Ceci bien entendu , passons à la manière d'exprimer en

DES SYSTEMES. DE NUICÉRÀTIOUT. l6l

ciliffres un nombre entier, quel que soitle système qu'on adopte. Pour fixer les idées, nous conside'rerons le système septénaire, ou le système dans lequel on emploie sept chiffres. Les mêmes xaisonnemens pourront s'appliquer ensuite à tout autre sys-* tème.

Les chiffres du système septénaire sont 0,1^2,3, 4» ^#6» les six derniers exprimant les six premiers nombres.

Ajoutant l'unité à six, on forme le nombre sept, ou l'unité da second ordre , qui , d'après le principe énoncé ci-dessus y doit s'écrire lo.

Mettant successivement chacun des chiffres du système i la première et à la deuxième place, on formera évidemment tous les nombres consécutifs, compris depuis sept, ou lo, jusqu'au nombre représenté par 66.

Ce nombre étant formé, si l'on ajoute une nouvelle unité, 3 en résultera six unités du second ordre , plus sept unités du premier , c'est-à-dire sept unités du second ordre, ou une seule tioitédu troisième ordre, qui devra s'écrire ainsi: loo.

Mettant successivement à la première^ à la seconde, et à la troisième place , les différens chiffi*es du système, on formera toas les nombres consécutifs compris depuis loo jusqu'au Nombre représenté par 666.

Raisonnant sur ce dernier nombre comme sur 66 , on par- "Viendra d'abord à l'unité du ^ ordre qui s'écrira ainsi t 1000 ; puis on obtiendra successivement tous les nombres consécutifs compris depuis looo jusqu'au nombre représenté par €666 ; et ainsi de suite à Vinfini.

D'où l'on voit que tous les nombres entiers possibles sont susceptibles d'être écrits dans ce système.

Quel que soit le système adopté, les unités de différens ordres sont respectivement représentées par i, lo , loo, looo, loooû, comme dans le système décimal ; mais les valeurs relatives de ces unités sontessentiellement différentes suivant les systèmes. ii8. 2V. B. — Nous avons dit, n" 116, que le chiffre o était un raractère indispensable dans tout système analogue au système lécimal| c'est-à-dire dans un système où la valeur relative d'un

iCpï 'TtBxmi &£«^UII

oi: raair qh i.

«Offptasii k» irDif ^iafii*» signiusaiii? : . ^ JU» tro/f pt*su«f9i sitmiiirs ssbkdi dl

Four Kpwnem c raflt<?e. cnif . c jzx. il

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ht nietiif; 221. 122. :2l.

11 n'est fi» uécestfainr 4l'alier p:itf Itiis pour l'eiueus (it: ce ^ysiciiie. Soi. priuci^îa! oeiani consislc tmut^ dv$ uuilés d^uii tïâhnt ordre soui exprimées d'aiie aanicR^ léttf'iiU;. Aixibj^ dauF j3 et 2^ . le cLl&e 3 exprùne SBCMiéâi te^X'iid ordre , coiuiue les cLîf r» 1 ex 2 qui sont à ia|pMEk. V^ub J23 , r«;iifieuil»le d^b cLJîrefi 2I1 exprime nsa^^ umTwaiÊé du ii ^ibMïiue oid.re , ainsi c[ue \t cLLâie i qui esl à la fUiAt dece^deux'lâ.

K«i (aÎ6aDt uM^e da ckifre o, il sufiît de détemiHMr ] }j|«f d'unités de diiléreiiB ordres qai e&treDt dans k pfi^poi^y et d'écrire à la suite les ans des autres , de droite i ^ucbe f les cliifiires qui expriment ces nombi^s.

I iV. L^accord qui existe entre la someDcIatiire ^*^t^if 1i g da noiobrei 4fft la majiîêre de les représenter en diiffciet dus k ^y%îrjne décimal , permet de les écrire facilement , et potf ainfi dire^ ions U dictée en lan^ge ordinaire, comoie an» de réwMidre la question inverse qui consiste à énoDcer en lanpp ordiriaire un nombre quelconque représenté par un groupe de chiffres donné. Il en serait de même dans tout système de nu migration pour lequel on aurait établi une nomendatme ipéciale. Mais si Ton proposait, par exemple , d'écrire dam le yr^lime êcpienaire le nombre trois cekt soixahtb-reop np»

DES STSTÈHES DE NUlCÉBàTION. l63

porté au système décimal, il serait difficile de reconnaître à priori quels sont les chiffres propres à exprimer les unités du

premier, du second, du troisième ordre septénaire qu'il

renferme. Or, comme ce nombre^ écrit en chiffres dans le système décimal , revient à 869 , il s'ensuit que la question proposée dépend de la suivante qui est beaucoup plus ^U^ raie : Un nombre étant énoncé en langage ordinaire. Ou écrit dans le sjrstème décimal, traduire ce même fïombre dans le système dont la base est B.

Pour résoudre cette dernière question, observons que, 6 unités du premier ordre formant une unité du second, autant de fois le nombre proposé contiendra la base B , autant il renfermera d'unités du second ordre du système B ; c'est-à-dire que si Ton divise ce nombre par B, le quotient exprimera des unités du second ordre ; et le reste, qui sera nécessairement moindre que 6 , exprimera les unités du premier ordre , du nombre écrit dans le système dont la base est B.

De même, puisque B unités du second ordre, dans le système B, forment une unité du troisième ordre dans ce même système , si Ton divise par B le quotient qui exprime dès unités du second ordre, le nouveau quotient qu'on obtiendra, exprimera des unités du troisième ordre ; et le reste , toujours . moindre que 6, représentera les unités du second ordre, du nombre écrit dans le système dont la base est B ; et ainsi de suite.

D'où l'on voit que , pour passer du système décimal au système dont la base est B, il faut : i®. diviser le nombre proposé par la base du nouveau système écrite dans le système décimât, ce qui donne un reste que l'on écrit à pari, comme exprimant les unités du premier ordre dans le nouveau système ; 2". dfiviser le quotient obtenu j par la même base, ve qui donne un second reste qu'on écrit à la gauche du premier, comme expri' mont les unités du second ordre ; 3°. diviser le second quotient par la même base , et écrire le troisième reste qu'on obtient ainsi , à la gauche des deux précédens , parce qu'il exprime les unités du troisième ordre ; continuer cette série d'opéra/^

l64 THÉORIE GÉNÉRALE

iions jusqu'à ce qu^on soit parvenu à un quotient moindre que la hase du nouveau sj-stème; ce dernier quotient exprime les unite's de l'ordre le plus e'ievé, et s'écrit alors à la gauche de tous les restes obtenus successivement.

Appliquons cette règle au nombre trois cent soixante^neuf oU 369 , <Ju'il s'agit de traduire dans le système septénaire.

. 369 I 7 restes

l)iyisant 369 par 7, on a pour quotient 62, et pour reste 5 que Ton écrit à part; ce sont les unités du premier ordre dans ïe nouveau système.

Divisant 62 par 7, on trouve pour quotient 7, et pour reste 3, qui exprime les unités du second ordre , et qu'on écrit à la Hauclie du chiffre 5.

Divisant ^ par 7, on a pour quotient i, et o pour reste, ce qui indique qu'il n'y a pas d'unités du troisième ordre ^ et l'on e'crit un o pour en tenir la place.

Enfin, comme le quotient i est plus petit que 7, il exprime les unite's du quatrième, ordre } et le nombre traduit dans le système septénaire revient à ( io35).

On trouverait de même, pour le nombre 5347 traduit dans le système de huit chiffres ,0,1, 2,3,4^5,6, 7, l'ensemble des nouveaux ciiiffres (12343).

5347 I ^ restes

Remarque. — Il peut arriver que la base du nouveau sys^ tème soit plus grande que dix ou celle du système de'cimal.

DES SYSTÈMES D^ -NUMÉRATIOir; l65

Dans ce cas 9 il y a une observation importante à faire pour l'application de la règle.

Soit , par exemple, le nombre 84^3 à traduire dans le système duodécimal, ou dans le système de douze chififres.

En convenant d'employer les deux lettres grecques , 4» , ff , pour désigner les nombres dix, et onze > les chiffres de oe système seront o, 1 , 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, g, «, C.

84^3 I 12 restes

701 II ou^

4 lOOUflt

La base douze étant exprimée par 12 dans le système décimal , on divise 84^3 par 12, ce qui donne le quotient 701, et le reste 11 qui exprime les unités du premier ordre dans le nouveau système. Or, 1 1 écrit dans le système décimal signifie onze y et par conséquent doit s'écrire C dans le système duodécimal. On écrit donc à part, non pas 1 1 , mais ?, comme désignant le chiffre des unités du premier ordre.

Pareillement , à la troisième division , on obtient pour reste 10 ou dix qui, dans le nouveau système, s'écrit ce; on pose donc «s à la gauche des deux chiffres déjà trouvés. On obtient ainsi ( ^u5C) pour le nombre proposé , traduit dans le système duodécimal.

120. Réciproquement, Un nombre étant écrit dans unsjrsteme quelconque dont la base est B , on peut se proposer de V énoncer en langage ordinaire, ou ce qui revient au même, de le traduire dans le système décimal.

Soit, en général.... hgfdcba un nombre écrit dans le système de B chiffres; ^i;^,c,rf^^,... désignantes unités du i", du 2% du 3*,... ordre.

Il résulte du principe fondamental établi n® il6, que le chiffre b exprime des unités B fois plus grandes que s'il était seul ; donc sa valeur relative est égale au produit de b par B,

l66 TBioUlK GÉNÉRàLE

€t peut (n* 108) se représenter par 6 X B , ou simplement par 6B. De même le chiffre c exprime des unités B fois plus grandes que celles du chiffre b ; aiosi sa valeur relative est égale au produit de c par B X B ou B% et peut être représenté par cB*. On reconnaîtrait pareillement que dK^^JB^y gB^j HB^ ,..,. sont les valeurs relatives des autres chiffres.

Donc enfin , le nombre proposé a pour expression , a + bB + cB^+dB^+fB^ +gB^ + AB»....

En donnant à la base B et aux chiffres a,bj Cy d,/,,.. des valeurs particulières, on effectuera, dans le système décimal, tontes les opérations arithmétiques indiquées par cette expression; et Ton obtiendra le nombre correspondant à ces données parUcoliëres , traduit dans le système décimal.

[L'expression ci-dcssns se nomme , en Algèbre, une formule^ parce qn Vile renferme spns une forme concise, le système dopera lions arithmétiques à cffectner sar diffc'rens nombres pour obtenir la réponse h une question geae'rale, et parc« qu'on peut en déduire toutes les réponses aoz questions de même espèce, dont les énonces différent seulement par les valeurs numéiiqaes des données.]

Traduite en langage ordinaire , cette formule donne lieu à la règle suivante : Formez d'abord les diverses puissances de la base B écrite dans le sjrstkme décimal; multipliez ensuite

tous les chiffres a^b^ c^d^ f ,

traduits également dans le sjrstème décimal, respectivewent par les nombres» . . i ,B,B*,B^,B^, • . . ; ajoutez ensuite tous ces produits partiels, et vous aurez le nombre démandé.

Soit, par exemple, le nombre (57436) écrit dans le système de huit chiffres, à traduire dans le système décimal.

Après avoir reconnu par des multiplications successives, que les puissances de 8 jusqu'à la 4' inclusivement, sont 8^ 64 9 Si 2, 4^9^ 9 ^^ P^^^ disposer ainsi Ijes calculs :

DES STSrèHES 0E NUldRATION. 167

5'. 4096 X 5 = ao48o

Donc (57436) ="04350.

Vérification d'après la règle établie n" 119,

iSI.On peut donner de la question inverse une solution plus simple et surtout plus en rapport avec celle de la question directe.

Reprenons le raême nombre (57436) qu'il s'agit de faire passer du système de huit chifires au système de'cimal.

D'après le principe fondamental du n* 116, le premier chiffre à gauche qui est 5 , repre'scnte des unite's 8 fois plus grandes que celles du second chiffre 7; donc , en multipliant 5 par 8| et ajoutant 7 au produit, ce qui donne 4? (ou quarante^' sept) y on aura le nombre total des unités du 4* ordre (système de huit chiffres) que renferme le nombre proposé. Parla même raison, si l'on multiplie 47 psir 8, et qu'on ajoute 4 au produit, ce qui donne 38o (ou trois cent quatre^vingl) , on aura le nombre total des unités du 3* ordre (système de huit chiffres ) que renferme le nombre proposé.

Pareillement , si l'on multiplie 38o par 8 , et qu'on ajoute 3 au produit , ce qui donne 3o43 , on aura le nombre total d'unités du second ordre que renferme le nombre proposé. Multipliant enfin 3o43 par 8, et ajoutant 6 au produit, on obtient 24350 pobr le nombre total d'unités du premier ordre (ex-

ij68 théorie générale

primé dans le système décimal) que renferme le nombre proposé.

Voici comment on peut disposer le calcul :

Règle générale : Multipliez le premier chijffre à gauche ,

, du nombre proposé , par la base B écrite dans le sj-s terne Jé-

cimal, et ajoutez au produit le second chiffre (en partant de

la gauche) ; multipliez la somme ainsi obtenue par la base B,

et ajoutez au produit le 3* chiffre; et ainsi de suite.

Cette règle est précisément l'inverse de celle qui a été établie n° l!|^9 , ainsi qu'on peut le reconnaître en comparant le tableau des calculs qui viennent d'être exécutés avec celui qui termine le numéro précédent.

122. Aux deux questions des n^' 119 et 120, se rattache une troisième question plus générale qui a pour but de passer iTun sjrsteme dont la base est B au système dont la base est B'.

La règle à suivre dans ce cas , consiste à faire passer le nombre proposé du système B au système décimal (n° 120), puis de celui-ci au système B' (n° 119).

Proposons-nous , pour exemple , de faire passer le nombre (23io4) du système quinaire (ou de cinq chiffres) au système duodécimal.

Voici le tableau des calculs :

Donc