SI
e — X ou rj, fraction qui (n^ 186) peut être convertie e fraction décimale d'un nombre limité de chif&nes dé-
aUihne exemple* ^
ao4 SOMMATIOlf DES FAACTIOlfft PilIODIQOES.
Dans cet exemple, la période 290 1 84
' se manifeste après la S"^ opéra- 38ojo^45a38og{ 5s38og...
tion. Mais, ce qpTil y a de remar- 44^'
quable , c'est que les deux pre- aoo
miers chiffres décimaux ne font 3ao
pas partie de la période ; tandis 680
cfue, dans les deux premiers 800
exemples, la période commence 44 au premier chiffire dérîmal.
Les fracUons décimales périodiques^^nt la përiodeco»* menée au premier chiffre décimal , s'appellent^îvclioiu pMh diques simples; et celles dont la période ne commence qne^ tard, se nomment fractions périodiques mixtes.
VS%. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaiffs, réduites en décimales, donnent lieu à des fractions dédmiics périodiques.
Réciproquement, toute fraction décimale périodique fSimjk ou mixte , provient d'une fraction ordinaire; et Ton p&tt rttrouver facilement la fraction qui lui à donné naissance.
Cette question présente deux cas distincts : ou la traction périodique est simple, ou bien elle est mixte.
Considérons d*abord le premier cas, et supposons, pour fixe' les idées, une fraction périodique simple dont la période ait cinq chiffres.
Soit o,abcde abcde abcde. ... la fraction proposée , et désignons par X la valeur inconnue de cette fraction. 'On a d't- ^
bord li
x:=iO. abcde abcde abcde.».. (t). I;:
Multiplions les deux membres de cette égalité par 10^, ou ptf m Tunité suivie d'autant de zéros qu'il y a de' chiffres dios b |[^ période, ce qui se fait (n^ 86) en avançant la vii^ule de 5 nsp vers la droite^ il vient pl
10^ .x, ou ioooooX«=^c^e, abcde abcde^» t }^^
ou 100000 X ^ Bs abçde -f- o, abcde abcde..... (a\ P^'
SOMIUTION DES FRACTIOlfS PÏCrIODIQUES. %oS
Si maintenAnt on relranche Fëgalité (i) de Végalité (^)j en bservant que looooo x — - x =s 99999X9
:i obtiendra 99999X = abcde ;
4tbcde
onc enfin x =
Ce qui prouve qu'une fraction décimale périodique simple >t équivalenle à une fr'ûction ordinaire qui a pour numéro^ iir Pensemble des chijjfres de la période i et pour déncmina^ ^r un nombre composé iTautant de 9 qu'il y a de chiffres ans la période.
Ainsi la fraction o y 35i35i35i« . . est, d'après cette règle,
35i luivalente à la fraction — •
Celle-ci p0ut être simplifiée si Ton remarque que ses deujt
irmes sont divisibles par 9. On obtient , par la suppression
3q e ce facteur , —^ ; supprimant de nouVeaii le facteur 3 qui
(t encore commun , on trouve enfin pour la/i^ction réduite,
-. C'est la fraction du second exemple traité au numéro 158.
Soit encore la fraction 0,03960396. « . •
La période est ici 0396; donc la fraction est équivalente à
jqg 3qg
-^, ou simplement, à --^ . (On supprime le o comme inu-
le; mais on a dû d'abord en tenir compte, parce qu'il fait
artie des chiffres delà période. ) . . j
Le facteur 9 étant codhhuii aux deux termes de ce résultat ,
i le supprime, et il vient -^^ , fraction dont les termes
nt encore divisibles par 11 ; et e^ supprimant ce facteur,
^ obtient enfin -r^ pour k fraction réduite à ses moindres rmes. ' • • '
3o8 ktJTKEB moPEifn^
