RROJECTION D’UNE SURFACE PLANE

un plan , est égale au produit de ceffe syrfdfce , par le cosinus de son inclinaison , nommons y l’angle de projection qu’une surface A fait avec une surface B j la surface A é^nt inclinée sur l’autre , la rencontrera nécessairement ; plains l’axe des x à leur comiyune section , et supposons, que les ordonnées y de la. surface B soient perpendiculaires à cet a*e; il est certain que toute ordonnée y de cette surface aura y cos * pour projection sur l’autre; par conséquent, l’élément de la surface A étant représenté par yàr , article 348 celui de la surface B le sera par^y cos ydx ; prenant les intégrales , nous aqfons • •

‘ A — fyàx, B z='Jy cos y àjar=* cos yfydx ; éliminant fyàx entre ces équations , nous trouverons • B = A COS y. ,

NOTE SIXIÈME (pag® a 7 a).

Sur r expression du cosinus de T angle formé par deux plans f déterminée directement par un procédé nouveau.

* ProposQns-ilbus de résoudre directement ce problème.

Trouver le cosinus de l’inclinaison de deux plans. Soient

DB, DC, ÈB (fig. g 3 ) les traces d’un plan DBC sur les

plans coordonnés , dont les axes rec f angulaires sont dirigés

suivant les droites AB, AC et AD; nommons AB, a;

AC, b ; AD, cj et représentons par « , fi , y , les angles que

Aie plan DBC forme, avec les plans des yz, des xz et des

^^ry, les projections de la Surface BCD sur ces plans étant,

bc. ac ab ,, , . ' , .

—, —, —, nous aurons, d jipres la note precedente ,

DBCcosy=°^, DBCcos« = ^, DBC co's C= Ç. . .(18J;

élevant au carré chacune de ces équations , si l’on en prend

Zjo NOTE SIXIÈME.

la somme, et qi^’on repplace par Trinité celle des carrés des cosinus, on obtidhdra, après avoir tiré la racine carrée ,

• DBC =i y a'b % -j- Z>V -f- e’c 1 ;

substituant cette valeur dans la première des équations (18) , on en déduira V ,

cos y = —7= ' —- ...(19).

Soit maintenant Ax + By Cz -f- D = o l’équation du plan DBC^si Ton fait^ = o,^>n aura Ax + C s-f-D=o, pour l’équation de la^race DB ;■ cette équation nous donne

Ax D

Comme on sait que dan3 l’équation de la, ligne droite mise sous cette forme , le coefficient de x représente la tangente trigonométrique de l’angle formé par la droite avec Taxe des x , nous aurons donc •

• taogDBA = -£; .

mais le triangle rectangle DBA nous donne tang DBA = ^ ;

en comparant ces deux valeurs , on a

faisant ensuite x — o, dans l’équation du plan, pour avoir «elle de sa trace sur le plan des x,y, on trouve de même

EXPRESSION Dü COSINUS DE L’ANGLE. Z7I

«ubstituant ces valeurs dans 1’équatLon (19), on obtient

COS y:

• Si l’on divise maintenant l’équation du plan par C , et qu’oft la différencie successivement par rapport aux variables x et y, on trouvera

• dz A ds B * . *

dx"" - ?’ dÿ C.’

substituant ces valeurs dans celle de cosy , on aura en

. COS y — — ■ . - =rr- . •

. NOTE SEPfîÈME (page 3 o 3 ). #

Sur la courbe g. double courbure , qui peut être constrûite

au moyen de deux équations entre trois variables.

Il est facile de prouver que les équations (122) ? p. 3 o 3 , appartiennent à une .courbe à double courbufe. Pour cet effet , changeons les y en z et les z en y, afin de placer les axes coordonnés d’une manière plus commode pour notre démonstration ■ nous aurons les équations

z* -f- axy-^-y* — o. . . (20) , sx -f- S y * — a=o.. .(si). 1

Si la première existait seule, on pourrait, par son moyen, construire une surface courbe. En effet , si par tous les points du plan des x,y, que nous supposerons, comme à l’ordinaire, horizontal, nous élevons des perpendiculaires, les valeurs en seront déterminées au moyen de l’équa-

oya NOTE SEPTIEME.

tien (ao) ; et l’on sent que les extrémités de ces ordonnées S constitueront une surface courbe. Lorsque quelques -uiîes de ces ordonnées sont imaginaires , c’est un indice que la surface ne s’étend pas dans les endroits où subsistent ces ordonnée^imaginaires.

,Si maintenant nous avons égard à l’équation (ai), nous • établissons par cela même, entre x et y une relation qui assujétit les pjeds des ordonnées z à être sur la courbe qui appartient à l’équation (ai) ^.et l’on voit que J dan%ce cas, les extrémités des ordonnées z , ne forment plus une surface, mais une courbe. Le système de ces onfcnnées z constitue al c^iune surface cylindrique , dont l’intersection avec le plan des x,y, est donnée par l’équation (ai). C’est l’intersection de cette surface avec celle que détermine l’équation (ai) , qui forme la courbe dont nous venons de paijer \ et il est évident . que cette courbe est à double courbure , puisqu’on sait que l’intersection de deux surfaces cdTtrbes forme un^ courbe à double courbure. - • *

NOTE HUITIÈME (page 33 g).

Nouvelle démonstration concernant l’intégration des équa- • tions différentielles partielles .

On a vu, art. 482 ,-que si en intégrant l’équation

dans laquelle M et N sont des fonctions de x , de y et de z , on obtient deux intégrales U = n et V = è , on a nécessairement a = <pb. La démonstration de ce théorème étant très importante, nous avons cherché à lui donner le dernierdegré de rigueur, de la manière suivante :

U et Y étant des fonctions de x, de y et de z, les con*

• INTÉGR. DES ÉQÜÀT. DIFFÉRENT. PARTIELLES. 373 «tantes a et *6 peuvent être aussi considérées comme des fonctions de ces mêmes variables , en vertu équations U = a et V = b; par conséquent, si l’on différencie successivement ces équations, on aura

àa = Xdx -f- Ydy -+• Zdz l àb = X'dx -b Y'dy -f- Z'dz J ’ * * (a3) ;

ces différentielles doivent être nulle», par la raison que a et b sont constantes; ainsi, les équations da = o, dè = O, nécessitent celles-ci :

Xdx Y dy -f- Zdz = o l

X'dx + Y'dy + Z'dz = o / ’ ’ ‘ (a4) -

Si dans ces équations ,*divisées par dx, on substitue les valeurs de dz et de dy, tirées des équations

d*-f-Ndx = o, dy — Mdx = o. . .(25), données page 333 , on aura ®