PREMIÈRE PARTIE

Z>es moyens qu’il était le plus naturel d'employer pour parvenir à la mesure des terrains. < . i' « »

Ce qu’il semble qu’on a dû mesurer d’abord i ce sont les longueurs et les distances. - ^ »!-

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Pour mesurer une longueur quelconque, l’expédient que fournit une sorte dé Géométrie naturelle , c’est de comparer la longueur d’une mesure connue à celle de la longueur qu’on

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veut connaître.

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A l’égard de la distance , on voit que pour

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fig. I.

10 ÉI.ÊIlENS *

mesurer celle qui est entre deux points , il faut tirer une ligne droite de l’un à l’autlre , et que c’est sur cette ligne qu’il faut porter la mesure

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Connue, parce que toutes les autres faisant nécessairement un détour plus ou moins grand, sont plus longues que la ligne droite qui n’en fait aucun. .

Outre k nécessité de mesurer la distance d’an point à un autre, il arrive souvent qu’on est encore obligé de mesurer la distance d\in point à une ligne. Un homme, par exemple, placé en D sur le bord d’une rivière se propose de savoir combien il y a du lieu où il est à l’autre bord AB. Il est clair que , dans ce cas , pour mesurer la distahce cherchée , il faut prendre la • plus courte de toutes les lignes droites DA, DB, etc., qu’on peut tirer du point D à la droite AB. Dr, il est aisé de voir que cette ligne la plus courte dont on a besoin est la ligne DC, qu’on suppose ne pencher ni vers A ni vers B. C’est donc sur cette ligne , à laquelle on a donné le nomd e perpendiculaire, qu’il faut porter la mesure connue pour avoir

Digi

DE GÉOMÉTRIE. Il

la distance DC du point D à la droite AB.

Mais on voit aussi que pour poser cette mesure sur la ligne DC, il faut que cette ligne soit préalablement tirée. 11 était donc nécessaire qu’on eût une méthode pour tracer des perpendiculaires. . 1 > '

On avait encore besoin d’en tracer dans une infinité d’autres occasions. On sait, par exemple, que la régularité des figures telles que ABCD, FGH1, appelées rectangles , et çom- 2 posées de quatre côtés perpendiculaires les uns aux autres, engage a donner leurs formes aux maisons, à leurs dedans, aux jardins, aux chambres, aux pans de murailles, etc.

, La première ABCD de ces figures , dont les quatre côtés sont égaux, s’appelle communément quarrè. L’autre FGHI, qui n’a que ses côtés opposés égaux, retient le nom de rectangle. ■ ,'u . -.V ,

• Dans les différentes opérations qui demandent qu’on mène des perpendiculaires, il s’àgit, du d’en abaisser sur une ligne d’un point

12 ÉLÉftIERS

pris au dehors, ou d’en élever d’un point placé sur la ligne même.

Fig 4- Que du point C, pris dans la ligne AB, on veuille élever la ligne CD perpendiculaire à AB, il faudra que cette ligne ne penche ni vers A ni vers B.

Supposant donc d’abord que C soit à égalé distance de A et de B, et que la droite CD ne penche d’aucun côté, il est clair que chacun des points de cette ligne sera également éloigné de A et de B ; il ne s’agira donc plus que de trouver un point quelconque D, tel que sa distance au point A soit égale à sa distance au point B; car alors, tirant par C et par ce point une ligne droite CD, cette ligne sera la perpendiculaire demandée.

Pour avoir le point D, on pourrait le chercher en tâtonnant; mais le tâtonnement ne satisfait pas l’esprit, il veut une méthode qui l’éclaire : la voici.

Prenez une commune mesure, une corde, par exemple, ou un compas d’une ouverture déterminée, suivant que vous travaillerez;, ou sur le terrain, ou sur le papier.

Çette mesure prise, Vous fixerez au point A

ou l’extrémité de la corde ou la pointe du compas, et, faisant tourner l’autre pointe ou l’autre extrémité de la corde , vous tracerez l’arc PDM; puis, sans changer de mesure, vous opérerez de même par rapport au point B, et vous décrirez l’arc QDN, qui, coupant le premier au point D, donnera le point cherché.

Car puisque le point D appartiendra également aux deux arcs PDM, QDN décrits par le moyen d’une mesure commune, sa distance au point A égalera sa distance au point B. Donc CD ne penchera ni vers A ni vers B; donc cette ligne sera perpendiculaire sur AB.

Si le point C ne se trouve pas à égale dis- Fig. 5. tance de A et de B, il faut prendre deux autres v points a et é, également éloignés de C, et s’en servir , à la place de A et de B , pour décrire les ■ arcs PDM, QDN.

Si une des traces, telle que PDM, était con- Fig. 4. tinuée en O, en E , en R, etc., jusqu’à ce qu’elle revînt au même point P d’où elle commence, la trace entière s’appellerait circonférence du cercle, ou simplement cercle.

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Qu’on ne trace qu’une partie PDM de la eir conférence , cette partie sera appelée arc de cercle •

Le point fixe A, son centre, ou celui du cercle ;

Et l’intervalle AD , son rayon.

Toute ligne, comme DAE, qui passe par le centre A et qui se termine à la circonférence flst appelée diamètre, 11 est évident, que cette ligne est double du rayon, ce qui fait que le rayon est quelquefois nommé demi- diamètre.

La manière d’élever une perpendiculaire sur une ligne AB fournit celle d’en abaisser une d’un point quelconque E , pris hors de cette ligne; car, plaçant en E ou l’extrémité d’un fil ou la pointe du compas, et d’un même intervalle E£, marquant deyx points a et b sur la ligne AB, on cherchera, comme dans l’article précédent, un autre point D, dont la distance au point a et au point b soit la même, et par ce point et par E on mènera la droite DE, qui , ayant chacune de ses extrémités également éloignée de a et de b, et ne penchant

pas plus vers l’un de ces points que vers l’autre, sera perpendiculaire sur AB. ^ '-VI»

De l’opération précédente suit la solution d’un nouveau problème.

Qu’il s’agisse de partager une ligne droite AB Fi S 7en deux parties égales. Des points A et B , pris comme centres, et d’une ouverture de compas quelconque * on décrira les arcs REI , GEF ; ensuite, des mêmes centres, et de la même ou de telle autre ouverture qu’on voudra , on décrira aussi les arcs PDM, QDN. Alors la ligne ED, qui joindra les points d’intersection E et D, coupera AB en deux parties égales au point C.

La manière de. tracer des perpendiculaires étant trouvée, rien n’était plus aisé que de s’en servir pour faire ces figures qu’on appelle rectangles et quartés, dont on a parlé dans l’article 4 . On voit que pour faire un quarré ABCD, dont les côtés soient égaux., à la ligne Fig », donnée R , il faut prendre sur la droite GE un

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ÉLÉJWENS

intervalle AB, égal à K, puis élever (article 5) aux poiuts A et B les perpendiculaires AD, BC, chacune égale à K, ensuite tirer DC.

Fig- 3. Si l’on voulait tracer un rectangle FGHf, dbnt la longueur fût K et la largeur L, on ferait FG égale à R ; ensuite on élèverait les perpendiculaires FI et GH, chacune égale à L, puis on tirerait HI.

Dans la construction des ouvrages, comme des remparts, des canaux, des rues, etc., on a besoin de mener des lignés parallèles, c’est-àdire des lignes dont la position soit telle , que leurs intervalles aient partout pour mesure des perpendiculaires de même longueur. Or, pour mener ces parallèles, rien,, ce semble, n’est plus naturel que de recourir à la méthode dont Fig. 8. on se sert pour tracer des rectangles. Que AB, par exemple , soit un des côtés ou de quelque canal, ou de quelque rempart, etc., auquel on voudra donner la largeur CA ; ou , pour énoncer la question d’une manière plus géométrique

et plus agréable, supposons qu’on veuille mener par C la parallèle CD à AB : on prendra à volonté un point B dans la ligne AB, et l’on opérera de la même façon que si , ayant la base AB, on voulait faire un rectangle ABDC, qui eût AC pour hauteur. Alors les lignes CD , AB, étant prolongées à l’infini, seraient toujours parallèles, ou, ce qui revient au même, elles ne se rencontreraient jamais. , Mi

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La régularité des figures rectangulaires les

faisant souvent employer, comme nous avons déjà dit, il se trouve bien des cas où l’on a besoin de connaître leur étendue. Il s’agira,, par exemple, tle déterminer combien il faut de tapisserie pour une chambre , ou combien un enclos de maison, ayant la forme d’un rectangle, doit contenir d’arpens , etc.

On sent que, pour parvenir à ces sortes de déterminations, le moyen le plus simple et le plus naturel est de' se servir d’une mesure commune, qui, appliquée plusieurs fois sur la surface à mesurer, la couvre tout entière : mé-

? 8 - ÉLKMENS

.tbode qui revient « celle dont ou s’est déjà <

servi pour déterminer la longueur des ligues. - Or, il est dévident que là mesure commune des surfaces doit être elle-même une surface, par exemple , celle d’une toise quarrée, d’ün pied quarré , etc. Ainsi mesurer un rectangle, , . c’est déterminer le nombre des toises quarrées, ou des pieds quarrés, etc., que contient sa surface. •. . • :* : <■: .

Prenons un exemple pour soulager l’esprit. ♦ Supposons que le rectangle donné ABCD ait 7 pieds de haut sur une base de 8 pieds, on pourra regarder ce rectangle comme partagé en sept bandes , a, b y c, d, e f f, g , qui, contiendront chacune 8 pieds quarrés. ;La valeur' du rectangle sera done sept fois 8 pieds qüari'és, ou 56 pieds quarrés. ■ -'• * • , ; V „

Maintenant, si l’on se rappelle les premiers . élémens du' calcul' arithmétique, et qu’on se souvienne que multiplier" deux nombres c’est prendre l’un autant de fois que l’unité est con r - tenue dans l’autre, on trouvera une parfaite analogie entre la multiplication ordinaire et l’opération par laquelle on mesure le rectangle.

On verra qu’eu multipliant le nombre des toises

. DE OÉOM’ÉTRIE. . *9 '

ou des pieds, etc., que donne sa hauteur, par • le nombre des toises ou des pieds, etc., qde doiine sa base, on déterminera la quantité des toises quarrées ou des pieds quarrés , etG., que contient sa superficie. . 7 ' ; " '

Les figures qu’on a à mesurer ne sont pas toujours régulières, comme les rectangles, Cependant Un a' souvent .besoin d’avoir leur mesure. Tantôt .il «’agira de'déterminer l’étendue d’un ouvrage Construit sur uh terrain qui manquera de régularité, tantôt ôn voudra savoir Ce qu’une terre irrégulièrement bornée contiendra d’arpens. Il était donc nécessaire qu’à la méthode dè déterminer l’étendue des rectangles , on ajoutât celle -de mesurer les figures qui ne sont pas rectangulaires. ' -

‘ On voit d'abord que, pour la pratiqué, la difficulté ne tombe que sur la mesure des figures rectilignes, telles que ABCDE, c’est-à- Fi R dire des figures terminées par des lignes drob tçs; car si dans le contour du'tevrain ilse trouve quelques' lignes courbes, comme dans la figure

F .'g- 1 * • ABCDEFG, il est évident que ces lignes partagées en autant de parties qu’il sera nécessaire pour éviter toute erreur sensible, pourront tou- >

1 jours être prises pour un assemblage de lignes •

droites. • - ■

Cela posé, on voit que, malgré l’infinie va-; ; riété des figures rectilignes, on peut les mesurer * toutes de la même façon, en les «partageant en figurés de trois côtés , nommées communément triangles ; ce qu’on fera de la manière la plus simple et la plus Commode, .si, d’un point t quelr>g- «o. conque A du contour de la- figure ÀBCDE , on mèn*e les lignes droites' AC , AD , etc. , aux points C, D, -etc. • • ‘ v • ^ .

11 ne s’agira donc plus que d’avoir la mesure des triangles qu’on aura formés. Or, on sait que . . pour trouver ce qu’on ignore, le moven le plus

sûr est de chercher si, dans ce qu’on connaît , • rien ne -se ‘rapporterait à ce qu’on veut con-. naître; mais on, a déjà vu ' que tout rectangle 1 Fis. ia. ABCD est égal au produit de sa. base AB par sa hauteur CB. ,D’*ailleurs il est aisé de s’apercevoir que celte figure’, coupée transversale-

ment par la ligne AG, nommée' diagonale , se trouve partagée en deux! triangles égaux ; et de là on infère que chacun de ces'triangles égalera la moitié du produit de leur base AB ou DC, par leur hauteur GB ou DA.

/ - 11 est vrai qu’il n’arrive guère que les triangles à mesurer aient deux de leùrfe côtés .perpendiculaires l’un à l’autre, comme les triangles ABC, ADC, qu’on appelle triangles rec- . tangles ,* mais rien fi’em pêche qu’on ne les réduise tous à des triangles de cette espèce.

; Car que du point A, sommet -d’un triartgle r ‘ 5- ,3 ‘ quelconque ABC j on abaissé la ■'perpendiculaire AD, -sur la base BC, le triangle ABC se ' trouvera partagé en deux triangles rectangles ADll, ADC. . \

Reprenant donc ce qui’vien t d’être 'dit , il est évident que comme les deux triangles ADB,

ADC, seront les moitiés des rectangles AEBD, ADCF, le triangle proposé ABC sera de même la moitié du rectangle EBGF, qui aura BC pour base et AD pour hauteur. Mais puisque la .

surface du rectangle EBCE égalera le produit de la hauteur EB ou AD par la base BC, le triangle ABC aûra pour mesuré la moitié du

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• Fig- l

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ElEMEKS

produit de la base BC par la perpendiculaire AD, hauteur du triangle. v' '■ .

• On a donc la - manière de mesurer tous les * . terrains terminés par des lignes droites , puisqu’il ne s’en trouve aucun qu’on ne puisse réduire à des triangles, et que des sommets de oes triangles on sait abaisser des perpendiculaires sur leurs bases.

De ce que. dans la méthode que nous venons

• de. donner, pour mesurer l’aire ou la superficie des triangles , on n’emploie que leur base et leur hauteur, sans égard à la longueur de leurs côtes, 1 on lire cette proposition ou ce théorème , que

4. tous les triangles, tels que ECB., ACB ; qui -ont une base commune CB, et dont les hauteurs EF,

■ AD, sont égales, ont la même superficie. . .

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Po.ur faciliter l’intelligence du. principe- qui donne la mesure des triangles, nous avons cru ne devoir choisir pôur hase qu’un côté sur lequel pourrait tomber la- perpendiculaire abais- 1 sée du sommet opposé; oe qu’on a toujours la

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DE GÉOMÉTRIE. . . , a3

liberté de faire, quand il ne s’agit qué'dela;me- ...

, sure des terrains. Biais parce que , dans la ctira- . •paraisoq t^es triangles qui ont. même base, les ? perpendiculaires abaissées , de leurs sommets*

. peuvent tomber hors du triangle-, comme dans la figure i5, il semble qu’il soit nécessaire dé F'«voir si les triangles, tels que BCG sont dans le cas des autres, c’estrà-dire s’ils sont toujours moitié des rectangles ECBF, qui ont la perpendiculaire GH pour hauteur. i - \

Mais c’est de quoi ij est aisé de s’assurer, en remarquant que le triangle CGH , somme des deux triangles CGB, .GBH, est la moitié du . rectangle EGHG , spmtné dés deux rectangles ECBFj’FBHGjvet qu’ainsi les dçux triangles CGB, GBH, pris ensemble, valent la mtutié du' rectangle ECHG. Or le^trianglè GBH est la moitié du rectangle FBHG ; donc lè triangle proposé CGB est la moitié . de l’autre rectangle ECBF!, qui a BC pour base, et GH pour hauteur.. /

La proposition démontrée dans les trois articles précédeys peut encore s’énoncer ^éné-

a 4 , . y ÇLÊTtfENS

• Fîg. 16. râlement en ces termes : les triàngies EBC,

• ABC , GBC, sont égaux , lorsqu’ils ont une

• • base commune BC et qu’ils sont entre les’

mêmes parallèles EAG, CBH, c’est-à-dire lorsque leurs sommets E, A, G, se trouvent dans une même ligne droite EAG, parallèle à la droite CB; car alors (article ri) leurs hauteurs, .mesurées par les perpendiculaires EF, AD , GH, sont les mêmes. ' • • .

Entre les différentes figures rectilignes qu’on sait mesurer par la méthode précédente , il y en a qui approchent de la régularité des rec- Fîg. 17. tangles ; ce sont des espaces tels que ABCD , terminés par quatre cètés, dont chacun est pa^* rallèle au côté qui lui est opposé. Ces figures sont appelées parallélogrammes; elles sont plus aisées à mesurer que les autres figures rectilignes, les rectangles exceptés. Car qu’on partage le parallélogramme ABCD en deux triangles ABC, ACD, ces deiix triangles seront visiblement égaux : or, comme chacun de ees triangles vaudrait la moitié du produit de là hauteur AF, par la base BG; le parallélogramme aura pour

' • DE GÉOMÉTRIE. a5

mesure le produit entier de la base BC par la, hauteur AF. s ,

De là il 9uit que tous les parallélogrammes ABCD, EBCF, qui, auront une base commune, et qui se trouveront entre les mêmes parallèles , seront égaux; ce qu’il est aisé dé voir, même indépendamment de ce qui précède , en remarquant que le parallélogramme' ABCD deviendra le parallélogramme EBCF, si on lui ajoute le , triàngle DCF, et que , de la figure entière ABCF, on retranehe le triangle ABE ; qu’ainsi les deux triangles DCF, ABE, étant supposés égaux, il sera évident que lé parallélogramme ABCD ' n’aura point changé d’étendue en devenant EBCF. Ôr, pour s’assurer de l’égalité de ces deq* triangles, il suffira d’obserter que AB et CD étant parallèles , aussi bien que BE et ÇF, le triangle DCF ne sera autre cho?e que le triangle ABE , qui aura glissé sur sa base , de manière que le point À sera arrivé en D, et E en F. t . -

• U y a encore d’antres figures rectilignes qu’il

EEEMENS

egt aisé de mesurer, ët qu’on tfommè polygones

• "** kl ‘ • \ ,, * 4

< réguliers'; figures que terminent des côtés égaux ,

qui ont tous la même inèiinaison lésons sur les au * TeSi Telles sont les figures ABDEF, ABDEFG,

3,etaa ' àbdefgh. • ■; ;’ s ' ; •: ; - ' ‘ l

Comme on a coutume de donner la forme symétrique de ces figures aux bassins, aux fontaines, aux places publiques , etc. je crois qu’avant que d’app.rendrè à les mesurer, il faut voir de quelle manière on les trace. '

Qu’on décrivé une circonférence de cercle, qu’on la partage en autant , de parties égales qu’on poudra donner de côtés au polygone; • qu’ensuite on ;rpène les lignes AB, BD, DE , etc. , par. les points A, B, D, E, etc., qui partageront la circonférence , on aura le polygone cherché, qu’on nommera ou pentagone, ou hexagone , ou eptagone , ou octogone, ou enriéagone, ou décagone , etc. , suivant qu’il aura, ou cinq, ou six, ou sept, bu huit , on neuf^ ou : dix , elc., côtés. . ;

DJE GEOMETRIE.

' Pour avoir la mfesure d’un polygone régulier, on pourrait employer la méthode qu’on a déjà donnée (article t3) pour toutes les figures rectilignes j mais on s’aperçoit aisément que lè plifS court est de partager le polygone en triangles égaux , qqi aient tous le centre C pour sommet. Fig Car prenant un de ces triangles , CBD par exemple , et tirant siir la base BD la perpendiculaire CK, qui pour lors- sera nommée Y apothème du polygone, comme l’aire du triangle vaudra le produit «le la base BD par. la moitié de CK-, ce produit pris autant de lois que le polygone aura de côtés, donnera Faire de la fi-' gurfe erttiere. ,, .» ...

Qu’on ne partageât la oircoUférence du cercle qu’en trois parties égales, on formerait un triangle nommé communément triangle équilatéral; qu’ofa partageât cette circonférence en quatre parties égales, on fbrmerait un quarré : mais ces deux figurés, les plus simples de tous les ' polygones, peuvent 'aisément se -tracer, sans

À® 'ÉfcÉMEpfS i '• ’ , .

qu’il, soit nécessaire d’avoir recours à la division du cercle ; ç’ëst ce qu’on a déjà vu (art, g) pour le quarré. *A. l’égard du triangle équilatéral , il est aisé de s’apercevoir que pour le décrire sur a3. une base donnée AB, il faut que des points A el B, comme centres, et d’une Ouverture de compas égale à AB, on trace les arcs DCF et .GCH, qu’ensuite des points A et B on mène les lignes AC, BC , au point C, section commune des deux arcs DCF, GCH, et sommet du triangle.

A la méthode de décrire géométriquement le triangle équilatéral et le quarré, les premiers de tons les polygones , je pourrais joindre celle de tracer géométriquement un pentagone, comme; plusieurs auteurs l’ont fait dans les Éiémens qu ils nous ont donnés ; mais parce que les çommènçans, pour qui seuls nous travaillons ici, n’apercévraient qu’avec peine la route qu’a . du suivre l’esprit en cherchant la manière de. tracer eette figure, route que l’ Algèbre nous met à portée de découvrir , nous nous croyons obligés de renvoyer la description, du, pentagone

• ' '• DE «ÉQMÉTRIK. • ■ sg

. * * 4 au traité qui suivra celui-ci, et dans lequel oii .

joindra cette description à celle de tous les autres polygones qui auront un plus grand nombre de côtés , et qui, sans le secours de l’Algèbre-, ne pourraient être décrits gécnnétrique-

•nî^pt. . r . • ■ * ]>, .

■ 0ç£ polygones qui ont plus dé cinq cotes , et que je dis ne pouvoir, .être. décrite "que par .

■ le moyen du calcul algébrique, il en faut ex- 1 f cepter çeqx de. 6 , de ia, de 24 , de 4 ®t,c. , ; ;

côtés, et ceux dé 8, de ï6, -de dpi de 64 , eto/, . côtés, qu’on, peut aisqpxenl décrire; par les méthodes que fournit la .Géométrie élémentaire , ‘ i

comme ori le verra à la fin de cette première .