On peut quelquefois abréger beaucoup les opé

rations qu’on emploie pour reconnaître si une fonction est susceptible d’un maximum ou d’un minimum. En effet , supposons que l’on veuille déterminer le coefficient différentiel de l’équation^ — XX , dans, laquelle X et X' sont des fonctions de x , dont la première seule devient nulle par une valeur donnée à x -, en différenciant celte équation, arj 14 , et en divisant par dx nous obtiendrons

<lr *dA-'

dx Ar 1 dx X , par hypothèse, étant nul, en vertu de la valeur

donnée à x, cette équation se réduit à <I>- X’âX dx

dx

ce qui nous indique que , pour obtenir ^ , il faut multiplier le coefficient différentiel du facteur nul par l’autre facteur *. •

107. Par exemple , si l’on veut obtenir le coefficient différentiel de y — ^ ans l’hypothèse de a. - =* a ; en

écrivant ainsi celte équation ,

. *=ïhx (x-a),

on trouvera que

dr L d ( x — a ) ]

dx y/ x ^ dx \/ a

. Cl-'l

* Cette règle n est pas sans exception , car pent être aussi nul : par exemple, lorsque liquation A = o a des racines égales , on sait

dX . . f âX\,

qu on a — — = o j flans ce cas , on observera q — - — étant le coeffiuir , ni» fhr

cient différentiel du second ordre de l'équation qui donne le maximum ou le minimum, comme ce coefficient est nul , il faut , art. f)5 f recourir au coefficient différentiel du troisième ordre,

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES MAXIMA ET MIVIMA. Gg

108. Reprenons maintenant l’équation (49), «le laquelle on veut tirer la valeur de^^j-, dans l'hypothèse de x= j- : en décomposant le numérateur en ses facteurs , nous

aurons

ax ( 4« — 3r )

\/ 4a’x J — a ax 3 ’

le second membre peut s’écrire ainsi :

i/rr-;-— X (4 a ~ 3*)î

y 4a a — aar s

dans l’hypothèse actucll», le facteur tyi — 3 x étant nul , nous aurons donc , art. 106 ,

«iy flJ - . 3 æt

dx a -aa? ^ ^ ^ Ça'x’— lax*

et par conséquent, en divisant les deux termes de la fraction par x ,

dV d-r» '

\/ 4"’ — aa r ’

mettant dans cette expression la valeur de x , qui est ^ , on obtiendra

dy 3a

cLc 1

Cette valeur étant négative, celle de x correspond à un minimum.