Caractères de divisibilité âtun nombre par d* autres

Il existe des signes auxquels on peut souvent reconnaître qu'un nombre est ou n'est pas divisible par d'autres nombres; ce qui est utile dans la pratique.

Les raisonnemens dans lesquels nous serons entraînés poar établir ces caractères, reposent sur le principe suivant:

Soit un nombre A décomposé en deux parties B et G , en sorte qu'on ait A = B+C.... (i).

1**. Si un quatrième nombre D divise exactement les deux parties B e/ C, il divise aussi leur somme A. (Voyez n* 51.)

2". Si le nombre D divise l'une des parties B, sans diviser Vautre C, il ne divise pas non plus k) et le reste de la division de Kpar D est égal à celui que donne la division deCpûrV»

La première partie de ce principe est facile à démontrer. En effet , divisons par D les deux membres de l'égalité (i) ; il vien^

Or les deux termes du second membre sont des nombres entiers, puisque B et G sont, par hypothèse, divisibles parD; donc le premier membre doit aussi être un nombre entier ; autrement on aurait un nombre fractionnaire égal à un nombre entier, ce qui serait absurde. Ainsi A est divisible par D.

Quant à la seconde partie , il est clair, d'après l'égalité (2), que si, B étant divisible par D , G ne Tétait pas, A ne le serait pas non plus ; car autrement, il en résulterait encore un nombre entier égat à un noi^ibre fractionnaire. Mais il s'agit actuelle^

CARACrèRES DE DiVISIBILlTÉ. i»fj

ment de prouver que le reste de la division de A par D est égal au reste de la division de CparD.

Pour cela, observons que, B étant divisible par D, on a B = DQ (Q est un nombre entier) ; C n'étant pas divisible par D, ona C = DQ'+R.

DoncB+CouA==DQ + DQ'+R=D(Q + Q')+R (n*>li2).

D'où l'on voit que A divisé par D , donn\s pour quotient Q+Q% et pour '■este R, qui n'est d'ailleurs autre chose que le reste de la division de C par D; ce qu'il fallait démontrer (*).

Passons actuellement au développement des différens caractères de divisibilité.