La formule x= Pl'^'^àe - pgrs
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conduit à des résultats assez remarquables.
D*abordy il est ëvident que, les calculs indiqués an un* mérateur étant eflfectnés, le r^ultat ne peut être terminé par un ou plusieurs zéros ; car, pour que cela fut , il fandnit que quelques-uns des derniers chiffres de pqrs fussent les mêmes que les derniers cbif&es de abcde\ et dans ce cas, h période ne commencerait pas après le 4* chiffre dédmal, comme on Ta supposé. ( Par exemple , si Ton avait « s e^ r =: Jy la fraction primitive serait Ojpqdeabcdeabcde.»»} et la période, commençant au 3* chifire, serait <fe<ifrc.)On voit donc qu'après la réduction de Texpression ci-jesiusl ses moindres termes , le résultat doit être une fraction doat le dénominateur renferme les deux facteurs % et 5 , oa «a moins Tun des deux, à la 4* puissance, c'est-à-dire à «M puissance d'un degré marqué par le nombre des chiffres qui ne font pas partie de la période.
Nous pouvons conclure de là les deux propositions suivantes: I**. Toute fractîàn dont le dénominateur ne renferme mcun
des deux facteurs m emiers ^ et 5, ou est premier avec I0| donne lieu , étant réduite en décimales, à une fraction périO' dique simple.
En effet, si l'on pouvait parvenir à une fraction périodiqw mixte , il s'ensuivrait que la fraction ordinaire équivalente i laquelle on parviendrait d'après la règle du h* ïéo, étant r^ duite à ses moindres termes, serait égale à la fraction proposée. Or cela est impossijjle car on a vu (n® 1^3) qu'une fraction dont les, deux termes sopt premiei's entre eux, ou qui est irréductible , ne peut être égale à une autre fraction s; | les termes de celle-ci ne sont des équimultiples dies termes de la première ; il en résulterait donc que le dénominateur de la fraction proposée seraitmuUiple.de % ou de 5 ; ce qui est contre L'hypothèse.
a^. Toute fraction irréductible dont le dénonuniUcw f^n-*
DKS FRACTIONS rÉRIODiQUES. HOQ
me un des deux facteurs a et 5, au tous les deux, donne ru à une fraction périodique mixte dont la période doit mmencer après autant de chiffres qu^il jr a dt unités dans plus grand des deux exposans de 2. et de 5^ qui entrent au incminaieur.
D'abord 9 la fraction périodique ne peîH-^MUB être simple j^
ar la formule pour ces sortes de fractions, étant "* , il
99999--st impossible (n^ iM) que cette dernière Iractioni dont le
lënominateur ne renferme auoua des Acteurs 2 et 5, soit,
iprès la réduction à ses moindres termes, égale à la fraction pro-
)osée dont le dénominateur renferme ces mêmes tàCtpi^Kê.
En second lieu, si n désigne le plus grand del dçux exposans
le a çt 5 9 qui se trouvent dans le dénominateur, la période
bit commencer après n chiffires; car supposons, par exemple,
{u'elle commence après n— •! chifires; la fraction équivalente
t cette fraction périodique aurait un dénominateur qui ne
'enfermerait les deux facteurs a et 5, ou l'un d'eux, qu'à la
/i«- 1 )<'«"< puissance, et ne pourrait être ^^e à la fraction
^posée , puisque d'ailleurs ces deux fractions sont supposées
nréductibles.
fi 1^ Par exemple^ les fractions -, 7- (n^ 161 ) , ont donné lieu
des fractions périodiques simples, parce que 7 et 87 sont
Premiers avec 10; mais la fraction ^ a donné lieu à une
rsction périodique dont la période commençait après le second
biffire , parce que 84 est égal à a^. 21 .
Enfin, la fraction --'7:, pouvantsémettresousla forme -j—^-- ' 176 '^ 2*.ii ,
>nneraii lieu à une fraction périodique dont la période com-
encerait après le 4*"' chiffre décimal.
On trouve, en effet , pour la valeur de cette fraction en dcci-
aies, o,i8238636363. .. .
