PRÉFACE

Il est, dans l’histoire des connaissances humaines, des époques où le génie, après s’ètre élevé au plus hautes conceptions, semble quelque temps arrêté dans son vol pour prendre bientôt un nouvel essor, et ' se signaler par l’une de ces découvertes qui changent la face de la science.

• C’est ainsi que Descartes, par l’application, de l’Algèbre à la Géométrie, se fft*ya une route inconnue à ses prédécesseurs, et que Newton et Leibnitz étonnèrent l’Europe savante par l’invention d’une analyse supérieure encore à la Géométrie de Descartes. *

Jamais découver te.n’honora plus l’esprit humain : 4 l’infini, cet être idéal, parut soumis au calcul, et opérer des prodiges. En vain quelques pbilosopbes # voulurent révoquer* en doute l’exactitude d’une ' analyse aussi singulière; ils ne purent en conteur îl& résultats, et ne tirent qu’exciter les géomètres h méditer davantage sur la vraie métaphysique des nouveaux calculs.. Newton , le premier, pénétra ce mystère , en considérant le Calcul différentiel comme la méthode des* premières et dernières raisons des quantités, ou autrement, comme la méthode des limites dé leurs rapports. D’Alembert pré-

Vj PREFACE.

tenta les idées de Newton comme renfermant la \raxe métaphysique du Calcul différentiel , et prouva que , par la méthode des limites , on peut donner une explication satisfaisante de celle des fluxions des Anglais, dégagée de toute considération de mouvement j idée étrangère au Calcul différentiel. Postérieurement à d’Alembert , plusieurs géomètres , et entre autres Cousin, ont exposé dans leurs écrits la méthode des limites -mais ce n’est que depuis qu’elle . a été démontré à l’aide du théorème de Taylor, qu’on l’a mise dans rf|jt son jour, et qu’on a dissipé entièrement les doutes qui pouvaient naître de la mé- # taphysique spécieuse de la méthode des infiniment, petits, méthode qui peut être regardée comme une espèce d’abréviation de celle des limites.

La méthode des infiniment petits , sous ce rap-’

' port , n’est plus qu’un moyen expéditif de trouver les différentielles des diverses fonctions ; elle grave ces différentielles dans notre mémoire, par des fi- * gures géométriques réduites au dernier degré de* simplicité, et qui parlent plus’à l’imagination que d™ idées abstraites; enfin , cette méthane devient indispensable dans les hautes parties de la Mécanique et de l’Astronomie, *où. sans son secouçs , la résolution des problèmes deviendrait souvent d’une extrême complication ; aussi nos grands géomètres, dans les parties les plus relevées de leurs écrits, en font-ils souvent usage. .

Cette méthode, dans sa métaphysique même, eut

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autrefois d’ardens défenseurs, parce que*.si l’on ne s’écarte pas d’une certaine série de propositions , tout parait avoir la rigueur mathématique, et semble découler naturellement d’un principe fondamental.

Ce principe a été regardé jusqu’à présent comme une espèce d’axiome ; mais le point de vue sous lequel il nous fait considérer l’infini, nous présentant des conséquence? difficiles à admettre, j’ai cru devoir le démontrer, en donnant pour base à la méthode des infiniment petits un autre principe qui, également fondé sur les nqjions cpie nous avons de l’infini , satisfait plus à la raison par l’idée de limite qu’il renferme tacitement.

Si la méthode des limites complète celle des infiniment petits, en rectifiant ce qu’il peut y avoir de défectueux d^s celte dernière, la méthode de Lagrange complète à son tour celle des limites, en rattachantes coefliciens différentiels à la pure Algèbre.

On peut donc considérer ces trois méthodes cc^nme n’en formant pour ainsi dire qu’une seule; aussi, en les comparant, r^connaît-on que les principes qui en découlent leur sont communs, et qu’il ne faut, pour les entendre toutes, qu’ajouter très peu de choses à celle de's limites. La Méthode de Lagrange se réduit alors, en quelque sorte , à un théorème que j’ai rendu extrêmement’ facile par les modifications que j’ai fait subir à sa démonstration.

Je ne me suis pas moins att aché à présenter sous un jour favorable les diverses théories dont se compose

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oc Trailé.*J’.y ai développé, comme dans mes autres ouvrages en Mathématiques, toutes les opérations, persuadé que ce n’est pas en les supprimant qu’un auteur peut donner une icléè plus avantageuse de la profondeur de ses connaissances ; et qu’il ne doit être jugé que par la manière dont il expose ses idées , et par les aperçus plus ou moins nouveaux renfermés dans ses écrits. • , •

A ces considération^ j’ajouterai que dès qu’on s’assujétil ainsi à n’ommre aucune idée intermédiaire, ce n’est qu’à force de précision qu’on peut éviter les longueurs si nuisibles à l’ensemble d’une théorie; et la difficulté devient encore plus grande lorsqu’une partie de l’ouvrage est consacrée à rendre raison -des choses-.

Par la multitude d’objets traité^dans celui-ci , on jugera encore mieux des obstacles que j’ai dû rencontrer après m’ètre donné de pareilles entraves. *

Pqjmiies additions que j’ai faites à cette nouvelle édition, je citerai les Points singuliers , les Maxima et Minima des fonctions de deuil variables , les Courbes polaires , la Théorie de la variable indépendante, les Solutions particulières des équations différentielles, la Cubature des corps terminés par déS surfaces courbes et la Quadrature de ces surfaces, les Conditions d’intégrabjlité des fonctions de trois variables, les Equations différentielles du second ordre , les Equations simultanées , etc. ; enfiin, j’ai terrniué cet Ouvragé par une Théorie des équations dif-

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férentielles partielles, avec quelques considérations générales sur les fonctions arbitraires qui complètent leurs intégrales ; ce qui m’a couduit à donner l’explication du procédé dont on fait usage pour déterminer la fonction arbitraire qui entre d«ftis une équation, lorsque les équations de condition sont données.

La manière dont, eu considérant leé surfaces courbes, j’ai traité cette question importante, est analogue à celle que j’ai employée à l’égard des con-* stantes arbitraires. C’estainsi qu’à l’aide descourflfes, j’ai mqptré comment une équation étant différenciée et ensuite intégrée , on peut, retrouver la meme constante que la différenciation avait fait disparaître, question qui, à ma connaissance , n’avait pas encore été discutée.

Le Calcul différentiel et le Calcul intégral , plus qu’aucune^ autre partie des Mathématiques, étant composés d’une multitude de théories qui sont souvent indépendantes les^)es*des autres , j’ai cru devoir indiquer, par des caractères plus petits, les chosesqui peuvent être supprimées à une première lecture. Par là , ceux qui ne veulent faire qu’une élude peu approfondie de la haute Géométrie, auront la £tcnlté de ne voir que les parties les plus élémentaires . de cet Ouvrage, tandis que ceux (fui désirent acquérir des connaissances plus étendues, après s’ètre • familiarisés davantage avec les principes*, parcourront avec plus de finit les autres parties. •