X'Y — Y'X Z'Y — ZY

substituant ces valeurs de M et de N dans l’équation ( 22 ) , on obtiendra

dz ZX' — XZ' dz , X'Y — Y'X , .

Z'Y — ZY' dy + Z'Y — ZY' — °*«-(26);

tes coefiiciens ^ et se déduisent des équations (25), qui donnent ' •

— — — N âü — AT ^ dx __ N

dx * ; dx 7 dy dx dy M * * * ^ *

574 note huitième. . '•

mettant ces ^eurs de ^ et de — dans l'équation (26) , et

faisant évanouir le dénominateur , on trouvera

— (ZTT — ZY')N — (ZX' — XZ')^ +X'Y— Y'X=o....(a8) ;

les quantités X , Y, Z , qui entrent dans cette éfjuatian , ne sont pas toujours connues puisqu’elles ne doivent être données qu’en différenciant les équations U = a et V = b. Cherchons donc à éliminer X, Y et Z de notre résultat. Pour cet effet, en regardant z comme une fonction de x de y , nous tirerons des équations (a 3 )

• * X+zï, MJx + Z'p-,

ax .ax dr dr

^? = Y + zi, ÿ = Y' + Z't; . '!

<îy É d y ■ d y '

mettant dans ces expressions les ^lÿirs de ^ et de ^ ,

données par les équations (27) , et tirant les valeurs de X , de Y, de X' et de Y', nous trouverons

X=^-f-ZN, X' = " + Z'N,

’ dx

da ZN V — ^ j Z ' N dy + M ’ “ ày +

substituant ces valeurs de X, de Y, de X' et de Y', dans l’équation (28) , et réduisant, nous obtiendrons

da di dn dft . . . *

dïd7*~d^di' ,,(39)v

Cette équation nous apprend que a est fonction de b ; et en effet, si nous avons ax=Fb, en différenciant cettê équa-

INTÉGR. DES ÉQUAT. DIFFERENT. PARTIELLES. Z-fÔ tion , nous trouverons àa = çbdb , d’où nous tirerons

• du , d b d a ' dé

Ty = * b Ty> .

éliminant fb, nous trouverons l’équation (29).

NOTE DERNIÈRE (page a 19).

Sur l'intégrcttien des fonctions rationnelles qui , dans ' ,‘

leurs dénominateurs égalés à zéro , contiennent des racines imaginaires et égales.

L’intégration des fractions rationnelles de cette espèce se réduisant à celle de là forrhule -s— — , comme la ma-

nière dont nous avons intégré cette expression, page 219, est un peu compliquée, nous allons indiquer un procédé moins direct, mais qui est en usage pour parvenir promptement à ce but.

\)n supposera

J (Ç*+zy~ (>+*•/-*■*" J (£*-+- z ‘y- 1 '"*' 0) ’

ou, ce qui revient au même,

différenciant f on a *

Hdz («*+ z')'-> + H(t — p) (C* + z')-Wà z dz >

çu

dz Hdz(C*+z a ) aH(i — p)z a dz (C a +z a )fk

(S , -f-z‘y (C* 4- z x y (C* +z % y ■*" (^Tay *