APPLICATION DE LA FORMULE DE TAYLOR

et en différenciant ,

iïa=d xLa;

d’où l’on tire

dj =J dx La=a z dx L a.

60. On peut déduire le théorème de Maclaurin de celui de Taylor , de la manière suivante : on a par le theoreme de Taylor

fr-r-L. 7 a — A- i i Ai , h » , d’.ftji .

/C + } ~ JX +~dT /i + T^7^ + dïr- o+ etc ‘C 26 ) Appelons {fx) ce que devient fx quand on y fait x = o , (df) ce 9 ue devient ^ q«and on y fait x = o , ainsi de suite pour les autres coefficiens différentiels; la formule (26), quand on fera x=o deviendra donc

Dans cette équation , h entre dans Jh comme x entrait dans/x, de sorte que si on change h en x , fh deviendra /x; et comme il ne reste plus de traces de x, ce changement est permis puisqu il importe peu de substituer une lettre ou une autre à h : en faisant donc ce changement on trouve

/*=t/*, + (£>+(^) ij+ etc. (17),

ce qui est le théorème de Maclaurin.

De la différentiation des équations à deux variables.

6i. Soit

une équation entre deux variables. En résolvant cette

équation par rapport à y , on trouvera^ - = çx; imaginons que l’on ait substitué cette valeur dans l’équation (28), celle-ci deviendra F (x,fX)=:o, ou pour plus de simplicité

fx=o . . . (29),

équation identique et dans laquelle tous les termes doivent se détruire , quelque valeur que l’on donne â x. Par exemple , si cette équation ne monte qu’au troisième degré , on pourra la représenter par

Ax? 4- Bx a Cx 4 - D = o ,

et en mettant une valeur quelconque pour x , elle sera toujours satisfaite; donc, en mettant x-f-/i à la place de x , on aura encore

A (x + h) 3 +B ix + h)* + C (x + h) + D=o, c’est-à-dire, que si Ton a fx~ o, quelque soitx, on aura encore f( x -f- /» ) = o ; retranchant de cette équatiop celle-ci fx — o , il restera f(x-\-h )—fx — o ; donc aussi

f ( x -J- A ) —fx -+* Ah + Sh* 4- etc. ,

d’ou l’on tire

^î^i=£ =A + Bh+e U .,

le premier membre de cette équation étant nul , on a donc

A 4 - Bh -)- etc. =0, et passant à la limite -~^= j<=o, et par conséquent d .fx = Aàx = o , ou plutôt , en restituant j-, d. F (x,jr)-=Aàx^=o.

Ceci nous apprend qu’en regardant^ comme une fonc-

DIFFÉRENTIATION DES ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 35 tion de x , si l’on différencie l'équation F ( x ,j) ~ o ,

on pourra égaler le résultat à zéro ; ce qui servira à dé- . < , .

terminer la valeur du coefficieht différentiel r- , comme

dx 7

nous allons le voir dans l’exemple suivant.

Soit donc

F ( x,j'l== x » + 3 ay = o, ( 3o ) ;

dluérenciant par les procédés ordinaires , et observant que par la démonstration précédente on doit égaler ce résultat à zéro , on a

2 X dx 3 a dy- — ■ a j dy :

de cette équation on tire

62. Si l’on compare le procédé qui nous a fait obtenîf cette valeur avec celui que nous avons employé jusqu’à présent , on verra qu’en opérant d’après cette première méthode, il aurait fallu d’abord mettre l’équation (28) sous la forme j- =fr , et par conséquent , résoudre l’équation par rapport à j- pour en déduire ensuite par la différen-

tiation la valeur de ^ j|. En suivant cette marche nous trouverions d’abord

et ensuite par la différentiation ,

Cette valeur de ‘{^ se présente sous une forme différente

3 G calcul différentiel.

de celle qui nous est offerte par 1 équation (3a); mais eu mettant dans l’équation (3a) la valeur de j' cette équation deviendra

comme nous venons de le trouver. L’équation (3 1 ) est la différentielle première de l’équation (3o).

Pour obtenir l’équation qui donne le coefficient dif-

férentiel du second ordre , c’est-à-dire en divisant

l’équation (3i) par dx et faisant = p , cette .équation

deviendra * »

• ax-(-3 ap — ljp=zo •

regardant.?- et p comftie des fonctions de x, nous aurons en différenciant

adx -f- 3aàp — 9j-dp — 2 pcj?-=o;

divisant par dx et mettant p à la place de ^ , il viendra

2 + 3 û ÎI— V *P*=*o,

d’où nous tirerons

dx 3 a — a y '

Or, puisque p— ^ .

d p . dV

nous ai^pns ~ sss mettant ces

valeurs dans l’équation (33) , et faisant évanouir les dénominateurs , nous obtiendrons

Hy (3a — 2?-)=2d?-* — 2dx’ . . . (34):

telle sera la différentielle seconde de l’équation (3o). Pour avoir la différentielle troisième, on fera

et l’équation (33) deviendra , après avoir fait évanouir le dénominateur ,

3 aq — 2 yq — ip* — 2 ;

on différenciera en regardant^, p, q, comme des fonctions de x , et l’on trouvera la différentielle troisième , ainsi de suite.

t 63. Au lieu d’employer les lettres j 0 , q , r etc. pour effectuer les opérations, on parviendrait au même résultat en différenciant l’équation (3i) et en mettant d y pour la différentielle de jr , dy pour celle de dp , dy pour celle de dy , etc. , et en regardant dx comme constant ; on trouverait de cette manière

2 da:* -+■ 3«dy — 2 dy* — :ydy = o ,

équation qui est la même que l’équation (34).

64 . Donnons maintenant l’expression générale de la différentielle de l’équation f {x,y) = o. Pour cela représentons f(x,y) par u, nous aurons en différenciant

cette fonction par rapporta u, le terme ‘j-^dx, et en la différenciant par rapport à y , nous aurons ce second terme dy, en sorte, que d.f (x ,y)o\idu — ~ d.r -f-

dy. Mais si y est considéré comme une fonction de x

nous aurons en la différenciant dy

Ax ax >

substituant cette valeur , nous trouverons d« = ^dx+^ A /-ix.

d x 1 dy d x