Enfin si l’on a à intégrer

dx

~ — jj — , on multi-

cos"x «n*x 1

pliera cette expression par cos'x -f- sin*x , quantité qui équivaut à l’unité, et l’on aura

dx dx , dx

cos™x sin”x cos" — *x sm"x ' cos'*x sin* — ’x *

par là on diminuera de deux unités la somme des exposans du dénominateur ; et, en répétant un certain nombre de fois cette opération et en mettant à part toutes les fractions qui dans leurs dénominateurs ne renferment qu’une puissance d’un sinus ou d’un cosinus , on arrivera enfin à des fractions dans lesquelles la somme des exposons du dénominateur sera 2 ou 1 , suivant que m -f- n est un nombre pair ou impair j dans le premier cas l’intégrale dépendra d’une expression de cette forme -r — —

or r smxcoix

et dans l’autre d’une de celles-ci :

dr dr

cos x ' sia x

Pour intégrer -

dr

sm x cos x

y on multipliera le numérateur

TSB~

par cos’j: -f- sin*.r , et l’on aura

dx

•tn x cos x

= <Lv ^ tin x

-{-.•dx

sin x d (in x d co* x co» x sin x cos x 1

expression dont l’integrale est

log sin x — log cos x -f- log C= log C tang x.

Pour intégrer , on fera cos x = z , et l’on aura

dx —

d* • dx •in x *111 x

de

&in a x

dz

formule intégrable par la méthode des fractions rationnelles. A l’égard de » on supposera sin x — 1 , et l’on trouvera

/ dx r d»