Cola posé, considérons trois cas

Si m = n, et que le nombre r de différenciations effectuées soit égal à ni , les binômes (x— a)—- et (x — q)— ' se léduisent chacun k

(x—«)°, c’esi à-dire à l’unité ; à l’egard dis autres biuomes (x a)",

(x — O;”—*, etc-, (x r-«)*,.(x— à )*~‘ * etc., ils sont nuis dans l’hy r politise de X = « ; ainsi , tous les termes , hors le dernier du numérateur elle dernier du dénominateur, s’évanouissent, et l’équation (4^) devient d m . Fx

i= ”«('»— — P JP Fx " ( « — i) («— a):. . Q ~ Q .fx"

dx”>

Dans le second cas, qui est celui oh l’on attira, si le nombre r de différenciations effectuées est t-gal à n , le binôme (x — a)’~ r se réduit à

l’unité, parce que son exposant n — r est nul. Les exposans n t

« — a , etc. , m — i , m — a , etc. , des autres binômes , étant plus grands que n — r, sont positifs; par conséquent, ces binômes se réduisent chacun à zéro lorsqu’on fait x—a; tous les termes s’cvanoiiisscijt donc, dans cette hypothèse, hors celui où entre (x — a)’~ r , et l'équation (44) sc réduit à d». Fx

dr* O O

d’ex n(n— i)...Q(x — a)’~ r n (n — i). . IQ "" °‘ ( ‘

dx"

Ce'té valeur est tionc un indice qu’on a m > n , cas où l’équation ( 43 ) se réduit à zéro. Enfin , si l’on a m < n , le nombre r de different iatioui ekecutées, étant pris égal à m, tous les termes s’évanouissent , hors 1«

as .

■terme m (lit — i) . . . J* (x — a)®, et il reste |K Fx

<!jr m m (m — i). . . P

(I m . sx ' * o

dx"

cette valeur annonce donc que m snrpasse n , cas où le second membre de l'équation 43 est infini.

81 . De ce qui précède, résulte celte règle : Lorsqu'on veut déterminer la vraie valeur d’une fraction « — , qui devient - par une

valeur donnée à la variable , on différenciera séparément les deux

d . Fjt

termes de celle fraction, et ensuite on examinera si les résultats -jj — et se réduisent aussi à zéro , par la valeur hypothétique de la variable ; si cela est, on prendra les coeficiens différentiels des expressions — j -— et — j — , et l'on verra si, dans la même hypothèse

de la variable, ces coeffioiens différentiels se réduisent chacun à zéro ; en continuant ainsi cette vérification , si ton trouve , après un certain nombre de différenciations , que les deux termes de la fraction ne s’évanouissent point par la valeur donnée à la variable , celte

, . ' Fx

dernière fraction sera la vraie valeur de — ; mais si le numérateur

seulement devient o par la valeur de x , texpression fe sera nulle ; enfin , si ce n'est que le dénominateur qui s’évanouisse par la'valeur

de x , texpression — sera infinie,

8 a. Prenons pour exemple la fraction “ * .

Fx x’ — b*

7x~ 4'x— Tÿ

cette fraction devenant - lorsque x = b , si nous voulons en avoir la vraie

valeur , nous différencierons ses deux termes , et nous obtiendrons j

et comme les deux termes de cette fraction ne deviennent pas nais dans

l’hypothèse de x = b, la vraie valeur de la fraction proposée, lorsque x—b,

est donc — .

83. Nous prendrons encore pour exemple la fraction • ...... x* — 3x •+■ a ,

— 6 x* ■+■ Sx — 3 ’