PROBLEME V

104. Entre tous les cônes inscrits dans une sphère, déterminer celui qui a une plus grande surface convexe.

Supposons que le demi-cercle AMD , fig. <6, fasse une révolution autour de l’axe AB , la corde AfI engendrera un cône , dont AP sera la hauteur, et PM le rayon de la base.

La surface convexe de ce cône aura pour expressif], circonférence PM x | AM— 27 r PM . i AM—n PM. AM. Il ne s’agit donc que de déterminer PM et AM.

Pour cet effet, soient AB — ia, AP = x-, MP éta^jt moyenne proportionnelle entre AP et PB , on a

x : PM : : PM : 2 a — x ,

PM— V / 'lax — x 2 }

AM étant moyenne proportionnelle entre AP et AB, on a * x : AM : : AM : %a ,

donc

AM = \/ iax ;

substituant ces valeurs dans l’expression de la surface du

Applications de la théorie des maxima et minima. 67 cône , on obtiendra , t *. . ^

surface convexe du cône = n\/ 2ax — x * \/ 2 ax = n y/ 4 a^x 2 — 20a' 3 ‘1

l’équation à différencier est donc (art. 102)

J" — 4^“^“ — 2æc 3 ,

d’où l’on déduit '•

dy 4°’* — f/ ^

dx — aa* 3 " ’ " ’

En égalant à zéro cette valeur de nous obtiendrons

l\a*x — 3ax* = o, •• -,

ou plutôt ax (4 a — 3x) = o ,

équation satisfaite en faisant x = o , ou en faisant

La première de ces. valeurs* ne peut appartenir qu’à un minimum. Il n’y a donc que la valeur x — qui puisse répondre à la question; c’est ce qui va nous être confirmé par le signe de

10 5 . Avant que de déterminer la valeur de ce coefficient différentiel , je vais expliquer un procédé qui abrégera les calculs dans de certains cas.

J’observerai préliminairement que, lorsqu’une fonction ^de x est nulle par une valeur qu’on donne à x , ' il ne s ensuit pas qu’en général son coefficient différentiel

6oit aussi nul : par exemple , si; l’on a la fonction x*

5 x + 6 , qui devient nulle, lorsque x=2, ou lorsque

== 3 , le coefficient différentiel de cette fonction , qui est 2x 5 , ne devient pas nul dans ces hypothèses.