DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES
156. I®. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur ne nfermepas d'autres facteurs premiers que net 5, estréducble en une fraction décimale dtun nombre limité de chiffres kimaux; c'est-à-dire qu'après un certain nombre d'opetions , on doit parvenir à un reste nul; auquel cas la f façon de'cimale obtenue exprime la valeur exacte de la fraction ropose'e.
£q outre , si la fraction ordinaire proposée estirrc'ductible (ce a'ou peut toujours supposer), le nombre total des opérations effectuer, est marqué par le plus grand des deux exposons ^2 et 5 y qui entrent dans le dénominateur.
Ainsi, les fractions g, -^, j-^ — J- , qui peuvent ëvidem-
lent se mettre sous la forme
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>Dt réSuctîbles en une fraction de'cimale d'un nombre limité e chiffres de'dmaux.
La première et la troisième donnent lieu à 3 opérations ; la •conde à 2 , et la quatrième à 4* On trouve en effet , pour leurs valeurs ,
qu'on peut vérifier aisément en opérant leur réduction en •cimales , d'après le procédé ordinaire.
Pour nous rendre compte de cette propriété , remarquons
le 10, 100, 1000. . .• étant égaux à 2.5, 2'. 5*, 2.5',
) pour opérer la réduction en fraction décimale , on multi* ie (n® ll>5)le numérateur pario, 100, 1000. • . . , le produit sultant sera divisible par 2.5, 2^.5*, 2^.5^....; donc, si u multiplie ce numérateur par l'unité suivie d'autant de ros qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposans de 2
5 que renferme le dénominateur, le produit résultant sera cessairement multiple de ce dénominateur.
Donc le nombre des opérations à effectuer est limité, et égal
101 PROPRlIîâ DÉS FAAGtlONS DÎScIMALÈS PlSaidDIQCES.
au plus graud des deux exposans de 2 et 5 qui entrent clans le dénominateur.
IS7. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur renr ferme un ou plusieurs facteurs prehiebs dijférens deiietS, qui ^rC entrent pas en même temps dans le numérateur, donne lieu à une fraction décimale d'un nombre de chiffres décimaux ILLIMITÉ OU INFINI. De plus, Cette fraction décimale e^/PÙio^ INIQUE, c'est-à-dire qu'après un certain nombre d'opérations , lès méhies cbiffrcs décimaux se reproduisent constammeàt dans le même ordre.
En effet I la multiplication du numérateur par 10^ 100 , looo. . . ., ne fait qu'introduire les facteurs premiers a et 5 chacun à une certaine puissance ; ainsi le facteur premier que l'on suppose exister dans le dénominateur sans entrer dans le numérateur, ne se trouyera pas davantage (n® 129) dans le produit du numérateur par une puissance quelconque de 1 o. Donc, quelque nombre de zéros qu'on écrive, on ne pourra obtenir un produit exactement divisible par le dénominateur; aiosilcs Opérations se continueront à Yinfini.
Je dis en outre que la fraction sera périodique. En efiet, comme, suivant le procédé du n^ IKtf, chaque reste qu'on obtient est toujours moindre que le diviseur, qui reste constant, il s'ensuit que , quand on aura fait tout au plus autant d'opérations qu'il y a d'unités dans le diviseur moins un, on devi^ retomber sur l'un des restes déjà obtenus.
Or, en écrivant un zéro à la droite de ce reste, on aura un nouveau dividende partiel semblable à l'un des précédens; et puisque le diviseur est le même , le nouveau quotient et le nouveau reste seront aussi semblables à ceux qu'avaient donnés le premier dividende retrouvé et le diviseur. Écrivant à la droite de ce reste un nouveau zéro, on reproduira le dividende partiel qui suit immédiatement celui qu'on avait d'abord retrouvé, et par conséquent aussi le quotient qui vient après celui qu'on a déjà retrouvé. Ainsi de suite.
Oopo certains chiffres du quotient doivent se reproduire pi" riodiquement et dans le mime ordre.
EXEMPLES DE FRACTIONS PÉRIODIQUES. !^o3
ifOQS quelques applications.
