A l’égard du sinus verse, en différenciant l’équation

DnTÉRENTUTIQK DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 27

sin ^erse x cos x — i -, on trouve d. sin verse X = d ( 1 — cos x ) et. en effectuant la différentiation d, sin verse x — sin x dr.

De la différentiation de quelques fonctions

transcendantes compliquées.

5o. Les principes précédons suffiraient, pour pouvoir différencier t(* te expression affectée de quantités transcodantes.

Soit^r^û faisons bf := u , nous' .aurons —■

différencions par l’art. (3?), nous trouverons

.h’.Lbi ■ .

<|v , T . b l T du = ; La, rx -.

v dr *

= a^b* L a Lb,

donc (art. £4) X 7— ou ~ = 0 n . «. **• . ff. d f ; :

5i. Soit encore J' = a 1 '; prenant les logarithmes, on a

]ogy “ i. logw , donc (f. log j- •= ed. log z + log z dv } mettant pour léfc différentielles logarithmiques leurs Va», leurs (art. 38), nous trouverons dr -di

— = v — + log zdr, et par conséqnent

dj-=j-^v— 4-logz df),ouplutôtdy=:X 1 '(t'' 1 — log z Jo.

^lu moyen de cette différentielle on trouvera facilemral celle de jr = z l ; .çar. soit <“ zz= v> , l'équation se rédui| à jr—z v ; or, les équation? J' .== z 1 ' et v—t" qui sont\ de meme forme que l’équation dont nous vcpons.de .trou-, ver, la différentielle, donneront

. . dj-sam^vii -|~ log^ dv) , -r A-

■ fi

r dr ==*“ (u ^ -f- log i du. .

Substituant dans la valeur de ày donnée par cette avantdernière équation celles de d v et de, v , nous aurons

dyz=z‘* [*“ V + log z t u (u ~ + log t d u ) ] =z* Y -f u log z -f log z log tda ].

Théorème de Taylor- #

52. Avant que d’aller plus loin, nous remarquerons que dans le calcul différentiel une expression telle que

, signifie qu’une fonction^ d’une ou de plusieurs variables a été différenciée par rapport à la variable x et divisée par d a:; par exemple , si l’on avoit y — ai* u 3 z<,

l’expression ^ se trouverait en regardant u et z comme

constans, et en différenciant par rapport à a: et divisant en*

. ' ' ■ àr

suite par dr : ainsi on aurait — a a x u? z*. On trouverait de même ^ = 4 a ** z 3 n 3 et = 3 a x* z* u*.

<1 * ^ du

Si l’on avait J" =s x* -f- z*, — serait 2 z.