaire»

193. Les procédés pour effectuer les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique sur des nombres écrits dans un système quelconque y ne diffèrent pas essentiellement de ceu^ qui ont été établis pour le système décimal. Seulement, il faut bien se rappeler la loi qui existe entre les unités de différens ordres , afin de pouvoir, au besoin , convertir des unités d'un ordre quelconque en unités de l'ordre immédiatement supérieur ou inférieur.

Pour familiariser les commençans avec les différens systèmes de numération , nous proposerons un exemple de chacune des opérations, exécuté dans le système duodécimal, dont les caractères sont, comme nous l'avons déjà vu n^ 119,

1**» Soit à ajouter les nombres

37o4«9 ^2g56, 27^45, IfiaC.

En commençant d'abord par les unités 3704»

simples, on dit « et 6 font i^j et 5 font ^2956

1 g, et C font 28. On pose 8 et Ton retient 7,'jCctS

^ douzaines pour les reporter à la co- ^9û£

lonne des unités du 2' ordre. 1 5*678

On dit ensuite : 2 et 4 fout 6, et 5 font Cj et 4* font 19, et « font 27. On pose 7 et l'on retient 2 pour les reporter à la colonne des unités du 3® ordre , sur laquelle on opère comme sur les précédentes ; et ainsi de suite. On obtient enûn i5«678 pour la somme demandée.

a**. Soit à soustraire de 5:too46

IjC nombre 47^*^^ ^

121677 Gomme on ne peut soustraire f de 6 ^ on a recours à l'artifice

I^O THÉORIE GÉVlàRALE

du n® iêf et Ton dit C de i6, il reste 7. Passant à la colonne suivante , on augmente 8 d'une unité , et Ton dit: g de 14^ il reste 7. Ensuite 7 de 10, il reste 5;C de 10, il reste 1 ; 8 de «, il reste 2 ; enfin 4 de 5 , il reste i. Ainsi 12 1677 est le résultat demandé.

« 3^ «$01/ à multiplier • . . 3407*

par 5«i68

228528 [ Nous sommes censés avoir sous les 1 8o3 Co

yeux une table de multiplication y 294664

poussée jusqu'à f (^om onze) qui est 1 48332 le plus haut chiffre du système. ] 177608828

En multipliant d'abord 34o7â& par 8 , je dis : 8 fois « font 68; je pose 8 et retiens 6. Ensuite, 8 fois 7 font 48, et 6d€ retenue font 52 ; je pose 2 et retiens 5. 8 fois o font o, et 5 de retenue font 5 ; je pose 5; 8 fois 4 font 28 ; je pose 8 et retiens 2. Enfin 8 fois 3 font 20, et 2 de retenue font 22 ; je pose 2 et avance 2. Le fvemïer produit partiel est donc 228528.

Quant aux autres produits partiels du multiplicande par les autres chiffres du multiplicateur , on prouverait , par des raisonnemens analogues à ceux qui ont été faits (n^ 21 ) pour le système décimal , que tout se réduit à multiplier successive^ ment le multiplicande par chacun de ces chiffres considére's comme exprimant des unités simples , et à écrire chacun des produits au-dessous du précédent , en les avançant au fur et à mesure d'un rang vers la gauche.

Additionnant enfin tous ces produits , on trouve pour résultat, 177608828.

4°. Vérifions cette opération par la division i il suffit , pool cela, de diviser le produit ob- 608828 î 5.68

tenu, par 1 un des facteurs, 5a68 C H •

par exemple. ' 3^^g^ H^^m

Pour obtenir le chiffre des uni- , gg

tés les plus élevées du quotient, il

*^ ^ . OQOO

Saut prendre les cinq premiers

DES SYSTÈMES DE NUMÉRATIOIT. l'jl

chifires à gauche du dividende, et diviser 17^60 par 5«68. Pour cela, od cherche en 17 combien de fois 5; il y est 3 fois pour i3 , et Ton écrit 3 au quotient. Multipliant le diviseur par 3 , et retranchant le produit, du premier dividende partiel, on obtient pour reste iCtùO qui , suivi du chiffre 8, donne iSboS pour le second dividende partiel , sur lequel on opère comme sur le précédent.

Divisant io«o8 par 5«68, ou plutôt iS par 5, on a pour quotient 4 9 que l'on écrit à la droite du précédent , et pour reste de la nouvelle division partielle , 3«o.

Gomme , le chiffre suivant 8 étant abaissé, le nouveau dividende partiel 3tto8 ne contient pas le diviseur, on met un o au quotient , et l'on abaisse le chiffre 2 du dividende ; ce qui donne 3«o82 pour nouveau dividende partiel.

Opérant sur celui-ci comme sur les précédens, on trouve j^o'ur quotient 7 , et pour reste 4*96'

Abaissant enfin le dernier chiffre du dividende, et divisant 41K968 par Stt68 , on obtient « pour quotient et o pour reste.

Donc , 34o7« est le quotient demandé.

Nous engageons les élèves à s'exercer sur d'autres exemples pris au hasard , et dans différens systèmes , particulièrement sur les deux dernières opérations , ces exercices étant très propres à leur donner l'habitude du calcul.

124. La question du n** 122, qui a pour objet de passer d'un système quelconque B à un autre système B', peut être résolue directement , c'est-à-dire sans que l'on soit obligé de passer d'abord du système B au système décimal , et ensuite de celui-ci au système B'. Il suffirait, pour cela, de tra-duire la base B' dans le système B , e/ d'appliquer la règle du n" il9, en effectuant les opérations dans le sjrsièmeB; ou bien encore de traduire la base B dans le sjrsihme B' et (Tappli^ quer Vune des règles des n°* 120 et 121, en effectuant les opé^ rations dans le sjrsteme B'.

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur ces opérations qui n'offrent aucune difficulté.

12iS. Remarque générale. — Le système duodécimal offre