Si l’on appliquait la même règle à la fraction

qui devient - , dans l’hypothèse de x = o , on trouverait, en différenciant les deux termes de cette fraction,

a* log a — A» log A

expression dont le numérateur ne devient pas nul lorsque ar = o, et; qui , par conséquent , donne log a — log b pour la valeur que prend la fraction proposée lorsque x = o.

11 est bien évident que le facteur commun aux deux termes de la fraction proposée est x — o , c’est-à-dire x ; mais comment reconnaître ce facteur dans a*— -A* ? Pour y parvenir , nous remarquetons que , d’après, Partiels (37),

a* = 1 4 . A - -1 f-etc. ,

lia ,

b* — r -f- B - H h etc-i

donc en prenant la différence

a* — A* = ( A — B)x + x* -h et e. ,

et l’on voit que x est facteur commun de a 1 — A*.

85. 11 ne faut pas cependant croire que la règle qne nous venons de donner suffise pour tous les cas : la démonstration précédente est fondéesur ce que 1rs exposans m et n sont des nombres entiers; mais s’ils étaientfractionnaires , on ne pourrait obte^r , par des différenciations succès-». siyes, un tenue ou x — a se (couvât élevé à la puissance o; par cotisé-»

quent , on no pourrait, par lo procédé que nous avons employé, dégager là fraction du facteur commun. . '

Soit donc pour plus de généralité', l’expression

F.r P(x — n) a -+• Q (.r — «j^4-R(x — aŸ -+• etc.

,X P' (x — af' -h Q'(x — af + R' (x — a? + etc.

dans laquelle a . , C,y, etc., sont positifs et croissans, ainsi qne C, y, etc. Cette expression se réduisant Jt - lorsque x — a , nous .pourrons , an lieu de changer x en a , changer rena + A, en nous réservant de faire h = o , après avoir réduit; alors l’hypothèse sera la même que si’ nous eussions fait immédiatement x = a , et nons aurons

Fx Ph*-f-Qh C +Rfe V 4- etc- P 'h a '+ qhf-b R7i V 4- etc.

F.n considérant et et ce', qui sont les plus petits ^exposans dans chacune de ces suites, il peut arriver trois cas: t

Dans le premier cas, en divisant par h les deux termes de la fraction (45), on jt " ! • • • '

Fx PI * “ ‘+ Qh C ~ X '-bW, y ~ *4- etc.

-1- etc.

par hypothèse , a surpasse a’, par conséquent le nombre a — a' sera po- »itif; h plus forte raison f — a', etc., y — a! le sont aussi, puisque' a, (,y, etc., vont cp augmentant; C — a', y' — a', etc., seront aussi des quantités positives, par la raison que les expressions a’, C, y’, etc., allant en croissant , *' est moindre que C, que y' , etc. Cela posé , si Ton ■ fait h ~ o, tous le* termes du second membre de l’équation (46) s’évanouissent , hors P'j donc cette équation se réduit alors à

Fx o

’ " ■ g gf

Dans le second cas. , oîi a = a', le terme P/i se réduit à Pli 0 = P ;

donc, d’après l’inspection de l’equation (46), on voit que, lorsque.

Fx ., . . P ' ’

x = a , — se réduit à — fx r

Enfin , dan» le troisième cas, oit l’on i«<«, en divisant par if, on

• As

DE LA FRACTION écrira ainsi l’éqnation ( 45 ) :

Fx P + QA C ~* 4 - R h y ~ * + etc.

P'/.“ “-4- Q'h" “ ■+■ R'A V " -f- etc.

CJt l’on voit que l'hypothèse de h = 0 réduit cette équation h Fx^P^^