COS X /' I

328. En général on peut toujours transformer les expressions qui contiennent des sinus et des cosinus en d’autres qui n’en renferment pas: pour cela , il suffit d’égaler sin x ou cos x à une nouvelle variable z. Par exemple , si dans l'expression sin m xcos’ 1 xdx , on suppose sin x—z , on aura

cos x — \/ 1 — s* et dx = substituant , on trouvera

sirj m .r cos n xd c = g m ( 1 — z\ ÿï ( 1 - — z’ )”

= z m ( 1 — z?r~r dz,

expression qui se rapporte aux différentielles binômes.

On peut aussi appliquer immédiatement l’intégration par parties à ces sortes d’expressions.

329. Enfin les formules trigonométriques peuvent être aussi employées avec avantage dans de certains cas. Pour

Digiti^od by Çloogle

MTECRAT. DES QUANT. EXPONENT. ET LOCARITH. 247 intégrer , par exemple , sin mx cos nxAx , comme la trigonométrie, nous donne

sin a cos A = ^ sin ( a -f- A ) -J- | sin ( a — A ) ;

en comparant l’expression sinmx cos nx , à cette formule» on trouvera

sin ma: cos nxAx~\ sin (m+n) x dx-{- ^sin( m — n)xd.r > et l’intégrale sera , art. 323 ,

„ , cos (m ■+■ n) x , cos ( m — n ) x

De V intégration des quantités exponentielles . et logarithmiques.

33 o. U a été démontré , art. 37 , qu’en prenant les logarithmes dans le système népérien, on avait da* = a x dx log a , donc , réciproquement

J'a x Ax=z~- a .

Ceci peut nous servir pour intégrer l’expression générale a x Xàx, dans laquelle X est une fonction de x. Pour cet effet , nous écrirons ainsi cette expression : X . a x Ax ; et en intégrant par parties , nous aurons

dX... (n 3).

„ log a J log «

Cela posé, en différenciantsucccssivement la fonction X , nous en tirerons dX = X'dx, dX = X"dx , etc. ; donc

°’ ix= v£^“’ ~ /n£ô

substituant cette valeur à la place du dernier terme de l équation (1 13) , nous obtiendrons

■dX

calcul intj'gràl;

En continuant d’opérer de la sorte , nous parviendrons à ce développement

Çxa x àx—a x ( JL . + *L ^1-

J \loga ( logfl)’ ~ (logo ) J (loga;<

± x™ ^ — Ç " J «i rw

(log J (log a )***"

Si , en prenai *Ja suite des coefliciens différentiels X, X" , X"... X ( n '> , le dernier de ces coefliciens est constant , on aura dA'M — o , et alors la partie intégrale s’évanouira. 33 1 . Prenons pour exemple X = x 3 , d’où l’on déduit X = 3x*, X' = 2.3x , X' ou XX> — 3.2 ;

donc

/ x > ‘n x àx—a I ( — — ■ \l«g a

(log a)

î.3t ( log « )*

( log « )V

Si l’on fait a égal au nombre e qui est la base du système népérien, log a devient loge, or, log e = i , en vérité de l’équation e = e lu s f j par conséquent

j "* x 3 c*dx = e* ( x 3 — 3x J ■+■ 2.3x — 2.3 ).

332. On peut encore parvenir à un autre développement de y a r . À'dar. Pour cela faisons J* Adx = P , f P^ = Q, f Qdx = /Î , etc. , et intégrons par parties , nous aurons

J' a* . A'dx == ,a x P — J* a * ^°§ a P^x... (i 14 ) , »

Ç a x log a . Pix = a x log a . Q — J" a * ( *°S a )* Çdx i et en substituant , l’équation (i «4) deviendra fé-Xàx — o.* P-~ a z logo . Q -f- Ç a x (\oga'f Qdx.

y (Jbôgle

INTEGRAT. DES QUAMTIT. EXPOSENT. ET LOCAMTH. H/ t C)

En continuait d’intégrer par parties , on aura en général J' a 1 A'dr = a* [ P — Q log a -f- R ( log a )* — etc.]

. . . rh J ' Za* ( log a )"dx.

333. Si l’on applique cette formule au cas ouX= , on trouvera

donc

/ a x àx x r j log a log a* 1 log a* /"* a* dx

L’intégrale de est une fonction transcendante qu’on n’a pu déterminer jusqu’à ce jour.

334- En général , on voit que quelque puissance négative et entière que l’on prenne pour exposant de x, on doit

toujours tomber sur celte transcendante J' —y ; car dans

les fonctions successives P , Q, R, etc. } les exposans de x diminuant toujours «L’une unité, la dernière de ces fonctions doit être de la forme — , et par conséquent la dernière intégrale sera

parce que A est constant.

Pour avoir une valeur approchée de l’intégrale de

on n’a d’autres moyens que de substituer dans

cette expression le développement de a 1 qui est , comme on l’a vu ,

ïlog«+- (log a)* -f- j (log a) 3 - f etc-, et d’intégrer ensuite chaque terme.

■*a r (îx

du *

335. Si dans l’équation — =. d log u , ou plutôt du = u d iog u , ou fait u = x r , on aura

dx? = x> d Iog x? )

ainsi toutes les fois qu’on pourra décomposer une différentielle en deux valeurs dont l’une puisse être représentée par x y et l’autre par d Iog x y , l’intégrale sera x y -f- C.

336. L’intégration par parties peut aussi s’appliquer à celle de l’expression À'dx ( Iog x f ) car si l’on représente par X f , l’intégrale de Xdx , on aura

J ' -Ydx ( log xf — X / ( log xf — n J ' ^ dx ( log x f~'.

On fera dépendre à $on tour cette dernière intégrale d’une antre , de la forme J' Xdx ( log x )"“* , et ainsi de suite.

Théorie des constantes arbitraires.

337 . Soit «ne équation différentielle j[ n F{ x f jr ) o entre deux variables et leurs cocfEcieos successifs , jusqu'à l’ordre n , on aura

d"F(x, y)d n —F (x,y) = o.. . dF (x, y) = o, F{x, y) = o. ..( 1 1 5).“

d"~ ’ F[x,y) étant l'intégrale de d n F (x, y ) , contient nne constante arbitraire qui ne se trouve pas dans la première expression, et ainsi de suite jusqtt'& F[x, y) = o, qui Contient n consumes arbitraires.

Ces n constantes arbitraires étant éliminées entre les équations ( 1 1 5) , on obtiendra u inéquation V—o, qui est l'éqnation différentielle de la fonction primitive F ( x , y ) = o ; mais si entre les équations F(x,y) — o , d F (x,y) = o...d" 'F(x,y) — o, l’on élimine toutes les constantes , hors une seule qne je représenterai par a , on aura nne équation différentielle de l’ordre n — I . En opérant de mérite b l'égard des autres constantes arbitraires, on trouvera en totalité nn nombre n d’équations différentielles de l’ordre n — t , et renfermant cliacnne une constante arbitraire différente. Ces équations sont les intégrales premières de l'équation F {x , y) — Oj d’où il résulte ce théorème : une équation différentielle de V ordre n a un nombre n <T intégrales premières, chacune de l'ordre u — 1 .