ÉLÉMBïrS
et que la base hi du triangle Chi égalerait fR, à cause des parallèles hf y CB. Donc, en général, lorsque déux triangles ABC , abc, ont les mêmes angles, ces trianglesffciommés triangles sembla blés , ont leurs côtés proportionnels, ou, ce qui revient absolument au même, les côtés AB , BC, AC, de l’un, de ces triangles ABC, contiennent le même nombre de parties P, que les côtés ab, bc y üc y de l’autre triangle abc, contiennent de parties p, P étantle pied, la toise , etc., ou, en général, l’échelle avec laquelle ABC a été construit, et p celle dont on s’est servi en construisant abc.
De la proposition que nous venons de' démontrer, se tire naturellement la solution d’un problème souvent utile dans la pratique.'
On demandé qu’uhe ligne soit divisée en un , ' 1 p •
nombre donné de parties égales • çe qui se
pourrait faire, à la vérité, en tâtonnant , mais
jamais avec cette sûreté qjue donne l’exactitude
. • . géométrique. . . t ; . r \
Supposons , par exemple , qu’on ait à diviser
Fig. 38, AB en trois parties égales j on commence par
tirer une ligne indéfinie AC, gui fasse un angle quelconque avec AB; ènsuité on porte sur cette ligne trois parties égales Ac, ch, hC, d’une ou- 1 , verture de compas prise à volonté; puis on tire CB. et f on mène à cette droite les parallèles ch, hfy parla, AB, coupée aux points b et f , se trouve partagée en trois parties égales ; ce qui est clair par l’article précédent.
Si l’on voulait diviser une ligne eu un nombre fractionnaire de parties, comme deux et demiè, trois et un quart, €fte. , ou bien qu’on proposât en général, de diviser la ligne AB au point b , en sorte que AB fût k Ab , comme la ligne ]\0 Fig. a la ligne MQ ; on voit encore que la solution du problème dépendrait de l’article 3g, c’està-dire qu’il faudrait tirer par A une droite quelconque, prendre 'sur cettë droite Ac et AC respectivement égales à MQ ët à NO , et en suite mener cb parallèle à CB; alors le point b serait le point cherché.
Les géomètres énoncent de cette autre manière le problème que nous venons de résou-
dre : Trouver à £ois lignes NO , MQ, AB, une
.7 quatrième proportionnelle. .
4° Il est évident que deux triangles semblables ABC, abc , auront non-seulement leurs côtés proportionnels , mais que les perpendiculaires CF, cf, qu’on abaissera des sommets-C, c sur , les bases AB, a3, suivront encore la proportion des côtés : ce qui est si aisé à démontrer par ce qui précède, que nous négligerons de nous y arrêter. ■ , ’
• -, tp.‘ :
-Quant à l’aire des triangles semblables ABC, abc , on voit que celle du premier contiendra autant de quarrés X faits sur la mesure P, que l’aire du second- contiendra de quarrés a:, faits sur la mesure p. Car comme CF et AB auront, par l’article précédent , autant de parties P que c/’ét ab auront de parties p, la moitié du produit de CF par AB, mesure de "ABC (ar* ticle i4) donnera îèmême nombre que celui qui ' résultçra de la moitié, du produit de cf parflé,
mesure de abc, ipais avec cette différence, qitê CF et AB se comptant en parties P, leu/r produit se comptera en quarrés X , et que cf et «J, qui se compteront en parties/», donneront un pro** duit qui se comptera én quarrés x.
Ce que nous venons de dire sur la mesure des triangles semblables sert de preuve à une proposition qui , dans les- élémens de Géométrie , s’énonce ordinairement ainsi : Lestriangles semblables ABC., abc , sonjt entre eux comme les quarrés ABDE, abde, de leurs côtés homologues ou cotrespoqdans AB ,ab.
La démonstration que renferme l’article précédent mène abstdùment à cette conséquence; car le quarré ABDE contenant autant de X que abde contient dé x, il est évident qüé les de\\x nombres de quarrés X, qui expriment le rapport du triangle ABC au quarré ABDE, sont les mêmes que les nombres de quarrés x, qui donnent le rapport du triangle abc &u quatre abde , ou, ce qui revient au même, que le trian-
4,8 - ixÉI»rpf($ »
gleÀBC est au quarré ABDE comme le triau-
gleaôc au xfaar ré aède. ,
> v Pe là il suit que si , par exemple , le côté AB , était double du côté ab, le triangle ACB serait quadruple du triangle acb\ que si AB éta^t triple de ab , le triangle ACB serait neuf fois ,plus grand que le triangle acb , etc. ; car AB ne peut être double de ab , que le quarré ABDE ne soit quadruple du quarré abde, etc.
, 34 Pour passer présentement des triangles aux ’ autres figures, supposons qu’à/shacun des triangles semblables ÀBD, abd, on joigne deux autres triangles ADE et BDC, ade et bdc, les deux premiers semblables aux deux autres , on verra que dans les figures totales ABCDE, abcde , i p . Les angles A, B, G, D, E, seront les mêmes que les angles 4 , b , c, d, e; ce qui est clair , puisque les uns et les autres seront, ou dés angles correspondans de triangles sembla- .. blés, ou des angles composés de ces angles correspondans.
a*. On verra que le rapport des côtés bomo-
logues ou cotrespondans DE, de , BC, bc , etc», des figures ABCDE, àbcde , sera nécessairement le même , c’est-à-dire que si P, par exemple , se . .
trouve un certain nombre de fois dans la base AB, et que p se trouve le même nombre de fois dans ab, P et p seront aussi contenus un même nombre de fois dans /deux côtés homologues quelconques DE et de. Car à cause de la’ ressemblance des triangles ABD, abd , la quantité de P que renfermera AD, égalera la quantité de p renfermée dans ad ; aldrs regardant ces côtés comme les bases des trianglés semblables ADE, ade, le nombre de parties P contenues dans DE sefa le même que le nombre de parties p que contiendra le côté de.
3°. On verra encore que si dans les deux figures on. tirait des lignes qui se répondissent , '. telles que CE , cé , ou les perpendiculaires DF , df, etc. , ces lignes seraient toujours entre elles dans la même raison que les côtés homologues . k
des deux figures. ' • * V
Donc les figures ABCDE, abcde, seront entièrement semblables daqs toutes leurs parties.
La figure abcde ainsi décrite parfaitement semblable à la figure ABCDE , il est évident que si l’on voulait tracer de, nouveau une figure entièrement égale à abcde , et par conséquent encore semblable à ABCDE, il serait inutile de mesurer tous les côtés et tous les an* gles de abcde ; qu’il suffirait , par exemple , de prendre les trois côtés ab , ea, bc , et les quatre angles e, a , b , c, et qu’avec cela seul on serait sûr de retracer la meme figure abcde , semblable à ABGDE ; ce qui forme une démonstration complète de ce qu’on n’avait fait que présumer (article ). Mais on peut aller plus loin ; car il est clair qu’qn aura toujours différentes façons de combiner la quantité d’angles et de lignes qu’on doit nécessairement mesurer dans une figure quelconque, pour en fairë une autre qui lui soit proportionnelle. Ce serait fatiguer le lecteur, que d’entrer dans un plus grand
détail. - .
On démontrerait, par des-raisonnemens sem»
DE GÉOMÉTRIE. 5l
blables à ceux de l’article 43 , que le nombre des quarrés X que contient là figure ABCDE, est le même que celui des quarrés x renfermés dans la figure abcde , et qu’ainsi , les aires des figures semblables sônl; entre elles comme les ' quàrrés de leurs cotés homologues.
Tout ce qui vieqt d’être dit sur les figuras semblables peut se réduire à ce seul et unique principe, <que les figures semblables n^ sont différenciées que par les échelles sur lesquelles elles sont construites.
" ®®Mhtcuarit, pour mieux sentir l’usage.qu’on 1 j ' . doit faire des triangles^semblables et des réductions, pour avoir la mesure des terrains sur lesquels^ ne pourrait pas commodément opérer , "
figurons-nous que ABCDEE représente le con- «•. «J. tour d’un parc, d’un étang, etc. - , dout on vou- «fcdra déterminer l’étendue. D’abord Ou mesurera un des côtés de la figure, F£ par exemple, et Ion verra combien ce côté aura de toises, de
52 i' BLEME N 9 .
ii' * J, "
perches , etc. , ensuite, prenant telle échelle qu’on voudra, on tracera sur un papier ou sur un carton une ligne fe, égale à. autant de parties de l’échelle que FE contiendra de toises, de 'perches, etc., puis faisant les angles def^dfe égaux aux angles DEF, DFE, on aura lé triangle edf, dans lequel on abaissera eg perpendiculaire sur df: Cela fait, et lés lignés dfçl eg mesurées • par le moyen de l’échelle , on Conclura qu’autànt que ces lignes contiendront de parties réduites, autant DF et EG contiendront de toises, de perches, etc. Ainsi, en multipliant DF par la moitié de EG , on aura la valeur du triangle Et)F; et mesurant de la même manière chacun des autres triangles DCF, BCF, ABF-, l’aire de la figure entière se trouvera déterminée.
11 arrive souvent que dans la pratique, il faut mesurer la distance du lieu F où l’on est placé, à un autre lieu où quelque obstacle empêche •qu’on ne se transporte; nouveau problème, mais dont la solution est déjà donnée d’avance dans l’article qui précède celui-ci; car puisque
DE gé.ométrie ' 53 ••
pour mesurer DF, on n’a eu besoin que de Ja similitude des triangles def et DEF, il est clair \ que si l’on mesure une base, quelconque EF, > et que des points F et E on puisse apercevoir le point D, le problème sera , irésolu , c’est-à-dire 'qu’on aura la distance FD,
L’usage qu’on peut faire 'des mstrumens par* , ticuliers, tels que bAc, què j’ai dit (article 28) -Fig- 44* compoèé de deux branches uniés au point A , a^itôur ..duquel elles ont la liberté de tourner, expose souvent à bien des mécomptes. Tantôt l’ouvertufe de l’angle s’altérera dans le transport ; tantôt la forme qu’on est obligé de donner à l’instrument pour en faciliter l’usage empêchera qu’on ne puisse l’appliquer sur le plan où devra se faire la réduction. -
Ajoutons à cela, que chaque nouvel angle j BAC qu’on prend de cette façon demande qu’on transporte de nouveau l’instrument sur • le papier, et que la seule ressource qu’on ait pour comparer deux angles, c’est de les poser • l’un sur l’autre, sans que, par ce moyen, oû
, v ' 54 ÉLÉMENS -
puisse avoir au juste ni leur rapport ni leur
• grandeur absolue.
• Il était donc nécessaire de chercher une mesure fixé pour les angles, comme on en avait déjà une pour les longuëurs. Or , cettè mesure
• qu’il fallait avoir, il a été facile de la trouver j Fig. 45. car, que A b restant fixe, on lui applique d’abord le côté Ac, qu’ensuite on fasse tourner ce côté autour de. A, il est clair que si l’on adapte à l’extrémité c de la branche mobile Ac, ou
•. • ■ une plume ou un crayon, qui donne moyen de rendre sensible la trace du point c, cette trace, qui formera un arc de cercle, donnera exaçte- •- ment la mesure de l’angle pour chaque ouverture particulière des côtés Ab, Ac, ç’est-à-dire qu’à cause de l’uniformité de la courbure du cercle , il arrivera nécessairement qu’à une ouverture double, triple, quadruple de cAb, répôndra un arc double , triple, quadruple de cb. ; *
. Supposant donc que la circonférence bcdjg, décrite par la révolution entière du point c , soit
divisée en un nombre quelconque de parties éga- . les, le nombre des parties contenues dans l’arc qu’iqtercepterout les lignes A c et A b mesurera exactement l’ouverture de ces lignes , ou l’angle cAb qu’elles formeront.
Les géomètres sont convenus de diviser le cer- > / cle en 36 o parties qu’on appelle degrés, chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 6jo secondes , etc. Ainsi , un angle bAc, par exemple, aura 70 degrés 20 minutes, si l’arc bc , qui lui servira de mesure, a 70 des 36 o parties du cercle, et de plus de 20 soixantièmes parties d’un
degré.
De là, il suit qu’uri angle CAB de 90 degrés, Fig.
nommé communément angle droit , est celui dont les côtés AC et AB interceptent le quart BC de la circonférence, et sont perpendiculaires l’un à‘ l’autre.
On appelle angle aigu , tout angle plus petit qu’un angle droit, ou qui a moins de 90 de-
, 56 Éi-ibtENs
Fi?- 47 - grés. Tels sont les angles CAB, FÀG, EAG.
" Au contraire , on appelle angle obtus , celui
qui a plus de -90 degrés * comme F AB. 1
11 est évidènt que tous les angles, comme GAF,
• . , . FAE, EAC, CAB, qu’on peut faire du même
côté sur une ligne droite GB, et qui ont le .. même sommet A, sont égaux, pris ensemble,
* à 180 degrés, ou à deux angles droits , mesurés
• . par la demi-circonférence. . . * :
tîg» 48; De même la somme de tous les anglés EAF, FAB, BAC, CAD , DAE , qu’on peut faire autour du point A , qui leur sert de sommet commun, est égaile à 3So degrés, ou à quatre angle^ droits, mesurés par la circonférence entière BCDEF. , , ‘
Après avoir trouvé que les angles ont les par-
liés du cercle pour mesure, voyous comment on s’y prend pour déterminer ce qu’un angle qu’on veut mesurer contient de degrés.
On se sert d’un instrument I, qu’on appelle Fig. 49. demi-cercle ;■ cet instrument est composé de deux règles EAC , DAB d’égale longueur , qui se croisent en A , et qui sont chargées de pinnules à leurs extrémités. L’une de ces règles EC, qu’on nomme alidade, est mobile autour de A , et l’autre DB, est fixe, et sert de diamètre à un demi-cercle DCB divisé en 180 degrés, etc.
Or ,. veut-on connaître l’angle que forment deux lignes droites tirées du lieu où l’on est à deux objets quelconques F, G ; on place d’abord la règle fixe DAB , de manière que l’œil , placé en D, aperçoive un des deux objets F, par les deux pinnules D et B; ensuite, sans remuer l’instrument , on tourne l’alidade , jusqu’à ce que l’œil, placé en E , aperçoive l’autre objet G , par les pinnules E et C; et alors l’alidade marque sur le demi- cercle gradué le nombre des degrés, minutes, etc., que contient l’angle proposé G AF.
. Si l’ou veut faire sur le papier un angle d’tfn npmbre déterminé de degrés, on se sert d’un F»g. 5o, instrument R , divisé en 180 degrés, qu’on appelle rapporteur , ou transporteur, et posant le centre A sur la pointe de l’angle qu’on veut „ tracer, et la ligne AB ssr la ligne AG qu’on prend pour un des côtés de l’angle, on remarque le point G qui répond au nombre des de- . grés qu’on veut donner à l’angle proposé , puis , par ce, point et par le centre A, tirant la ligne ACO, on a l’angle OAG, qui contient le nombre de degrés demandé. 1
Supposons maintenant qu’ayant pris une A* base F G Sur le papier, on veuille faire sur cette base un triangle F GH , semblable au triangle ABC pris sijw un terrain. On se servira du • demi-cercle pour savoir ce que chacun des an-* glesCAB, CBA contiendra de degrés j ensuite , par le moyen du rapporteur , on fera les an-
• DE GÉOMÉTRIE. , . - 5t)
gles HFG et HGF respectivement égaux aux angles CAB et CBA ; et parce qu’alors le point H, auquel les côtés FH et GH se réuniront-, sera nécessairemenjt déterminé par l’opé- ration, aussi Lien que l’angle FHG, oh aura le triangle FGH , entièrement semblable au triangle ABC ■; /- '
Comme il importe dans la pratique', ainsi que
nous l’avons déjà dit, que les angles soient •exactement mesurés, il ne faut pas se contenter de les prendre, même avec les instrumens les plus parfaits, il faut encore trouver le moyen de vérifier leurs mesures , pour en faire la correction , s’il était nécessaire. Or ce moyen est simpleet facile. Rieprenonsle triatogle ABC, On sent-, que-la grandeur de l’angle C doit résulter de celles des angles A et R; car qu’on augmentât , ou qu’on diminuât ces angles, la position des .lignes CA, BC changerait, et par conséquent, l’angle C que ces lignes font: entre .elles. Or., si cet angle dépend de la grandeur des angles A et B, on doit présumer que ce que les angles A et B renferment de degrés, doit déterminer le
6o , ÉLÉMEHS
nombre des degrés que doit renfermer l’angle G; et qu’ainsi il pourra servir de vérification aux opérations qu’on aura faites pour déterminer les angles A et B, puisqu’on sera sûr qu’on aura , bien mesuré les angles A et B, si en mesurant ensuite l’angle C , on lui trouve le nombre dès degrés qui lui conviendront relativement à la grandeur des angles A et B.
Pour trouver comment de la grandeur des angles À et B on peut conclure celle de l’arfgle C, examinons ce qui arriverait à cet angle, si les lignes AC, BG venaient, ou à s’approcher, ou a s’écarter l’une de l’autre. Supposons, par exem- 53 . pie, que BC tournant autour du point B, s’écarte de AB pour s’approcher de BE ; il est clair que pendant que BC tournerait, l’angle B s’ouvrirait continuellement , et qu’au contraire l’angle, C se resserrait de plus en plus; ce qui d’abord pourrait faire ^présumer que, dans ce cas, la diminution de l’angle C égalerait l’aug- s rrientation de l’angle B, et qu’ainsi la somme des trois angles A , B , C serait toujours la même, quelle que fût l’inclinaison des lignes AB,BC, sur la ligne AE.» • \
.Or, cette induction présumée porte avec elle Fig- 54 . Sa démonstration ; car qu’on mène 1D parallèle à AC, on verra, premièrement, que les angles ACB et CBD, appelés angles alternes , ser ront .égaux : ce qui est évident , puisquà les lignes ACetlB étant parallèles^ elles seront également inclinées sur CBO, et qu’ainsi l’angle •
IBO égalera l’angle ACB. Mais l’angle IBO égalera aussi l’anglë CBD, parce qüe la li- , gne 1D ne sera pas plus inclinée sur CO d’un côté que de l’autre : donc l’angle DBC, égal à à l’angle IBO , égalera l’angle ABC , son al-
terne. y
On verra, en second lieu, que l’angle CAE sera égal à l’angle DBE, à cause des parallèles CA‘ët DB. Donc les trois angles du triangle pourraient être mis à, côté les uns des autres, el , unis par leurs sommets aux points B, et alors on verrait que les trois angles DBE, CBD et, CBA , qui égaleraient les trois angles CAB, ACB
et CBA, seraient égaux à deux angles droits ( article 5 g). Or , comme tout ce que nous venons de dire pourra également s’appliquer à quelque triangle que ce soit , on sera assuré de cette propriété générale , que la somme des trois angles d’un triangle est constamment la même, et qu’elle est égale à celle des dqpx droits , oui, ce qui revient au même, à 180 degrés»
Donc, pour conclure la valeur du troisième angle d’un triangle, lorsqu’on en aura mesuré deux, il 'faudra retrancher de 180 degrés lé nombre dés degrés que les deux angles feront ensemble : propriété qui donne une manière bien commode de vérifier la mesure des angles d’un triangle , et dont on verra une infinité d’autres utilités, à mesure qu’on avancera. Nous nous contenterons ici d’en tirer les conséquen-, ces les plus immédiates.
Ün triangle ne peut avoir plus d’un angle
droit; à plus forte raison , ne peut-il avoir plus d’un angle obtus. ' , v ■> -
Si l’un des trois angles d’un triangle est droit , la somme des deux autres angles est toujours çgale à un droit* , • r .
Ces deux propositions sont si claires, qu’elles n’ont pas besoin d’ètre démontrées.
Si l’on prolonge un des côtes du triangle ABC , pat exemple le côté AB l’angle extérieur CBE vaudra seul les deux angles intérieurs opposés BCA et CAB. Car qu’à l’angle CBA ori ajoute, ou les deux angles BCA et CAB-, ou l’angle CBE', la somme sera toujours égale à 180 degrés, ou à deux angles droits (article 64 ).
Connaissant un des angles d’un triangle isocèle ABC, on connaît les deux autres. “ 1
Qu’on ait l’angle au sommet A , il est clair que si l’on retranche le nombre des degrés que cqn-
' . * *'* r>jl
64 ÉLÉ M F, NS r
tiendra cet angle des 180 degrés, mesure des trois angles du triangle, la moitié de la somme qui restera sera la mesure de chacun des angles B et C , pris sur la base.
Si c’était uq des deux angles B ou C pris sur la base, qu’on connût, le double de sa valeur retranché de 180 degrés, donnerait l’angle au sommet A.
Comme un triangle équilatéral n’est autre chose qu’un triangle isocèle, auquel chacun de ses côtés peut également servir de base, il est clair que ses trois angles sont nécessairement égaux, et qu’ils valent chacun 60 degrés, tiers de 180 degrés.
De là se tire aisément la description de l’hexagone, ou polygone de six côtés,, que nous avions promise (article 24).
Car pour trouver une ligne qui partage la circonférence en six parties égales-, il, faudra que cette ligne soit la corde d’un arc de 60 degr s és , sixième partie de 36 o degrés , valeur de la cir-
.wm
DE GÉOMÉTRIE. ,- • 6^f
Conférence entière. Supposant donc que, AB sQit Fig. 56
cette corde, et élu centre I menant aux extrémités A et B les rayons Aï et IB, l’angle AIB , ' vaudra 60 degrés; et parce que lés deux côtés AI et IB seront égaux, le triangle AIB sera isocèle. Donc, l’angle au sommet éCknt de 60 degrés, chacun des deux autres angles vaudra aussi 60 degrés, moitié de 120; donc (article 70 ) le triangle AIB sera équilatéral ; donq AB égalera le rayon du cercle : d’où il suit que, pour décrire ùn hexagone, il faudra ouvrir le compas' d’une intervalle égîil au rayon et le'portfr six fois de suite sur la circonférence, et l’on aura les six côtés de l’hexagone.
L’hexagone ABCDEF décrit, on décrira facilelement de dodécagone, ou polygone de douze côtés. ' • < , ■■.; . • •. 't-’
- Pour cela, on divisera l’arc AKB, ou l’ariglé AIB, en deux parties égales; et AK*, corde de 1 arc AKB , sera un des cotés du dodéca-
gone
' Él.Eltt'EN'S
Or,‘ poür partager Tare AK B en deux arcs égaux AK et KB, oh fera, la même Opération que ‘s’il -s’agissait de couper la corde A& en deux parties égales; c’est- à - dire que -des points A et B , comme centres , et d’un intervalle quélcanqùe , on décrira les artsMLK , OLP ; ensuite, parle point L , section des deux arcs , .et par lé. centré I, on mènera là ligne Lî , qui divisera en deux, et l’àrc AKB et ia corde ÂB.
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de l’un ou de l’autre de ces arcs sera le côté du polygone dè a 4 côtés. On aura de même les polygones de 48, 9&, igfa , etc. r côtés.
Maintenant j pour décrire un octogône , c’està-dire un polygone de 8 cô^és, on commencera par tracer ün quarré dans le cercle; ce
qu’on fera, si, après avoir mené deux diamètrès AIB et CIE, qui se coupent à angles droits, F>g. $7. on joint leurs extrémités par les lignes ACI, CB ,
BE et AE.
Car, à cause de la régularité du cercle et de
l’égalité des quatres angles que forment les per- '
pendiculaires AIB et CIE, les quatre côtés AC, v
CB, BE et EA seront nécessairement; égaux,
et se trouveront également penchés les uns sur
les autres; ce qui ne pourra convenir qu’au
quarre. : Si,*. rJ V •
Le quarré ainsi décrit, on divisera, par la . y ( \; méthode précédente , chacun des arcs CK.B ,
BLE, etc., en deux parties égales^ ce qui donnera l’octogone CK.BLEMAN. > ' \ 1 "r' .
Qu’on partageât de même chacun des arcs CK, ' ’•
KB, etc., en 2, en 4, en 8 , etc., parties égales, on aurait les polygones de i6 0 3 a, 64, etc., /* 1
côtés. . ; v.
DEGËOMÉTBIE
