Propriétés des nombres 2 et 5, 4 et 25 , 8 et laS

i*». Tout nombre terminé par V un des chijfres, o,2,4»6,8, est divisible par 2.

En effet , ce nombre peut être décomposé en deux parties , savoir ; la partie à gauche des unilés simples , considérée avec sa valeur relative , et le chiffre des unités simples. ( Par exemple, 385^6 revient à SSS^o-f-S.) Or la première partie étant terminée par un o , est multiple de 10 ; 10 est d^ailleurs divisible par 2 , puisque l'on a i o = 2 X 5 ; donc aussi cette première partie est divisible par 2. Mais un quelconque des chififrés o , 2 , 4 ? 6 , 8 , est divisible par 2 ; ainsi ( n® 15^ ) le nombre total est divisible par 2.

Si le nombre est terminé par^l'un des chiffres 1,3,5,7,9, il n'est pas divisible par 2 , puisque l'une de ses parties est divisible , et que l'autre ne l'est pas.

iV. B. — Tout nombre divisible par 2 , ou terminé par l'un des chiffres o, 2, 4> 6, 8, est dit un nombre pair. Les autres Sont des nombres impairs.

Tous les nombres pairs sont compris dans la formule 2n, n étant un nombre en lier quelconque , et les nombres impairs dans la formule (2n-{- 1).

(*) Toutes les'' propositions établies depnis le n** 127 jusqu'au no i35 in* clasÎTçinent» sont vraies dans tons les systèmes de numération.

1 r8 CARACTÈRES

2®. Tout nombre terminé par un o ou un 5^ est divisïôle par 5, — Même démonstration que pour le diviseur 2.

Si le dernier chiffre est différent de o ou de 5 , le nombre n'e3* pas divisible par 5; et le reste de la division de ce nombre p^"« 5, est égal au reste de la division du dernier chiffre par ^ ( n** i515) ; c'est-à-dire que le reste est le chiffre lui-même ^3i celui-ci est moindre que 5 ; et dans le cas contraire , le res'^^e est l'excès de ce chiffre sur 5.

Ainsi 1827 divisé par 5 donne pour reste 2 , qui est égal a^^u reste de la division de 7 par 5^ ou à l'excès de 7 sur 5. •

De même, 34789 et 71436 donnent respectivement po^mar restes 4 ^t i .

3®. Tout nombre est ou n* est pas divisible par 4 ou par^S, suivant que le nombre exprimé par les deux derniers chiffres est ou n'est pas divisible par ^ ou par 25.

En effet, ce nombre peut se décomposer en deux parties :1a partie à (;auche des dixaines, considérée avec sa valeur re1ati?e, et la colleclion des dixaines et unités. (Par exemple, 35^8 et 27876 reviennent à 35oo -4- 48 et 27800 + 76.) Or la première partie étant terminée par deux zéros, est multiple de 100 ; 100 est divisible par 4 ou par 25, puisque 100 = 25x4» donc cette première partie est aussi divisible par 4 ou par aS; mais la seconde partie est elle-même , par hypothèse , divisible par 4 ou par 25; donc le nombre total est divisible par 4ou'''^ par 25.

Ainsi 3548 est divisible par 4 , parce que 48 est un multiple] de 4 ; 27875 est divisible par 25, parce que 76 est un multiple] de 25. I

Mais 13768 n'est pas divisible par 4 et donne le reste 2| c'est-à-dire le même que celui de la division de 58 par 4.

26659 n'est pas divisible par 26 et donne pour reste 9, ouk reste de la division de 69 par 26»

N, B. *— Pour le nombre 26, il n'y a évidemment queW nombres terminés par 00,26,60, ou 76, qui soient divisiM par 26.

4*. Tout nombre est ou n'est pas divisible par 8 ou par li

DE DIVISIBILITÉ. fjg

uivant que le nombre exprimé par les trois derniers chiffres ^z ou n'est pas divisible par 8 ou par laS.

Ifous ne développerons pas la démonstration , parce qu'elle s t analogue aux précédentes. Il nous suffit d'observer qu'elle st fondée sur ce que looo = laSxS. D'ailleurs, cette pto- ►iriélé n'est guère en usage.

157. Propriétés des nombres 3 et g. — Tout nombre dont la €>mme des chiffres , considérés ai^ec leur valeur absolue , est divisible par 3 ou par g , est lui'méme divisible par 3 ou 3czrg.

Remarquons d'abord que , si d'uùe puissance quelconque de K o, ou de l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros , on Retranche i , le résul^t est divisible par g ; car ce résultat se Compose d'autant de chiffres g écrits les uns à la suite des autres , qu'il y avait de zéros. Or, la valeur absolue de chaque chiffre g est divisible , soit par 3 , soit par g; donc il en est de même de sa valeur relative , qui est un multiple de la valeur absolue. Ainsi , le résultat est aussi divisible par 3 ou par g.

Cela posé, pour généraliser davantage nos raisonnemens , nous appellerons N le nombre proposé , et nous désignerons par a,b ^c, d.,,,\es chiffresdesés unités, dixaines, centaines, mille j, . . en sorte que l'on auraNc= ... g/dcba^ ou plutôt, en vertu du principe fondamental de la numération décimale,

N=:fl+10^-f"ïO*^+'®*^^+ 10^ J+...

Or, cette égalité peut être mise sous la forme

f +(io— i)ô+(io*— i)c4-(io5— Od'+Cio*— iif+ — l+a 4-0 +c ^ +rf +/ +

[Par exemple, io^€f=io^.£/ — J-|-£/=(io^ — i)d[+^.]

Or, d'après ce qui vient d'être dit, ïo— i ,io*— t ,id^— i..., et en général, lo" — i, étant divisibles par 3 ou par g, la première ligne horizontale se compose d'une suite de nombres multiples de 3 ou de g -, ainsi , cette première partie du nombre N est elle-même divisible par 3 ou par g. Donc , si la se-

l8o CARACTÈRES

coude partie , qui n'est autre chose que la somme des chiffra du nombre proposé, considérés as^ec leur valeur absolue, si cette seconde partie , dis-je , est^divisible par 3 ou par 9, le nombre total est lui-même divisible par 3 ou par 9. — C.Q.F.D.

158. Pour obtenir le reste de la division d'un nombre quelconque , par g ou par 3 , il suj/il de faire la somme des chiffres considérés avec leur valeur absolue, et de diviser cette somme pargoupar 3. Si cette division ne donne pas de reste , le nombre total est divisible par 9 ou par 3 ; mais si l'on obtient un reste, il est le même que celui qu'on obtiendrait en divisant le nombre total par 9 ou par 3.

C'est une conse'quence du principe e'tabli n^ 15^.

159. Propriété do nombre i i . — Tout nombre est divisible par II lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, et la somme des chiffres de rang pair, est o ou un multiple de 11.

Avant de de'montrer cette propriété', il est nécessaire de remarquer

1'. Que toute puissance d'un degré pair , Je 10, diminuée d^une unité, donne un résultat divisible par 11.

En effet, ce résultat est nécessairement composé d'une suite de chiffres 9 en nombre pair, écrits à la suite les uns des autres; or, chaque tranche de deux chiffres, considérée seule, forme 99 ou 9 X 1 1 , et est par conséquent divisible par 1 1 ; donc la valeur relative de chaque tranche, qui est un multiple de la valeur absolue , est elle-même divisible par 1 1 . Donc , eu général , 10*" — I est divisible par n (2/1 exprimant, comme nous l'avons déjà dit , un nombre pair).

2". Que toute puissance d'un degré impair, deiQ^ augmeri" tée d'une unité , donne un résultat divisible par 11.

En effet , une puissance d'un degré impair quelconque de 10, peut être exprimée par lo**""*"* (n** 456). Or, on a

n^an+j = 10*» X 10 {voyez n** ii2) ;

ou bien encore ,

lo»""*"» =5 io*!*X*o— 10 + io=:(io*"— -i) 10+ 10;

DE DIVISIBILITÉ. 'l8l

ajoutant I aux deux menribres, on en conclut

I0«»-»-»4. I = (lO*" ï) 10+11.

Maïs 10*"-— 1 est divisible par 1 1 , d'après la première remarque ; 1 1 est d'ailleurs divisible par lui-mêuie ; donc lo****"'-!-! est aussi divisible par 1 1 .

Cela pose', soit N = . . • hgfdcba le nombre propose'. Ou a, d'après le principe fondamental de la numération de'cimale ,

N= a+ lo ^ -f" 10* ^+ 10^ <^+ ïo^ d -f" io^y*+. • ., égalité' qu'on peut mettre sous la forme

)i^ 4.(10»— i)c+(io5-fi)^+(io*—i)/+...

Or, d'après les deux remarques précédentes , la première ligne se compose de nombres essentiellement divisibles par 1 1 , et forme par conséquent une première partie qui est ellemême divisible par 1 1 . Donc si la seconde partie , qui n'est autre chose que la différence entre la sommea-^c-^-f'^li^,,, des chiffres de rang impair, et la somme b^d-^ g -{■'... dès chiffres de rang pair, est divisible par 11, comme on l'a supposé, le nombre total N est aussi divisible par i f. — G. Q. F. D.

440. Lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair, n'est pas o ou un multiple de 1 1 , le nombre total n'est pas divisible par 1 1 , puisque l'une de ses parties est divisible et que l'autre ne l'est pas. Mais alors il y a deux cas à considérer relativement à la manière d'obtenir le résiste de la division :

1®. Si la somme des chiffres de rang impair est plus grande que la somme des chiffres de rang pair, la différence devra être ajoutée à la première ligne horizontale de la valeur de N. Désignant donc cette première ligne par B, et la différences ajouter par C , on aura N = B-f-C; et si C n'est pas divisibltj par II, le reste de la division de ^par 1 1 est celui quon obtiendrait en divisant Q par 1 1 (n° 185).

2". Si, au contraire , la somme des chiffres de rang pair est plus grande que celle des chiffres de rang impair, la diffé-

t62 PREUVES PAE 9 ET PAE II

rence devra être soustraite de la première ligne , et Ton aïo/a

N^=B — C; C désignant toujours la valear ntuue'rique de la

différence.

Or, B étant multiple de ii , et C renfermant lui-même , en

général , un certain multiple de 1 1 plus un reste R moindre

que II, il s'ensuit que N ou B — G peut être mis sous la

forme

N=iiXm — R,

ou bien, N=ii (m — i)-{-ïi — R.

D'où l'on voit que, dans ce cas, le reste de la division de N par 11 est égal, non^pas au reste de la division de C par 11, mais au résultat quon obtient en retranchant R de 11.

Soit, pour fixer les idées , le nombre ^^^5^66, £n faisant 1^ somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite , on trouve 27 ; faisant de même la somme des chiffres de rang pair, on obtient i3. Or, la première somme est plus grande que la seconde. Donc , si l'on prend la différence , ce qui donne i4 , le reste 3 , de cette différence divisée par 11, sera ^I à celui de la division du nombre total ; ce qu'on peut vérifier aisément,- en effectuant cette dernière division comme à l'ordinaire.

Mais si l'on avait le nombre 870546845, puisque la somme des chiffres de rang impair est i5, et que celle des chiffres de rang/pair est 22 ^ i5 , il s'ensuit que , si Ton prend la différence entre ces deux sommes, ce qui donne 7, le reste de la division du nombre total par 11, n'est p^ 7, mais bien 11 — 7, ou 4 9 comme on peut s'en assurer.

141. Preuves par 9 et par 11 de la multiplication et de la division. — Nous ne pouvons passer sous silence un moyen simple et très commode de vérifier la multiplication et la division des nombres entiers. En voici l'énoncé :

Faites successivement la somme des chiffres du multipU" cande et la somme des chiffres du multiplicateur^ en ajani soin doter, au fur et à mesure^ tous les 9 que ces deux sommes rtf^ermenli vous obtenez ainsi deux restes qui (n® 187) ne

' DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION. l83

sont autre chose que les restes de la division des deux facteurs par 9.

Multipliez ces deuoù restes l'un par Vautre , et cherchez de la même manière le reste de la division de leurproduit par o.

Enfin , faites la somme des chijjres du produit obtenu , en étant tous les 9 qui se trouvent dans cette somme; vous obtenez un nouveau reste qui doit être égal au précédent pour que l'o-^ pération soit exacte.

Soit , par exemple , à multiplier Vun par l'autre les deux pombres 5786 et 4'y5 ; la multiplication étant effectuée d'après le procédé connu, on fait la somme descbiffres du multiplicande, en ôtant les 9 au fur et à mesure; ainsi l'on dit, en commençant par la gauche : 274835o

Set 7 font 12; de 12 ôtëz 9, il reste 3; 3 et 8 font 11 ;de 1 1 6tez9, il reste 2; enfin, 2 et 6 font 8 ; c'est le reste de la division du multiplicande par 9, et on l'écrit ù part.

On opère de la même manière sur le multiplicateur; ce qui donne pour reste 7, que l'on écrit au-dessous de 8, comme on le voit ci-dessus.

On multiplie 8 par 7 ; il vient 56 et l'on dit : 5 et 6 font 1 1 ; Âtez 9, il reste 2 qu'on place à la droite de 8. Enfin , l'on opère sur le produit total comme sur les deux facteurs ; ce qui donne le nouveau reste 2 qui doit être égal au précédent pour que l'opération soit exacte.

Pour rendre raison de la preuve par 9 d'une manière gêné* raie, désignons par A et B les deux facteurs proposés, par Q, Q% R et R', les quo tiens et les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par 9 ; on a les égalités suivantes :

A = 9XQ + R,

B = 9XQ' + R'.

Multipliant membre à membre ces deux égalités , on obtient (n* lia). .. AB=9«. QQ' + 9. Q'R+9- QK' + RR'.

l84 PREUVES PAR 9 ET PAR II.

Or, les trois premiers termes du second membre de cette nouvelle égalité' sont e'videmment des multiples de 9 ; donc (n® 15^) le reste de la division du produit AB par 9, doit être égal à celui que donne le produit RR' divisé par 9; ce qu'il fallait de'montrer.

Si l'uu des deux facteurs de la multiplication est divisible par 9, le produit doit l'être également ; alors R ou R' est nul. Il en est de même si le produit RR^ est multiple de 9.

Quant à lapreuv^ede la division, il peut arriver deux cas: ou, en effectuant la division d'après le procédé connu, Ton n'obtient pas de reste , ou bien l'on en obtient un.

i". S'il n'y a pas de reste, le dividende est censé le produit

exact du diviseur par le quotient obtenu; et dans ce cas, on

. peut appliquer la règle précédente , en rcgardaiit le diviseur et

le quotient comme les deux facteurs d'une multiplication, et

le dividende comme le produit.

2?. Si l'on obtient un reste , comme, en appelant N le dividende total, D le diviseur, Q le quotient, et Rie reste, on a l'égalité

N = DQ + R,

il s'ensuit que le reste de la division de N par 9 doit être égal à la somme du reste de la division de DQ par 9, et du reste de la division de R par 9 (somme qu4l faut toutefois diminuer de 9 si elle est plus grande que ce dernier nombre).

N. B, — Toutes les fois qu'on fait usage de la preuve par 9, et que le reste trouvé au produit total, n'est pas égal au 3* reste, on peut conclure que la multiplication n'a pas été faite exactement ; mais si le reste du produit est égal au 3°, il est présumable que l'opération est juste; cependant, on ne saurait l'af&rmer, pour deux raisons principales: la première , parce qu'on a pu écrire, soit dans les produits partiels, soit dans le produit total , des zéros pour des 9 , et d'après la nature de la preuve, on ne pourrait s'apercevoir de l'erreur; la seconde^ parce que deux chiffres, soit des produits partiels, soit du produit total , peuvent être , l'un trop fort , l'autre trop faible

AUTRES CARACTàRES DE DIVISIBILITÉ. l85

du même nombre d! unités ; cq qui ferait compensation dans Vaddition des chiffres du produit; ainsi, Ton ne s'apercevrait pas encore de Terreur.

i Cette preuve , quoique très commode dans la pratique , n'est donc pas rigoureuse ; et Ton ne doit la regarder, lorsqu'elle réussit, que comme une demi-preuve, que l'on emploie seulement lorequ'on est pressé par le temps; mais quand elle ne re'ussit pas , on est toujours sûr que l'opération est fausse.

La preuve par 1 1 , qui ne diffère de la preuve par 9 que dans la manière d'obtenir le reste de la division d'un nombre par 1 1 {yojrez n® i4iO), est préférable, quoique étant elle- même sujette à quelques erreurs ; mais ces erreurs doivent se présenter beaucoup plus rarement.

Du reste, ces preuves sont susceptibles d'être appliquées également à la multiplication et à la division des fractions décimales, puisque ces opérations s'effectuent i\ la manière de celles des nombre^ entiers.

142. Il existe également des caractères auxquels on peut reconnaître qu'un nombre est divisible par les nombres pre-^ miers «7, i3, 17.. .; mais les règles qu'il faut suivre sont, dans la pratique , beaucoup plus longues que l'opération qui consiste à essayer directement la division du nombre par 7, 1 3.. . Ces questions , de pure curiosité , exigent d'ailleurs d'autres notions algébriques que celles dont nous avons fait usage jusqu'à présent.

Nous engageons seulement les élèves à s'exercer sur la question suivante : Quels sont, dans un système de numération Quelconque dont la base e^/ B, les deux nombres qui jouissent de propriétés analogues à celles de ^ et de 1 1 (onze) dans le ty sterne décimal^ et démontrer ces propriétés? On y parviendra facilement en se rappelant que , dans tout système de numération , une puissance quelconque de la base est exprimée par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance, c'est-à-dire par 10", n étant ce degré. 145. Quant aux caractères de divisibilité d'uu nombre par