PT : PM : : PM : PN

,dx‘

OU

donc

PN=j = sous-normale.

A l’égard de la tangente et de la normale, nous avons

MT==\ZtP^PM> ,

ou tangente — y/ ' y> + /* =/ ^ >

A/iV = x/TN^TpM' ,

ou nomrnfe = y/ +/»=/ y/i £ + »•

70. Pour trouver l’équation de la tangente , soient x et j, les coordonnées du point de tangence Mj l’équa- fig. 5. tion de la droite MT, qui passe par le point M, pourra donc être représentée par

Dans cette équation , A étant la tangente trigonométrique de l’angle MTP , cette tangente trigonométrique

PM

aura pour expression j car on a

PM

PT: PM:: 1 : tang. MTP = /Jy , , Donc tang. MTP

= pm y jL^ -,

PT sous-tang.~

substituant cette valeur de A dans l’équation de la tangente, cette équation devient

4 a CALCUL DITF^RKNTTKL.

y— y — (x — x ) , équation de la tangente.

Celle de lanormale sera don cy—y = — —, (x — x').

Application des Formules précédentes à des exemples.

7 1 . i°. Trouver la sous-tangente de la parabole.

L’équation de la parabole étant/'* = px, on en tirera en la différenciant

ayây=pàx,

et par conséquent

dy \P

dx sy‘

Or x' et y étant les coordonnées du point de tangence , il faudra donc , pour avoir le coefficient différentiel qui correspond à ce point , accentuer x et/; ainsi nous aurons

dy' P .

dx' xjr 1 *

substituant cette valeur dans celte de PT , nous obtiendrons

et en mettant px' à la place dey'* , cette équation deviendra ' , . .

PT ou sous-tangente — ix .

a 0 . Trouver la sous-normale de P ellipse.

L’équation b*x* + a*y* — a*b* de l’ellipse rapportée au centre étânt différenciée , donne

ai’xdx -j- ia*ydy = o ,

Digilizetfby Cbogle

asymptotes des courbes.

a’ou 1 on tire

mettant cette valeur dans celle de la sous-normale PN on obtient

PN ou sous-normalè — — • — - x.

3°. Trouver l'expression de la tangente au cercle.

L’équation x 3 -j-y 3 — r 3 , qui est celle du cercle , e'tant différenciée , on trouve , pour le point de tangence

Au moyen de cette valeur , on réduira l’expression de MT k

tangente —y + 1 =j\/ ~~p~ =/ ï*

Des Asymptotes des Courbes.

72 . L’expression AT, fig. 6 , de la distance dn sommet de la FIG. 6 . courbe , au point de tangence , sefdc'duit facilement de 1 équation de la tangente ; car si le sommet A de la courbe est pris pour origine , la droite AT sera la distance de ce sommet , au point où l’ordonnée MP sera nulle.

dy*

L’équation de la tangente M T étant y — -g-, ( x — je'), ü

suffira donc de faire y = o dans cette équatiog, pour que la valeur de x qu'on en déduira soit celle de AT : nous obtiendrons de celte manière ' . •

.... , ,dx'

Telle sera U distance de l’origine , an point où la tangente coupe l’axe des x. Pour connaître la distance de l'origine , au point où

tangente conpe l’aie des y , il faudra calculer AB, Or AB étant l’ordonnée y qui correspond k x,= o dans l’équation de la tangente , nons aurons dans cette hypothèse

AB=y‘

te' X '

Supposons maintenant que x' devenant infini , les valeurs de AT et de AB , fig. 7 , conservent des valeurs finies , on en conclura que la droite TB ne rencontrera la courbe qu i uni distance infinie, donc TB sera une .asymptote h la conrbe.

73 . Prenons pour exemple l’équation^’ = mx -+- nx ' , on tirera de cette équation

djr' m -+- a nx' te'

donc

AT = x'

AB = /

a y h mx’ -t- am 1 *— ay'*

: -+- a nx' ni -t- a/ix' m -

’-t- atir’’ ay'* — mx ’ — a nx 1 '

mettant pour y' sa valeur , et révisant, on trouve mx' mx'