Si J’on se rappelle le théorème dèmoutré ar

ticle ( a4 ) , on verra que u étant considéré comme une fonction de J et J comme une fonction de x , le

produit 42. dx n’est autre chose que la différentielle de u prise par rapport à a: renfermé dans^y.

66. La différentielle totale d’une fonction de x et de y étant donnée par l’équation du dx -j- ^ dj - , on a

nommé les expressions ^ dx , ^ d y les différentielles partielles de u.

De même, si u est une fonction de trois variables , X,J', z, indépendantes, nous aurons, •

dM =Ê d *+ % <lr +

du ds '

et les termes |j^dx, ^d?', dz , seront les différentielles partielles de u.

Çyj. Nous avons vu (art. 52 ), qu’une expression telle que , indiquait que la fonction^ avait été différenciée par rapport à la variable x, et divisée ensuite par dx; il suit de là que si l’on a l’equation / —A> et qu’on en tire

on ne peut sans démonstration en conclure que

car dans cette nouvelle équation , la différèntiation n’est plus faite par rapport à Xj mais par rapport à y, et l’on ne sait pas si dans cette nouvelle hypothèse de différentiation , le résultat est le même.

MÉTHODE DES TANGENTES. 3g

Pour lever cette difficulté, on a démontré (art. 24 ) que

d r dy d x'

Si dans cette, équation on fait v = x , elle devient

1 ày ’

d’où l’on tire

dy <jr’

ce qui fajt voir que le changement d’bypothèse de différentiation s’accorde avec l’algébje. *

De la méthode des tangentes.

68. On appelle ainsi la méthode qui donne les expressions différentielles des tangentes, sous- tangentes* normales et sous-normales. Soient x ety’ les coordonnées d’un point M, fig. 4 , pris sur une courbe, augmentons l’abscisse AP — x d’une quantité P P = h , menons l’ordonnée P f M' , et par les points Met M' faisons passer une sécante M'S. 11 est certain que plus PP' diminuera , plus PS tendra à se confondre avec la sous-tangente PT, jusqu’à ce qu’enfin PP — h devienne nul j PT sera donc la limite vers laquelle tendra PS.

Cherchons maintenant l’expression analytique de PS, pour en prendre la limite : les triangles semblables M'MQ, MSP donnent la proportion ,

MQ -..MQ: : MP .PS, ou M'Q : h ; ; y : PS ;

donc

PS — hjr — M'Q ■

Pour déterminer M'Q , nous aurons M’Q = M'P' — MP;

or ,

donc

U^i.a + etc ‘

M'P'^j + A / x h + à '^^ D'une, autre part

« MP =j.

Si nous retranchons ces équations l’une de l’autre , il nous viendra . 1 .

MP— MP ou M'Q^Jf h + p^-- + etc.

Substituant cette valeur dans celle de PS, nous trouverons • ' " '

pç : -L , \

et en divisant les deux termes par h ,