Les sphères sont entre elles comme les cubes

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fin de la table des matières.

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Quoique la Géométrie soit par elle- même abstraite , il faut avouer cependant que les difficultés qu’éprouvent ceux qui commencent à .s’y appliquer viennent le plus souvent de la manière dont elle est enseignée dans les élémens ordinaires. On y débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires, qui semblent ne promettre rien que de sec au lecteur. Les propositions qui viennent ensuite ne fixant point l’esprit sur des objets plus intéressans, et étant d’ailleurs difficiles à concevoir, il arrive communément que les commençans se fatiguent et se rebutent avant que d’avoir aucune idée distincte de ce qu’on voulait leur enseigner.

11 est vrai que, pour sauver cette sécheresse naturellement attachée à l’étude de la Géométrie, quelques auteurs ont imaginé de mettre, à la suite de chaque proposition essentielle, l’usage qu’on en peut faire pour la pratique; mais

par là ils prouvent l’utilité de la Géométrie , sans faciliter beaucoup les moyens de l’apprendre; car chaque proposition venant toujours avant son usage , l’esprit ne revient à des idées sensibles qu’après avoir essuyé la fatigue de saisir des idées abstraites.

Quelques réflexions que j’ai laites sur l’origine de la Géométrie m’ont fait espérer d’éviter ces inconvéniens , en réunissant les deux avantages d’intéresser et d’éclairer les commençans. J’ai pensé que cette science , comme toutes les autres , devait s’être formée par degrés; que c’était vraisemblablement quelque besoin qui avait fait faite les premiers pas, et que ces premiers pas ne pouvaient pas être hors de la portée des commençans, puisque c’étaient des commençans qui les avaient faits.

Prévenu de cette idée, je me suis proposé de remonter à ce qui pouvait avoir donné naissance à la Géométrie, et j’ai tâché d’en développer les principes par une méthode assez naturelle pour être'' supposée la même que celle des premiers inventeurs , observant seulement d’éviter toutes les fausses tentatives qu’ils ont nécessairement dû faire. . -

préface. 3

La mesure des terrains m’a paru ce qu’il y avait de plus propre à faire naître les premières propositions de Géométrie ; et c’est, en effet* l’origine de celte science , puisque Géométrie siguifie mesure de terrain. Quelques auteurs prétendent que les Égyptiens » voyant continuellement les bornes de leurs héritages détruites par les débordemens du Nil, jetèrent les premiers fondemens de la Géométrie , en cherchant les moyens de s’assurer exactement de la situation , de l’étendue et de Ja figure de leurs domaines. Mais quand on ne s’en rapporterait pas à ces auteurs, du moins ne saurait-on douter que dès les premiers temps , les hommes n’aient cherché des méthodes pour mesurer et pour partager leurs terres. Voulant dans la suite perfectionner ces méthodes, les recherches particulières les conduisirent peu à peu à des recherches générales ; et s’étant enfin proposé de connaître le rapport exact de toutes sortes de grandeurs, ils formèrent une science d’un objet beaucoup plus vaste que celui qu’ils avaient d’abord embrassé , et à laquelle ils conservèrent cependant le nom qu’ils lui avaient donné dans son origine.

Afin de suivre dans cet ouvrage une route semblable à celle des inventeurs , je m’attache ■d’abord à faire découvrir aux commençans les principes dont peut dépendre la simple mesure des terrains et des distances accessibles ou inaccessibles , etc. De là je passe à d’autres recherches qui ont une telle analogie avec les premières, que la curiosité naturelle à tous les hommes les porte à s’y arrêter; et justifiant ensuite cette curiosité par quelques applications utilfes , je parviens à faire parcourir tout ce que la Géométrie élémentaire a de plus intéressant.

On ne saurait disconvenir, ce me semble, que cette méthode ne soit au moins propre à encourager ceux qui pourraient être rebutés par la sécheresse des vérités géométriques, dénuées d’applications : mais j’espère qu’elle aura encore une utilité plus importante , c’est qu’elle accoutumera l’esprit à chercher et à découvrir; car j’évite avec soin de donner aucune proposition sous la forme de théorèmes , c’est-à-dire de ces propositions où l’on démontre que telle ou telle vérité est, sans foire voir comment on est parvenu à la découvrir.

Si les 'premiers auteurs de Mathématiques

ont présenté leurs découvertes en théorèmes, ça' été sans doute pour donner un air plus merveilleux à leurs productions , ou pour éviter la peine de reprendre la suite^des idées qui les avaieut conduits dans leurs 1 recherches. Quoi qu’il eu soit, il m’a paru beaucoup plus à propos d’occuper continuellement mes lecteurs à ré* soudre des problèmes, c’est-à-dire à chercher les moyens de faire quelque opération , ou de découvrir quelque vérité inconnue, en déterminant le rapport qui est entre des grandeurs données et des grandeurs inconnues qu’on se propose de trouver. En suivant cette voie, les commençans aperçoivent , à chaque pas qü,’on leur fait faire , la raison qui détermine l’invén? teur, et par là ils peuvent acquérir plus faci-< lement l’esprit d’invention.

On me reprochera peut-être , en, quelques endroits de ces ïjlémens , de m’en rapporter trop au témoignage des yeux , et de ne m’attacher pas assez à l’exactitude rigoureuse des démonstrations. J.e prie ceux qui pourraient me faire un pareil reproche d’observer que je ne passe légèrement que sur des propositions dont la vérité se découvre , pour peu qu’on y fasse at-

Cf PflÉFACE.

tention. J’en use de la sorte, surtout dans les commencemens, où il se rencontre plus soiivefit des propositions de ce genre, parce que j’ai remarqué que ceux qui avaient de la disposition à la* Géométrie se plaisaient à exercer un peu leur esprit, et qu’au contraire ils se rebutaient lorsqu’on les accablait de démonstrations pour ainsi dire inutiles.

Qu’Euclide se donne la peine de démontrer fjue. deux cercles qui se coupent n’ont pas le même centre, qu’un triangle renfermé dans ün aùtre a la somme de ses côtés plus petite que celle des côtés du triangle dans lequel il est renfermé, on n’en sera pas surpris. Ce géomètre avait à convaincre des sophistes obstinés, qui se faisaient gloire de se refuser aiix vérités les plus évidentes : il fallait donc qu’alors la Géométrie eut , comme la Logique , le secours des raisonne me ns en forme , pour fermer la bouche à la chicdne. Mais les choses ont changé de face. Tont raisonnement qui tombe sur ce que le bon sens seul décide d’avance est aujourd’hui en pure perte, et n’est propre qu’à obscurcir la vérité et à dégoûter les lecteurs.

Un autre reproche qu’on pourrait me faire ,

ce serait d’avoir omis differentes propositions qui trouvejat leur place dans les élémens ordinaires , et de me contenter, lorsque je traite des propositions, d’en donner seulement les principes fondamentaux. v

À cela je réponds qu’on trouve dans ce Traité tout ce qui peut servir à remplir rnon projet; que les propositions que je néglige, sont celles qui ne peuvent être d’aucune utilité par elles-mêmes , et qui d’ailleurs ne sauraient contribuera faciliter l’injtelligence de celles dont il importe d’être instruit ; qu’à l’égard des proportions , ce que j’en dis doit suffire pour faire entendre les propositions élémentaires qui les supposent. C’est une matière que je traiterai plus à fond dans les Élémens d’ Algèbre , que je donnerai dans la suite.

Enfin , comme j’ai choisi la mesure des terrains pour intéresser les commençans , ne doisje pas craindre qu’on ne confonde ces Élémens avec les traités ordinaires d’Arpentage? Cette pensée ne peut venir qu’à ceux qui ne considéreront pas que la mesure des terrains n’est point le véritable objet de ce livre, mais qu’elle me sert seulement d’occasion pour faire dé-

couvrir les principales vérités géométriques. J’aurais pu de même remonter à ces vérités , en faisant l’histoire de la Physique, de l’Astronomie, ou de toute autre partie des Mathémar tiques que j’aurais voulu choisir • mais alors la multitude des idées étrangères dont il aurait fallu s’occuper aurait comme étouffé les idées géométriques, auxquelles seules je devais fixer l’esprit du lecteur.

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