DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
multi pliant ccs trois équations , la première par a, ]a seconde par b et la troisième par c , et ajoutant le& résultats , on trouve
J(a P + b q + cr) + B(a£+b g + c^)
* T rj* ,T T iw
, n / d V av \
t £, C a d? +i d? +c ârJ =0 -
Or, il est c'vident que cette expression qui est identiquement nulle, est la même que celle qu’on obtiendrait en faisant = ap -+- bq -4- cr , dans l’équation (118); donc celte valeur de y satisfait h l’équation (i 18} ; et comme clic renferme trois constantes arbitraires, elle est l’intégrale finie complète de l’équation (118).
34i* Lorsque X n’est pas nul dans l’équation ,
^ + fl È+ c ë + c S=*- •
Si l’on peut trouver trois valeurs particulières p , q , r , qui , mises successivement h la place de jr satisfassent chacune & l'équation
l’intégrale finie complète de l éqnation (1 19) sera
J = ap + bq -f- cr. . . . (121) ;
mais alors a, b, c, au lieu d'étre constantes, seront des frnetious de x , que noos apprendrons bientôt à déterminer.
Pour démontrer ce théorème , différencions l’équation {12 1) , et divisons-la par dx , nous aurons
d y dp . àq „ dr , d<r , d b de
dx dx dx dx ^ tir dx dx
Disposons des indéterminées a, b, c, par trois conditions : parla première , faisons
il restera
da
dx
à b de '
dx
ïr=a ê / + b¥ + c~.
•dx dx dx dx
Une nouvelle différentiation nous donnera
d’y i\‘p . . d’fl . d*r f du dp
, db dq
, <1 r <1 r ' da dx
Pour remplir la seconde condition , posons
tin dp . dA do , de dr - .It T du dx dx
dx dx
il restera
^ =a pLj rb Ï5.J rC
<1*3 r | r l 1 lll * 1
dx* dx* 1 «la* 1 ~ dx* %
différenciant encore et divisant par dx , il viendra
dV d 3 p , d*<7 . dV . d<i d*p . di d 3 q
dP=°d^ + 6 d^ + c dP' + didï î + dïï^
de d*r
+ dJ TF
Pour remplir la troisième condition nous pouvons supposer dn d*p . dA d*« . de dV v
C dF + d7 d? + Ê 3? = X - • • • * (,25) ’
et l'équation precedente deviendra
dV d 3 p
dïf = « —
dV
Je dis maîntenaot que la valeur y = ap -4- bq -4- cr , satisfait à l'équation (l 19), car mettant dans ccitc équation la valeur de y , et par conséquent celles de scs coefficiens différentiels , et effaçant les termes en JT, qui se détruisent, on trouve
A { ap + bq + cr) +-®^ a ^£+^5^+ c dbc)
Il s’agit maintenant de démontrer qae cette équation est identiquement nulle. Pour cet effet p , <7 , r satisfaisant à F équation C 120 ) » 00 a
■Jp + B^+C^+D^ o,
r 1 d-r ' dx* fbr*
dx*
•* 1 dx Hr* ' d 3 x
dx*
cpl
dx*
