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te. ;

3© ' ' "/ ÉLEMÏHS '» '' * • • * *

, ABC , ÀCD /À DE ; ensuite mesurer cea triain gles , après avoir abaissé les perpendiculaires EF,CH j BGt mais que dans l’espace ABCDE* .

il se trouve quelque obstacle f une élévation f par exemple, un bois, 'un étang, etc?, qui 1 empêche qu’on ne mène les lignes dont on ajpfa besoin , qué faudra-t-il faire alors? Quelle^ méthode faudra -t-il suivre pour remédier à fin- - , convénient du terrain ? Celle qui se présente d’abord à l’esprit , c’est dé choisir quelque ter- ‘ fairi plat , sût lequel On puisse aisément opérer, et' de décrire sur ce - terrain des triangles égaux . v et semblables aux triangles ABC, AÇD,. etc.

* Voyons coriràtent i on s’y prendra pour former

les nouveaux triangles. ’ * '

(*g P a5 it- Commençons , par supposer que l’obstaclè se '

trouve dans l’intérieur du triangle AlBC , dontles côtés Seront connus , et qu’on veuille tracer un triangle égal et semblable sur le, terrain Fig. aô choisi j d’abord on décrira une ligne p-E égale .. au côté AB , ensuite prenant une corde dé la . longueur BC, et fixant une de ses extrémités

ds-gbomê-tiu-e. » . 3i

en E,.«on décrira l’arc IFG , qui aura la corde

pour rayon ; et par le moyen d’une autre corde, prise égale à AC, et dont on attachera paréil-* lement un des bouts en D, on tracera l’arc KFH, qui coupera le premier au point F. Alors menant les lignes DF et FE, on aura un triangle DEF égal et semblable au triangle proposé ABC; ce qui est évident; car les côtés DF et EF, qui' s’uniront au point F , étant respectivement égaux aux. côtés AC et BC, unis au point C, et la base' DE ayant été prise .égale à AB, il né serait pas possible que la position des lignes DF et EF sur DE fut dilFérente de la position des lignes AC et BG sur AB. 11 est vrai qu’on pourrait prendre les lignes D/, \lf, au-dessous de DE; mais le triangle se trouverait encore le même, il serait simplement' renversé.

Si l’on ne pouvait mesurer que, deux des trois Fig. * 7 . ‘

côtés dû trianglè ABC, lés deü? côtés AB, BC, . » - ».

par exemplé ; il est clair qu’avec cela seul on • ■ ■ ‘ ç ne pourrait pas déterminer un second triangfe • égal et Semblable à ABC'; car quoiqu’on eut' Fig-a^

pris DE égal à BC, et DF égal à BA,.on ne saurait quelle position donner à celle-ci, relativement à l’autre. Pour lever cette difficulté, * la ressource qui se présente est simple : on fait 1 pencher DF, de la même manière sur DE que AB penche sur BC; ou, pour s’exprimer comme * les géomètres, on donne à l’angle F’DE la même ouverture qu’à l’angle ABC.

Pour faire cette opération, on prend' un instrument bel que abc 7t composé de deux règles qui puissent tourner autour 'de b , et l’on pose ces règles sur les côtés AB et BC : par là , elles font entre elles le même ?ùgle que les côtés AB et BC. Plaçant' donc la règle bc sur la base DE, de manière que le centre b réponde au point D, et que l’ouverture de l’instrument reste toujours la même, la règle ab formera la position de la ligne DF , qui fera > avec la ligue DE , Pangîe FDE, égal à l’angle ABC.. Or* la ligne DF aura été, prise de même longueur que BA; donc il nfc s’agira plus que de mener par F et paï E la.' droite FE, pour avoir le triangle FED entières

menl égal et semblable au triangle ABC. Pratique simple, qui suppose ce principe évident, qu’un triangle est déterminé par la longueur de deux de ses côtés,, et par leur ouverture; ou, ce qui revient au même, qu’un triangle est égal à un autre lorsque deux de leurs côtés sont respectivement égaux et que l’angle com- ' pris entre ces côtés.est également ouvert.

On pourrait encore faire l’angle FDE égal à Ftg. *9 l’angle ABC, de la manière suivante. s .

Du centre B et d’un intervalle quelconque B «,

décrivez un arC ahc ; ensuite du centre D et du ' • • • ....

même intervalle, tracez l’prc- eif : alors, vous

n’aurez plus qu’à chercher un point/, qui soit placé sur l’arc eif de la même maniéré que <z se trouvera placé sur Varc cha. Or, vous trouverez facilement ce point j) en vous servant dé la droite ac , qui, suivant la définition ordinaire, se nommera la corde de Varc àhc.

; Car $i, du centre e et d’un intervalle égal à ac, vous décrivez l’arc Ifk, l’intersection des deux arcs eif, Ifk vous donnera le point cherté/ n'v 1 '• • v-> v

34 ÉLÉSïENS .

Tirez ensuite par D et par f la ligue D/F, vous aurez l’angle FDE égal à l’angle ABC 5 ce qui est évident (article 26 ), puisque les triangles Bac , D fe seront entièrement égaux et semblables dans toutes leurs parties.

■ Fî g et a8

a 7 Lorsqu’on veut faire le ‘triangle FDE égal au triangle ABC, s’il arrive qu’on ne puisse mesurer qu’un des côtés, BC, par exemple, on a recours aux angles ABC et ACB. Ayant Fait DE égal à BC, on place les lignes FD et FE de manière qu’elles fassent, avec DE, les mêmes angles que AB et AC font avec BC : alors , par la rencontre de ces lignes, on a le triangle FDE égal et semblable au triangle ABC. Le principe que suppose cette opération est de lui-même si simple, qu’il n’a pas besoin d’être démontré.

Fig. 3 i. Si des trois côtés du triangle ABC,' on ne

. pouvait mesurer que la base BC, et qu’on- sût d’ailleurs que ce triangle fût isocèle , c’esl-àdiré que les deux côtés AB et 'AC fussent égaux ;

il est évident qu’il suffirait de mesurer un des deux angles ABC , ACB -, car alors l’autre lui serait égàl. ' . ••• ' t

Oh en voit aisément la raison, si l’on se représente ce qui arriverait eü supposant que les deux côtés AB, AC du triangle ABC, fussent d’abord couchés sur BD et sur CE , prolongemens de la base BC , et qu’ensuite on les relevât pour réunir leurs extrémités au point A; " car alors l’égalité de ces deux côtés les ernpécherait de faire plus de chemin l’un ‘que l’autre,

Donc étant joints, ils pencheraient également sur la base BC ; donc l’angle ABC serait égal à Pangle ACB. -, - - ‘ ■ *- ' ’ .

Pour revenir à la mesurée des terrains , on verra que quels que soient les obstacles qu’on

* pourra rencontrer dans leur intérieur , il sera

-> aisé, par la méthode précédente, de transporter .

sur un terrain libre tous les triangles qui^rar* tageront l’espace qu’on voudra mesurer. * >' Supposons, par exemple, que vous voulussiez mesurer un bois, dont la figure fut ABCDEFG. Fig. S a. D’abord vous prendriez un triangle égal i

36 ÊLÉMEWS ‘ -

ABC, ce que vous pourriez faire sans entrer dans l’in térieur de ce triangle , en mesurant les deux côtés AB , BC , et l’angle compris CBA.

Ce triangle décrit donnerait l’angle BCA , et la longueur de AC; et comme vous pourriez mesurer le côté extérieur DC , vous auriez dans le triangle CAD, les côtés DC et CA. Quant à l’angle DCA, vous le trouveriez en prenant d’a- Fig.Jabord l’angle 1K.L égal à l’angle DCB , ensuite m33 ' l’angle LKO égal à l’angle BCA , ce qui vous donnerait l’angle restant IK.O, égal à l’angle • pherché DGA. > •

, Le triangle ADC , ainsi déterminé par les deux côtés DC et CA , et par l’angle compris DCA, vous connaîtriez de même le triaDgle DAG , et le reste de la figure. \ ‘

La méthode qu’on vient de donner pour mesur# les terrains dans lesquels on ne saurait tirer des lignes , fait souvent naître de grandes difficultés dans la pratique. On trouve rarement un espacé uni et libre , assez grand pour faire i des triangles égaux à ceux du terrain dont on

cherche la mesure; et même quand on en trouverait , la grande longueur des côtés des triangles pourrait rendre les opérations très difficiles. Abaisser, une perpendiculaire sur une ligne, d’un point qui en est éloigné seulement de 5 oo toises, ce serait un ouvrage extrêmement pénible, et peut-être impraticable. Il importe donc d’avoir un moyen qui supplée à ces grandes opérations. Y ■. >

Ce moyen s’offre comme de lui-même. Il vient bientôt dans l’esprit de représenter la fi-r gure à mesurer ABCDE , par une, figure semblable nicde, mais plus petite, dans laquelle, par exemple, le côté ab soit de ioo pouces, si le côté AB est de ioo toises, le côté bc de 45 pouces, si BG est de 45 toises; et de conclure ensuite que si l’étendue de la figure réduite abcde est de 60000 pouces quarrés, celle de la figure ABCDE doit être de 60000 toises quar-

Mais, avant toutes choses, il faut savoir en quoi consiste la ressemblance de deux figures. /■- , , v ; '/

38 , ; ÉLÉM ENS

Or, pqur peu qu’on y réfléchisse , on reconnaîtra bientôt que les deux figures ABCDE, abcde, pour être semblables, doivent être telles, que les angles À, B, C, D,E, delà grande soient égaux aux angles a, 3, ô, d,e , de là petite; et que dé plus, les côtés ab , bc , cd , etc., de la petite, contiennent autant de parties^, que les côtés AB, BC, CD, etc., de la grande, Contiennent de parties P.

Popr exprimer cette seconde condition, les géomètres disent qu’il faut que les côtés AB, BC, CD, etc., soient proportionnels aux côtes ab , bc, cd, etc. ; ou que le côté AB contienne ab, de la même manière que BC contient bc, etc.; ou que le côté AB soit aussi grand, par rapport à ab, que BC l’est par rapport à bc, etc.; ou encore, qu’il y ait même raison ou même rapport entre AB çt ab, qu’entre ,BC et bc-, ou enfin , que AB soit à ab comme BC à bc, etc'. Toutes façohs d’exprimer la même chose, mais

... DE CrÉQMÉTRIE. 3$

qu’il faut $e rendre familières , pour entendre le langage des géomètres. •

Après avoir vu en quoi consiste la ressemblance de deux figures, cherchons quelle est la voie qui se présente le plus naturellement pour tracer une figure semblable à uue autre. Pour cela, représentons-nous un dessinateur qui veut, copier une figure en la réduisant.

D’abord prenant ab pour représenter la base AB de la figure à copier ABCDE , il incline §pr ab les côtés ae et bc, de Ta môme façoq que Aj£ etBC sont inclinés sur AB , çn observant que les longueurs de.ae<e t de bc soient à celle de ab , coin me les longueurs de AE et de BC sont à celle de AB; c’est-S-dire que si AE, par exemple, cât la moitié 4e AB, il fait ae égal à la moitié de ab, et qu’il en use de mènife pour déterminer la longueur de bc, relativement à BC. ;

Ayant ainsi déterminé*Ies points e et c, il traee deux lignes etl et cd q,u’il incline .sur ea et sur cb , de la môme manière que ED et CD sont inclinés sur EA et sur CB ; et , prolongeant ces

4» ÉLÉMÈNS /

lignes jusqu’à ce qu’elles se rencontrent £n d, il'

achève sa figure abcde. ' .

Qu’on réfléchisse présentement sur cette construction, on verra qu’elle n’est appuyée que sur l’égalité qui est entre les angles E, A, JS , C, et e, a, &, ç, et sur la proportionnalité des côtés EA , AB, BC, et des côtés ea y ab ,bc; qu’ainsi la figure se trouve finie sans qu’on ait pris l’angle d égal à l’angle D, ni les côtés ed> Cjd, proportionnels aux côtés ED, CD; réflexion qui d’abord pourrait faire craindre que l’angle d ne fût pas effectivement égal à l’angle D, ni les côtés ed, cd , proportionnels aux ; côtés ED ,CD, et que, par conséquent, la figure abcde ne se trouvât pas entièrement semblable à la figure ABCDE. Mais n’eût-on que l’expé-

- rien ce pour se rassurer, ce doute se dissiperait bientôt ; outre que , pouF peu d’attention qu’on y fasse , on sent quéf de l’égalité respective des quatre angles E , A , B , Ç, et e, a , b , c, et de la proportionnalité des trois côtés EA, AB, BC,

etea, ab, bc, résultent nécessairement légalité

DE. GÉOMÉTRIE. ' Al

des aDgles D, d, et la proportionnalité des côté&ïlD, CD, et ed, cd. f, !

Cependant, pour écarter tout soupçon ,' faisons voir que toutes les conditions demandé ' la ressemblance de deux figures sont nécessairement dépendantes les /unes ‘des autres; ce •qu’il nous sera aisé de faire en examinant d’abord les triangles, qui sont des figdres les plus simples, et qui entrent' nécessairement dans la composition de toutes les autres; examen qui nous conduira, à toutes les propriétés, et à tous >■ . les usages des figjires semblables. j

' Supposons que sur la base ab on trace le pjg, triangle flbc, en ne prenant que les angles cab , et 37 ' cba égaux aüx angles CAB , CBA du triangle ABC, qn s’assureva premièrement que le troisième angle acb égalera le troisième angle ACB.,

Car soit posé le triangle abc sur lé triangle ABC:, de manière que le point a se trouve sur

le point A, né Sur AB, ne sur AC; il est clair

que' cessera parallèle à CB, et cela parce que, . , le côté çb, prolongé , ne pourrait rencontrer dé

4? ' o< ~ ÉLÉMESS

cpté CB, que les deux lignes ne penchassent inégalement sûr AB , et que , par conséquent , les angles cbA et CBA fussent inégaux ; ce qui serait contrôla supposition. -

Comme, de l’égalité des angles cba et CBA , il suivra que les lignes cb , CB seront parallèles, du parallélisme de ces lignes, il suivra» aussi que les angles A cb , ACB seront égaux ; ce qu’il s’agissait de prouver. .

Maintenant faisons voir que les cotés qui se répondent dans deux triangles acb et ACB , qui ont les mêmes angles, sont proportionnels.

Pour- fixer, nos idées, supposons d’abord que ab soit la moitié de AB; il faudra que nous prouvions que ac sera aussi la moitié de AC.

Que acb , ainsi que dans l’article précédent , 5 . ait encore la position Acb : si l’on .mène cg parallèle à AB, il est clair que cette ligne, égalera SB ou AS 7 et que g-B égalera de même cb. Or, comme les angles Cgc etC cg seront manifestement égaux^ aux angles cbA et cAb, je

• triangle C cg égalera lelriangle cAb (article 3o).

Donc on aura Ce égal à Ac , et Ç g égal à cb , pu à ^Bj donc Ac ou ac sera moitié de ÀC, et cfy moitié de CB. ' ü ♦

Si ab était contenu tr4fc , quatre / ou tel .fs . 36 autre nombre de fois qu’on voudrait , dans AB , ' , il serait également aisé de démontrer que ao serait contenu le même nombre de fois dans AC, et cb dans CB. Car des points, de division b y f de-la base AB, menant bc , jfA, etc/, parallèles s à BC, on pourrait placer le long de AC, tVois ,quatre., etc., triangles Aci, chg , hCi, etc. j égaux aux triangles acb, Acb. . • >< < '

Mais que ab, au lieu d’être contenu exacte- Fig. 36

v • • - eV 39.

ment un certain nombre de fois dans AB , n’y fût contenu qu’avec quelque fraction , deux Fois et demie.* par exemple, on prouverait que ne serait aussi contenu de ut fois et demie dans AC , et bc deux fois et demie dans BC. *

Car, quand par le moyen des parallèles Ac, . , fh , on aurait placé le long de AG les deux triangles Acb , chg , égaux à acb, il resterait entre les deux parallèles hf et CB de quoi placer un triangle Chi , dont les cotés seraient moitié des côtés de cAb\ ce qui est évident , puisque pàr la supposition fB serait la moitié - de A3,