REMARQUES

diviseurs qui se trouvent communs aux deux tableaux; vm obtenez air%si le, diviseur demandé.

Ou bien encore, ce qui est plus court , après avoir seulement

décomposé'tes deux nombres en leurs facteurs simples (p? 144),

faites unpPééuit des facteurs premiers communs, élevés res^

pectivement à la plus faible des deux puissances auxquelles

ces facteurs' entrent dans les deux nombres.

Soient, par exemple 9 les deux nombres 2i5o et 36ia, dont loit^tèùttte' obtenir le plus ^rand commun diviseur.

' ***4 tfi5o

%■■'.' 3Gia

ax43==86.

-044 -y fi If 4 j 43 3oi

îitp ^'iu;. vi . . I '•'^43443

Pa l^uyc^p^r les.diyi^Q^s twple^ de 2i5o.. 2,5,5,439

ci«pp«ff}e#iiiviseurs ùipplcts de 36i2 3,293,7,43*

lWçi2«K4^ ou 86 e&t le.plu3 grand commun diviseur cherché* (Q§ jifoif dç plus, que 5 X;^ ou a5, et 2 X 3 x 7 ou 4^, sont l^,qi}ptien9 de la divi^Qi^ de 2x5o et 36i2 par 86.)

iKi. Ce procédé est toutefois moins simple, en général, que le^piDOOtclé. ordinaire , surtoujUarsqu'on apporte , dans la praiîqife dexeluirci , les modiâcatlils suivantes :

9i4sqiae lé^hiç giân4 commun diviseur de deux nombres ne se ■ f onrpbse que'i des facteura premier» communs aux, deux nombres, on peut, sans inconvénient, supprimer dan^ Fm ^^tmtin facteur ' commun qui s'jr trouve en évidence et qui m'eméte^.pas dans V autre. \

On peut même , si Fon veut , supprimer un facteur ^f est évidemment commun aux deux nombres, pourvu qu'à la fin de l'opération subséquente., on en tienne compte en muUi' pliant le /résultat/auquel on parvient, par le facteur, supprimé,

Ol^ervoBS d'ailleurs que le plus grand commun diviseur de deux ^oooJbres étant (n® KS) le même que celui qui existe entre le plus^petit nombre et le premier reste, entre ce reste

SUR LE PLUS GRAND COMlfUfr DIVISEUR* I97

^ t le second , etc. ... ^ ces suppressions peuvent se faire àm$ chacune des opérations que comporte le procès.

Ainsi I reprenons les deux nombres 2 1 5o et S613.

Je vois que 2i5o contient le factear 5, et même le facteur 25 ^ui n'entre pas dans 36i2; je supprime donc celui*ci et il ^ient pour quotient 86.

De même, 36 12 contient le facteur 3 qui n'entie pas d^nt 21 5o ; je le supprime , et il vient pour quotient 1204.

Les deux nombres 86 et 1204 ont évidemment le fiuctèiÉr commun 2 que je mets à part ; et la question est ramenée k rechercher le plus grand commun diviseur entré 43 et* 602* .

Divisant 602 par 43 , je trouve un quotient exact i4 ; donc 43 X 2 ou 86 est le plus grand commun diviseur cherché.

Soient encore proposés les deux nombres 377 et 249*

Je commence par supprimer le facteur 3 qui , se trouvant dans 2499 n'entre pas dans 377 ; et la question est ramenée -4 rechercher le plus grand commun diviseur entre 377 et 83.

Appliquons le procédé : en divisant 377 par 83 , 4

on a pour quotient 4 9 et pour reste 45 ; mais au 377 ) 83 lieu de diviser 83 par 45 , comme à l'ordinaire , je 4^ '

remarque que 45 = 3\ 5 ; or, les facteurs 3 et 5 n'entrent pas dans 83 ; je puis donc supprimer dans 45 les facteurs 3* et Sj; ce qui me donne pour quotient final Vunité. Donc' 377 et 83 , et par conséquent 377 et ^49 > ^^^^ premiers entre eux.

Avec un peu d'habitude , ces modifications abrègent beaucoup la pratique du procédé. Au reste , nous ne le^ avons prér •entées que parce qu'elles deviennent indispensables dans la recherche du plus grand commun diviseur algébrOqu^^'

IKS. On peut avoir besoin de déterminer le plus grand diviseur commun à plus de deux nombres. Yoict. la règle qu'il faut suivre :

(Pour abréger, nous désignerons les quatre moU^plus^ grand commun diviseur, par p.g.c.d.)

Pour trouver le^. ^. c. d. entre plusieurs nombres à lafo^, il faut d'abord chercher le p. g. c. d. entre deux de ces npnir bres , puis le /7. g. c. d. entre celui qui vi^nt d'être trouvé et

un troisième uù^Abrc , plus le/r. g. c. d. entre ce detoier codi< mun diviseur et un quatrième nombre* • • • « Seôebt A^ B^ C« £, F.^ •» les nombres proposas; et appekn»DIe/».^. c* ^enireÀ«tB|D'le/>. g^ c.d. entre D etC je dis d'abord que D' est \ep. g. c. d, de A, B, C. En efiist Imp* g.4:* iL dé A, B et G y devant diviser A et B , divise B^ qu est leur p. jr. c. d. (vqjrez n"* tffi ) ; d'ailleurs il divise G ; il doit diviser S' qui est^ par hypothèse, le p. g. c. d. de at 6. D'«m autre câte% D • divisant J> , divise A et B ; ainsi , £>' divise Ay B| G, et par conséquent , leur /?. g. c. d. Donc c^ éermiçr nombre et D' sont réciproquement divisibles Tun par Fautte^ ainsi ils sont égaux.

ParéiHemeQtyle/»^ g*e, d. entre A , B , C, £ , devant diviser A* ^ B , G , devise D' qui est leur /y. g»c,d,; d'ailleurs , il divise E ; iÎQii il doit diviser ie p. g. c. d. D^ entre D' et E. D'un aatic cAtë, B" divisant D^, divise A, B, G; ainsi D' divise A , B,C,E, f t par conséquent leur j?. g* c d. Ge dernier nombre et D'étant «rfdpféquemeat divisibles l'un par l'autre, sont égaux.

EÎ ainsi de suite*

Jf. B^-^Ou, conçoit qull y a , en général , de l'avantage ï opérer d'abord sur les deux nombres les plus simples, puisque \ép.g.v^ d. cherché ne saurait surpasser celui qui existe entre ces deux nombres.

On trouvera, par ce procédé, que les nombres 5e4i 7^f 1960 «C 3o5d, ont pour plus grand diviseur commun 42. ' ' Oft pourrait paiement décomposer les quatre nombres en leurs diviséofs simples , et opérer comme il a été dit pour deux UMibrftt (n® iW).

189. Remarquée sur les Jractions irréductibles. — On appelle (n® M) fraction irréductible, une fraction qui ne peut être exprimèeen fermes plus simples.

Il résulte évidemmeiit de cette définition, que les deux termes d^ime JraeUon irréductible sont premiers entre eux ; car s'ils aviAeirtun facteur commun , on pourrait , en les divisant p&r eelkcftéûr, tifbtenir une fraction plus simple ^ ce qui serait contre la définition.

SUR LES FRACtlOKS IRRÉDUCTIBLES. ^'Md

Rcciproqu^ment , touta fraction dont lès deux ièHjitëJt àbfu P^ewniers entre eux est irréductible. i

£n effet, désignons par ? la fraction proposée^ 4«|iit)€s fermes sont , par hypothèse , premiers entre eux ; et soit une *tttre fraction - égale à la première.

'fin a f=§, d'où l'on déduit c=2^.

Or, c est un nombre entier; donc -j- doit aus^i ^trc un

nombre entier; mais, par hypothèse ^ ft eét premier ayee^;

ainsi (n^lfiS) b doit diviser <f , et Von ^ drszb^i

Sabstituant cette valeur de d dans Texp^ession è%è^ en

obtient

abq

Gela prouve évidemment que pour quune fr^çtiçi) -^ soit

équivalente à une fraction t don t les deux tei^messQutpreiQiers

entre eux , il faut que hs deux termes c et d soient des éjùt^ multiples de a e/ b»

Donc la fraction -r ne peut être équivalente à auçunç afitfç

fraction plus simple.

Il résulte de là que quand on a divisé les deux tetiiieii d'une fraction par leur plus grand commun diviseur, lafràc^ tion résultante est irréductible; proposition que nous atoi» énoncée au numéro M , mais sans la démontrer. ^

i2S4. On peut encore conclure de ce qui vient d'être dit^ qù deux fractions irréductibles ne peui^ent être égales^ à mtfiiif qU'ilh'yait identité^ dune part entre les numérateurs, d autre part entre les déiwminateurs.

En effet, là. première fraction étant irréductible, doit avoir ses deux termes prcm/er^ entre eux; donc^ pour qut U; secoAdè

aOO PAOPAIÉTÉS

lui toit ëgak , il faut que ses deux termes soient des tjui' multiples des deux termes de la première ; etcommelaseoonde fraction a aussi ses deux termes premiers entre eux, ceux-ci doÎTent être simplement égaux aux deux termes de la première.

5 III. Des fractions décimales périodiques,

ira. L'ë?aluation d'une fraction ordinaire en fraction décimale , c'est-à-dire en dixièmes , centièmes,. . . de l'unité principale , donne lieu à des circonstances qui méritent d'être examinées ; mais avant de les faire connaître, il est nécessaire de revenir sur le procédé qui sert à convertir une fraction ordinaire en fraction décimée.

Nous avons vu (n® 9i);quey pour opérer cette rédaction, il iaut, après avoir écrit un zéro au quotient et une virgule à la droite de ce zéro , i^^ placer à la droite du numérateur un o et diviser le nombre résultant par le dénominateur, ce qui donne au quotient Jej dixièmes et un certain reste ; 2®. placer unnouifeau o à la droite de ce reste et diviser le nombre résultant f or le dénominateur, ce qui donne au quotient des centièmes ti^Vi second reste ; Z^, placer à la droite de ce reste un nouveau 0, ei diviser le nombre résultant par le dénominateur; on continue d'ailleurs cette série d'opérations, jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'approximation qu'on veut avoir.

Or, il est évident que poser successivement à la droite des difFérens restes autant de zéros qu'on veut obtenir de chiffres décimaux, revient à écrire tout de suite ces zéros à la droite du numérateur de la fraction proposée, c'est-à-dire à mulli" plier le numérateur par V unité suivie d'autant de zéros que Von veut avoir de chiffres décimaux , à diviser le produit résultant par le dénominateur, et à séparer ensuite vers la droite du quotient, le nombre de chiffres décimaux demandé: car, d'après le procédé ordinaire de la division des nombres entiers, on est conduit à abaisser successivement à la droite de chaque reste, les zéros qu'on a écrits tout d'abord.

Cette remarque va nous servir à démontrer les deux pro', priétés suivantes :