DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
multipliant la première de ces équations par a , la deuxième par b et la troisième par c, et ajoutant les résultats, on trouvera une équation identiquement nulle , qui sera la même que l'équation (ia6).
Pour déterminer a, b, c, les cocfficieas différentiels — , ^ , —
dx ’ dx ’ dx
n’eotrant qu’au premier degré' dans 1 les équations de condition (tua), (i» 4 ) el (ta 5 ) , nous pouvons éliminer deux de ces cociliciens ci i fl ê renliels , et nous trouverons 1 autre eu fonction des expressions dp dq
j ^ > etc. , qui sont des fonctions de x , déterminées , puisqu’on
connaît p ,q , r , etc. j nous aurons donc des équations de la forme
dn y di y. de v
dx — ' dx — >'di — //.»
i ou tla == X t àx ,àb = X M dx , de = X n dx , et en intégrant , on déterminera a, b etc.
Ce théorème est applicable aa cas où l’équation linéaire serait d’un ordre quelconque , par conséquent l’intégration de ces équations se réduit il celle de l’éqnatioa
• 4 r + ,B E + c ïï^--’ + ^ r ^ = o....(,2 7 ).
34 s. Lorsque l’équation linéaire de l’ordre n a des coefficient constaus , il est facile d'en déterminer l'intégrale. En effet , si daus l’équation (137) on fait^ - = e mx , on trouvera en différenciant
dx e » dx* — e m ’ jp=e ! etc.; substituant ces valeurs dans l'éqnation (laj) , on obtiendra
e mx {A + Bm-\- Cm* + Nm”) =0.... (128);
soient m' , m" , m!" , etc. ,les racines de l’équation
A -J- Dm -f- Cm“ -j- Am" = 0. . . . ( 1 ag) ,
l'équation (137) sera satisfaite par ces valeurs
J — e m ' x , J = ^" x , J = e m "'* , e(c . , ct comme on a n valeurs de y, l’intégrale finie complète de l’équalion (137) sera
J — ae m ' x + bc m " x -f- ,
-f- clc.
Lorsque m! = m" les termes ae"' x c t bc m " x , se réduisent i ( a + b) c" 1 ' , et alors la somme a -t- b devant être considérée comme une seule constante, on ne trouve plus uu nombre n de cons-
200 CALCUL INTLGRAL.
Unies arbilcairet dans l’expression do y. Dans ce cas, il a été démontré que si y = e'" '* satisfait & la proposée, la valeur^ = .7 c m ’ x doit anssi y satisfaire. En eiTct, en différenciant celte dernière équation or trouve
~ —xe m ’ x m -\-e m ' x , = xe m ' x rri 4 -f- 2 e m ' x rri\
~~ = xe m x nP -f- 3 e m ' x m'“ etc. ;
ces valetns réduisent l'équation (117) à
xc m ' z ( A -f- Bm -f- Cm* -f- Dm 3 -f- etc.)
-f- e m ' x ( B -)- iCm SDm ' 1 -f" etc. ) .... (i 3 o).
Or, l’équation (129) ayant par hypothèse deux racines égales, on sait par la théorie des équations que l’expression B 4 - aCns 4 - 3 Dm* 4- etc. , en renfermera une de moins que la proposée ,et s’anéantira lorsqu’on fera m = m', d'où il suit que l’expression (t 3 o) est identiquement nulle. Par conséquent l’équation (127) sera satisfaite par la valeur y = xe m,x , et aura pour intégrale complète y = ae m x -J- hxA"' z -f- ce m ' x -f- etc.
S’il y avait trois racines égales k m , on prouverait de mémo que l'éqnation (127) serait satisfaite en faisant
y = e mx -J- xc m x -f- x*e"' x ,
ainsi dcsnitc.
Lorsque l’équation (129) a des racines imaginaires , si l'une de ces
racines est k 4- / v»'— 1 , l’autre sera k — L V— >i (l i ° !1 aura
dans la valeur de y ces deux tenues
kx 4- Ixÿ' — 1 , Lr — Ix V — 1
ac -( - be ,
ou kxr lxV , —~i , — Ix y — i~|
e Leie + be J.
Mettant pour les exponentielles imaginaires leurs valeurs données par l’article (317), il viendra
O -f- £-)cos Ix + ( a — b) sin lx\/~i\.(i 3 «).
Dans le cas où X est nul dans l’équation (t 16) , a, b , e , étant des constantes arbitraires , nous pouvons supposer a 4 - b = c , a b — J v / ^~T . alors , la partie imaginaire qui est dans l’expres-
sion (rîi) , s’évanouira.
