QUATRIÈME PARTIE

De la maniéré de mesurer les ' solides et leurs

t - surfaces., -

Les principes que nous avons établis dans les

trois premières parties de cet Ouvrage pourraient nous suffire pour résoudre des problèmes beaucoup plus difficiles que ceux que nous allons nous proposer; mais il est plus dans l’ordre que-nous avons suivi précédemment, de passer maintenant à la mesure des solides, c’est-à-dire des étendues terminées qui ont à la fois trois dimensions, longueur, largeur eï profondeur. '•

Cette recherche a, été, sans doute, un des premiers objets qui aient pu fixer l’attention des

géomètres. On aura voulu savoir , par exemple, combien il y avait de pierres de taille dans un mur dont la hauteur AD, la largeur AB et la fig , profondeur ou épaisseur BG étaient connues.

On se sera proposé de déterminer la quantité d’eau qqe contenait un fossé, où un réservoir ABCD; on aura voulu trouver la solidité d’une F ‘f? tour, d’un obélisque, d’une maison, d’un clocher, etc. * ■

Pour traiter les figures qui ont les trois dimensions, de la .même maniéré que jious avons traité celles qui n*en ont que deux , ndus commencèrons par examiner les solides qui sont

terminés par des plans.

Nous n’aurons pas ; besoin de parler de la manière de mesurer les surfaces de ces corps; elles ne peuvent être que des assemblages de figures rectilignes, et par conséquent leur mesure dépend de ce qui a été dit dans la pire- 1 mière partie. - ' > ^ •

Pour •mesurer la solidité des corps, il e6l

naturel de les rapporter tous au solide le plu 8 simple , ainsi que pour mesurer les surfaces où

les a toutes rapportées au quarré. Or, le solide le plus simple, c’est le cube , qui en effet est en solide ce que le quarré est en superficie ; c’est- Fig.'io5. à-dire que c’est un espace tel que abcd/gh, dont la longueur, la largeur, et la profondeur sont égales, ou, ce qui revient au même, c’est une figure terminée par six laces égales qui sont des quarrés.

On appelle côté dâ cube , le côté des quarrés qui lui servent de faces.

Par un pied cube, on entend uu cube dont v ■ le côté est d’un pied; de même un pouce cube - est yn cube dont le côté est d’un pouce, etc.

Les solides qu’on a le plus communément Fig- io3. à mesurer sont des figures ABCDEFGH terminées par six faces rectangles ABCD,-CBGF, CFED, DEHA, GFEH et ABGH. On appelle ces solides des parallélépipèdes , parce que leurs faces opposées conservant dans tous leuis points la même distance l’une de l’autre, sont dites parallèles, de même que les lignes ont aussi

DE GÉOMÉTRIE. 12g

été nommées parallèles lorsqu’elles conservaient partout la même distance.

ITu •'

Or , si l’on se propose de mesurer des solides de cette espèce , l’analogie de ce problème avec celui où il s’est agi de la mesure des surfaces rectangles donnera un moyen facile de le # résoudre. *

On commencera par mesurer séparément la longueur AD, la largeur, AB et la profondeur BG de la figure proposée , soit en pieds, soit en pouées , etc. > “on multipliera ensuite l’un ' par l’autre les trois nombres qu’on aura trouvés, et le produit qui viendra de cette multiplication exprimera combien le parallélépipède contiendra de pieds cubes, ou de pouces cubes, etc. ï suivant que les dimensions auront été mesurées en pieds ou en pouces J’ etc. Pour ntieux montrer comment se fait cette opération , nous allons en- donner un exemple. , „ ,

Supposohs que la longueur AD soit de> 6 pieds,* la Jai^eur AB de 5, et la profondeur BG de 4, le rectangle ABCD (I ,e part., art. 1 1) .

aura six fois 5 ou 3o pieds quarrés. Si l’on imagine ensuite que les lignes BG*, CF, DE et AH , qui mesurent toutes également la profondeur du solide, soient partagées chacune en quatre parties égales, et que par les points de division correspondans on fasse passer autant de plans parallèles les uns aux autres ; ces plans dïÿ*: viseront le parallélépipède proposé en quatre autres parallélépipèdes qui auront chacun un pied de profondeur, et qui seront tous égaux et semblables. Or, l’inspection seule de la figure fait voir que le premier de ces parallélépipèdes contient "3o pieds cubes, puisque sa face extérieure ABCD contient 3o pieds quarre's ; donc le solide total ÀBGDEFGH contiendra 4 fois 3o ou i 20 pieds cubes. ^

Nous ne nous arrêterons point à expliquer les difFéreos moyens que l’on peut employer dans la pratique pour construire des parallélépipèdes, parce que ces moyens sont, pour la plupart, si aisés à trouver, qu’il n’y a personne £pii ne les puisse imaginer* Mais nous donnerons la

DE GÉOMÉTRIE. i3i

Formation suivante <|u parallélépipède , qui est plus utile a considéré^ que tous les autres» /

Si 1 on conçoit qu’uri quarré ou rectangle ABGH se meuve parallèlement à lui-même, en sorte que ses quatres angles A, B, G et H parcourent chacun une des quatre ligne® AD , BC , GF et HE , perpendiculaires au plan du rectangle ABGH; ce rectangle, par le mouvement que nous venons de décrire , formera le parallélépipède ABCDEFGH.

11 est presque inutile d’avertir que par une ligne perpendiculaire à un plan, nous entendons une ligne qui ne penche d’aucun côté sur ce plan; et de même, qu’un plan qui ne penche pas plus d’un côté que d’un autre sur un second plan est dit perpendiculaire à ce second plan. Ces deux définitions sont analogies à celle que dous avons donnée d’une ligne perpendiculaire à une autre ligne.

°r il suit de là que la ligne AB, qui estFig.wG.

l 3 a ÉI.ÉMENS

perpendiculaire au plan X , doit être perpendiculaire à foules les lignes AC, AD, AE, etc., qui partent du pied A de celte ligne et qui sont dans ce plan 3 car il est évident que si elle penchait sur une de ces lignes , elle serait inclinée vers quelque côté "du plan : donc elle \ ne lui serait pas perpendiculaire.

Pour se représenter d’une façon bien sensible comment la ligne AB peut être perpendiculaire à toutes les lignes qui partent de son extrémité A , on n’aura qu’à faire une figure en relief de la manière suivante,

On construira de quelque matière unie et facile à plier, comme du carton, un rectangle Fig. 107, FGDE, partagé en deux parties égales par la droite AB perpendiculaire aux côtés ED et FG; on pliera ensuite' ce rectangle , en sorte Fig.ïoS. que le pli soit le long de la ligne AB , et on le portera tout plie sur le plan.X. Il est évident que, quelle que soit l’ouverture que l’on donne aux deux parties FBAE et GBAD du A, rectangle plié EADGBF, ces deux parties res-

DE GÉOMÉTRIE. l33 •

feront toujours appliquées sur le plan X, sans que la ligné AB change de position par rapport à ce plan : cette droite AB sera donc perpendiculaire à toutes les lignes qui partent de son pied et qui seront dans le plan X, puisque les côtés AE et AD du rectangle pli^ s’appliqueront successivement sur ‘chacune de ces lignes, par le mouvement que nous venons de décrire.

On tire" de la construction précédente une pratique bien commode pour élever un point donné ^ur un plan, une ligne perpendiculaire à ce plan , ou pour abaisseé d’un point pris hors d’un plan une ligne qui soit perpendiculaire à ce plan. Car que le point proposé soit dans le plan, en A par exemple, ou qu’il soit hors Fig. du plan, comme en H, on pourra toujours faii£ avancer le rectangle EFBGDA sur le plan X , ' jusqu’à ce que le pli AB touche le point donné; et AB deviendra, dans les; deux cas, la perpendiculaire demandée. ’»

l34 ^LEMENS

Il suit aussi de là que la ligue AB sera perpendiculaire à Un plan X, toutes les fois qu’elle sera perpendiculaire à deux lignes AE et AD de ce plan y car alors AB pourra être regarr dée comme le pli d’un rectangle dont l’un des côtés pliés s’appliquerait sur AE et l’autre sur AD. Or cé pli ne pourrait manquer d’être perpendiculaire au plan X.

' io. ,vv • ' • -

Si l’on veut élever sur une ligne quelconque KL un plan perpendiculaire, au plan X dans lequel est cette ligne , on pourra le servir encore pour cela du rectangle plié GBFEADj car v il ne faudra que poser sur la ligne KL le côté AD d’une des parties ADGB de ce rectangle plié, et le plan de cette partie ADGB ( sera celui que l’on demande.

On verra facilement que si l’on posait un

• »sy

troisième plan Y sur les deux côtés EB et BGFig.i du même rectangle plié , ce plan Y serait encore perpendiculaire à la ligne AB, et par conséquent parallèle au plan X.

Donc si à un plan X on élève trois perpendiculaires EF, AB et DG d’égale longueur, et qui ne soient pas posées en ligne droite , le plan Y, qui passera par les trois points F, B et G, sera nécessairement parallèle au plan X.

ÿfj!!

Lorsque deux plans ne seront pas parallèles, il sera facile de connaître l’angle qu’ils feront entre eux, en se servant encore de notre rectangle plié. Pour en venir à bout, nous appliquerons l’une des deux parties ABGD de ce Fig. rectangle sur le plan X; il est évident que EAD, ou son égal FBG, mesurera l’inclinaison du plan EABF sur le plan DABG. Or si l’on remarque que AB est la commune section de ces plans , et que EA et AD sont chacune perpendiculaire à AB, on en tirera sans peine la règle suivante.

Deux plans qui ne sont pas parallèles étant

l36 ÉLÉMENS

donnés, il faut commencer par trouver la ligne droite qui est leur commune section ; ensuite, d’un point quelconque de cette ligne , on lui mènera deux perpendiculaires qui soient chacune dans un de ces plans, et l’angle que feront entre elles ces deux perpendiculaires* mesurera l’angle que les deux plans donnés font entre eux.

Comme on s’aperçoit sans peine que, pendant le mouvement de ABFE autour du pli AB, la droite ÀE, dont l’extrémité E décrit un arc de cercle ED, ne sort jamais d’un plan EAHD perpendiculaire au planX, et que l’inclinaison de la droite EA sur le plan X n’est autre chose que l’angle EAD, on découvre en-, core jtrès facilement que l’inclipaison d’une droite quelconque EA sur le plan X est mesurée par l’angle EAH, fait entre cette ligne et la ligne AD, qui passe par A et par le point H du plan X, ou tombe la perpendiculaire EH abaissée sur ce plan d’un point quelconque E de la droite AE.

L’inspection seule de la figure dont on vient de se servir dans l’article précédant fournit uu nouveau moyen d’abaisser d’ùn point E, hors d’un plan X , une ligne EH perpendiculaire à ce plan. . T .

Ayant tiré une ligne quelconque BAS dans le plan X, on abaissera du point donné E la perpendiculaire EA à cette ligne. Cela fait , du

point A, où cette perpendiculaire tombe, on

élèvera dans le plan X la perpendiculaire AD à AB, et, abaissant ensuite du point donné E à la droite AD la perpendiculaire EH, cette ligne sc^la perpendiculaire au plan X.

On tire de là une seconde façon d’élever à un

tÿ *

plan X une perpendiculaire MN, d’un point M donné sur ce plan.

Ayant abaissé d’un point quelconque E, pris hors du plan X, la perpendiculaire EH à ce plan, on mènera par le point donné M la droite

élémens

MN qui soit parallèle à HE, et elle sera la perpendiculaire au plan X» - ' * . -

Après le parallélépipède, le solide le plus simple est le prisme droit. C’est une figure F, g->ia. ABCDEFGHIKLM , dont les deux hasçs opposées et parallèles sont deux polygones égaux, et tellement placés, que les côtésd&F^JÇ, etc., de l’un soient parallèles aux côtés BC, CD, etc. p de l’autre, et dont les autres faces sont des rectangles ABGH, BGFC, etc. ^

.. Les géomètres supposent ces figures formas , ainsi que les parallélépipèdes, par une basé ÀBCDLM qui se meut parallèlement à ellemême, de façon que ses angles A , B, etc., suivent dçs lignes perpendiculaires au plan de la basé.

Polir distinguer les différentes espèces des.

prismes droits , on ajoute le nom du polygone qui leur sert de base. Le prisme hexagonal, par exemple,, est celui dont la base est un hexagone. ; j

Pour trouver la, manière de mesurer toutes

sortes de prismes droits, on observera d’abord que de deux prismes droits dont les bases seraient égales, celui qui aurait une plus grande hauteur serait plus grand en solidité, dans la même raison que sa hauteur serait plus grande.

On remarquera ensuite que deux prismes droits qui auraient la même hauteur , mais dont l’un aurait une base qui contiendrait un certain nombre de fois la base de l’autre, seraient entre eux dans la même raison que leurs bases. La vérité de cette proposition s’aperçoit facilement en faisant attention à la formation des prismes, expliquéè dans l’article 17. ' ' <

Que abcdefghiklm et ABCDEFGHIKLM Fig. ua

, . . . , ! Ctll3.

soient les deux prismes qui ont la meme hau-

l3lS ÉLÉMEKS ' - ^

MN qui soit parallèle à HE, et elle sera la perpendiculaire au plan X» ' -

Après le parallélépipède, le solide le plus simple est le prisme droit. C’est une figure in. ABCDEFGHIKLM, dont les deux bases opposées et parallèles sont deux polygones égaux, et tellement placés, que les côtés GF, >ÇE, etc., de l’un soient parallèles aux côtés BC, CD, etc.j*de l’autre, et dont les autres faces sont des rectangles ABGH, BGFC, Ote. ;

Les géomètres supposent ces figures formées , ainsi que les parallélépipèdes, par une base ABCDLM qui se meut parallèlement à ellemême, de façon que ses angles A , B, etc., suivent des lignes perpendiculaires au plan de la

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base. ri. - . „ • ■ •

Polir distinguer les différentes espèces des

prismes droits , on ajoute le nom du polygone qui leur sert de base. Le x prisme hexagonal , par exemple , est celui dont la base est un hexagone. , >

Pour trouver la, manière de mesurer toutes

sortes de prismes droits , on observera d’abord que de deux prismes droits dont les bases seraient égales, celui qui aurait une plus grande hauteur serait plus grand en sohdité, dans la même raison que sa hauteur serait plus grande.

Que abcdefghiklm et ABCDEFGHIKLM Fig. m soient les deux prismes qui ont la même hau-

l40 ' ÉLÉMENS

leur, et que la base abcdlm àxi plus petit soit, par exemple, . le quart de la base ABCDLM.

Puisque les deux prismes sont produits par les mouvemens de ces deux bases, il s’ensuit qu’un plan quelconque , qui sera parallèle au plan ou sont les deux bases, coupera dans , les deux prismès deux polygones dont chacun sera égal à la base du prisme où il sera coupé, c’est-àdire que la section du grand prisme sera toujours quadruple de celle du petit ; donc le prisme ABCDEFGHIKLM pourra être regardé comme composé de tranches toutes quadruples de celles du prisme abcdefghiklm , et par conséquent la solidité du premier prisme sera quadruple de celle du second.

Après ces deux remarques, il ne sera pas difficile de former la règle suivante pour mesurer tous les prismes droits. v ’ .

V On mesurera d’abord en pieds quarrés, ou en pouces quarrés, etc., d’aire de ,1a base du prisme proposé, ensuite on multipliera le nombre qu’on aura trouvé par le nombre des pieds

DE GÉOMÉTRIE. *4 l

Gu des pouces, etc., que contiendra la hauteur du prism’e, et le produit donnera le nombre . des pieds cubes ou des pouces cubes, etc. , contenus dans le prisme proposé, et sera, par eon

séqüent, sa mesure. ' -

Le nom de prisme se donne encore aux so- Fig,u5. lides qui ont deux bases polygones égales, ainsi que les précédens, mais dont les autres, face? sont des parallélogrammes au lieu d etre des ^ rectangles. Pour distinguer ces nouveaux prismes de ceux dont nous venons de parler , on les , appelle des prismes obliques, par opposition aux autres qu’on avait notâmes des prismes droits. , .

On conçoit les prismes obliques formés par une base abcki qui se meut parallèlement à Fig. n5. elle-même, et de telle façon que ses angles suivent des lignes parallèles ag , bh-, cd , etç^ qui s’élèvent hors du plan de la base f et qui ne lui

sont point perpendiculaires. * . f"

L’analogie qu’il y a entre cette formation et la formation des prismes droits dont nous avons parlé (article 17), donne facilement la mesure de la solidité des prismes obliques ; car si l’on ï'g jï '4 imagine à côté d’un prisme oblique abcdefghik, un prisme droit ABCDEFGHIK qui ait la meme base, et que cesdeùx prismes soient renfermés entre deux plans parallèles, on verra que la solidité de ces deux corpà sera absolu- • ment la même. -• '

Car , si par un point quelconque P de la hau-; teur on fait passer un plan parallèle à la base, les sections NOPQR et nopqr que ce plan for- * ruera dans chacun des deux .prismes pourront être regardées comme les bases égales ABCKI et abcki , arrivées en NOPQR et nopqr par le mouvement qui forme cës deux prismes, et ainsi ces deux sections seront des polygones égaux. '* , • • > • / -

Or , si toutes les tranches imaginables qu’on peut former dans ces deux prismes par des mêmes plans coupans sont égales, il faudra que

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les assemblages de ces tranches, c’est-à -dire les prismes, soient égaux aussi.

On énonee ordinairement ainsi cette propo- - sition : les prismes obliques sont égaux aux prismes droits lorsqu’ils ont même base et même hauteur. On appelle la hauteur du prisme la •perpendiculaire abaissée du plan supérieur sur l’inférieur, ou sur son prolongement.

Et comme les parallélépipèdes doivent* être mis au nombre des prismes , «il étendra ce quô nous venons de dire des prismes aux parallélépipèdes obliques, c’e^t-à- dire aux figures... àbcdejgh , produites en faisant mouvoir un F c ' t 8 i quarré, un rectangle, ou même un parallélogramme, de manière que ses quatre- angles suivent des lignes pwallèles qui s’élèvent obliquement delà base. Ainsi, le parallélépipède oblique abcdefgh sera égal au parallélépipède droit ABCDEFGH, si la base ahgh est la même , ou à la même superficie que la base ABGH, et si la perpendiculaire abaisse du plan dcfe sur le plan

*44 ÉLÉMENS "■ l

abgh est égale à la perpendiculaire abaissée du plan DCFE sur le plan ABGH. -•

■jjft /*■

Ayant vu ce qtii concerne les parallélépipèdes et les prismes, examinons maintenant les pyramides, c’est-à-dire les corps tels que . ABCDEFG, renfermés par un certain nombre de triangles qui parlent toüs d’un même sommet A, et qui se terminent à une base polygone quelconque BCDEFG. Il est nécessaire de çpnsidérer r ces sortes de solides, non-seulement parce qu’on en rencontre dans les bâtimens et dans les autres ouvrages à construire, mais parce que tous les solides terminés par des plans sont des assemblages de pyramides , ainsi que les figures rectilignes sont des assemblages de trjangles.*ïl ne faut, pour s’en assurer, que tirer d’un point pris où l’on voudfc, dans l’intérieur du corps proposé, des lignes à tousjes angles de ce corps. i

On distingue les pyramides les unes des au-

f\ ... « CA y.

très, aiusi que les prismes, par le nom de la figure qui leur sert de base.

, Lorsque la pyramide a pour base une figure régulière, et que son sommet répond perpendiculairement au centre H de sa base, ainsi que dans la figure 1 18, la pyramide est alors appelée pyramide droite ; elle est nommée, au contraire, pyramide oblique , lorsque le sommet n’est pas perpendiculairement au-dessus du centre, ainsi, que dans là figure 1 20. • v ■

Pour découvrir la manière de mesurer toutes sortes de pyramides , tant droites qu’obliques , nous commencerons ppr faire sur ces figures quelques réflexions générales, auxquelles ou est con'duit par la connaissance des propriétés des prismes. - ' •

Lorsqu’on fait attention à l’égalité des prismes qui Ont même base et même hauteur, il est naturel qtPon se rappelle que les parallélograûitnes sont aussi égaux entre çux lorsqu’ils

ont ces mêmes conditions, et qu’il en est encore de même des triangles. Ces trois vérités se présentant à la fois à l’esprit, l’analogie doit porter à croire que les propriétés qui sont communes aux parallélogrammes et aux .triangles peuvent l’être aussi aux prismes et aux pyramides ; on doit donc soupçonner que les pyramides qui ont même base et même hauteur ont la même solidité. '

Les réflexions suivantes confirmeront ce soupçon. *•

Soient ABCDE et abcde deux pyramides dont les hauteurs AH et ah soient les mêmes, et dont les bases soient deux figures égales, par çxemple, deux quarrés égaux BCDE et bcde\ si l’on conçoit que ces deux pyramides ‘soient coupées par t»ue infinité de plans parallèles à leurs bases, on imaginera sans peine que Ces cotfpes de pyramides donneront des quatre# égaux 1K.LM et iklrn , et par conséquent que les deux pyramides peuvent être regardées comme des assemblages d’ün même nombre de tranches* qui, dans ces deux pyramides , seront égales

chacune à sa Correspondante. Doue, conclurat-on, la somme des tranches est la même de part et^ d’autre, c’est-à-dire que les deux pyramides ont la 'même solidité.

Si les bases des deux pyramides étaient d’autres polygones réguliers ou irréguliers BCDEF et bedej] égaux entre eux, il n’y a personne qui né pensât encore que toutes les tranches IKLMN et iklmn de l’une et de l’autre de ces deux pyramides devraient être égales entre elles, et qui n’en condût , par conséquent, que les pyramides auraient toujours là même solidité *8qu’elles auraient même base et même hauteur.

'Tout cela est aisé à imaginer après là démonstration que nous a,vons donnée de l’égalité .des prismes qui ont même hauteur; cependant la'similitude entre la tranche quelconque...

IK.LMN d’une pyramide et la base BCDEF, et l’é* galité- des tranches IKLMN et iklmn , sont de ; , ces proposition»; qui , quoique sensibles pour . tout le monde , ont à la rigueur besoin d’une démonstration ; or, pour trouver cette démon»*

j^8 ÉLÊMENS

tralion, on est obligé d’entrer dans plusieurs considérations sur la similitude des -figures, solides- ' '

Reprenons la pyramide ABCDEF, et supposons-la coupée par un plan IKLMN parallèle à la base) nous allons démontrer que la section ou 'la coupe formée par ce plan dans la pyramide est un polygone parfaitement semblable au polygone BCDEF , et que la pyramide ÀlmjMN est elle-même entièrerrient semblable à la pyramide ABCDEF, c’est-à-dire que les angles que forment toutes les lignes de ces deux figures sont respectivement égaux, et que tou9 les côtés de la petite pyramide auront lé même rapport entre eux que ceux de la grande.

Commençons par observer que si deux plans , % et Y sont parallèles , et que deux lignes quelconques AED et AME partant d un-meme point A , traversent ces deux plans, les droites LM et DE qui joindront les points L, M, Det.E

seront parallèles. La raison en est que si ces deux lignes n’étaient pas parallèles , elles se rencontreraient quelque part, étant prolongées;; tnais si elles se rencontraient, les plans dans lesquels elles sont et dont elles ne peuvent pas sortir, en les prolongeant autant quil serait nécessaire, se rencontreraient donc aussi : donc ils ne seraient pas parallèles, ainsi qu on le suppose.

Si l’on suppose donc que le plan 1KLMN ,ai ' soit parallèle au plan BCDEF , il s’ensuivra que toutes les lignes ML, LK, Kl, IN et NM, seront parallèles aux lignes ED , DC , CB , BF et FE, et par . conséquent que les triangles ALM, AKL, A1K, etc., seront semblables aux triangles Aüfe, ACD, AÉC, etc. Si l’on prend l’iin des côtés de ces triangles, AM par Exemple, pour échelle, ou pour commune mesure de tous les èôtés de la petite pyramide, pendant que le côté correspondant AE servira d’échelle aux côtés de la grande , on verra sans peine que les côtés ML, LK, Kl, etc., du polygone

IKLMN seront proportionnels aux cotes ED, DC, CB, etc., du polygone BCDEF.

On verra aussi facilement que tou?-) es angles 1KL , KLM , etc. , seront respectivement égaux aux angles BCD et CDE, puisque les premiers seront forméspar des ligues parallèles aux côtés des seconds. Donc les dejux polygones 1K.LMN et BCDEF seront semblables.

Or les côtés AM, AL, AK., etc., étant proportionnels aux côtés AE, AD, AC, etc. , et les angles ALM , ALK. , etc. , respectivement égaux aux angles ADE, ÀDC, etc. , à cause de la ressemblance des triangles ALM, ADE, ALK, AÇC, etc., les deux pyramides, AIKLMN et ÀBCDEF seront entièrement semblables.

Enfin, si du point A on mène AH per peu diculaire au plan sur lequel est construit le polygone BCDEF, et que Q soit le point, ou cette perpendiculaire rencontre le plan du po*

DE GÉOMÉTRIE. l5l

lygône 1K.LMN, il est clair que les droites AQ

et AH, hauteurs des deux pyramides A1KLMN 1

et ABCDEF, seront entre elles dans la même

raison que les côtés homologues AM, AE, AL ,

AD , etc. , ou , ce qui revient au même , que si l’on prend les hauteurs AQ et AH poür les échelles des deux pyramides , les côtés AM,

■■AL, etc., contiendront autant des parties de AQ, que les côtés AE, AD, etc., contiendront des parties de AH. \ '

Qu’on revienne maintenant à considérer les deux pyramides ABCDEF et abcdej , à la fois : Fig. ia« enverra que les deux tranches 1K.LMN, iklmn , étant semblables aux bases BCDEF et bcdef qui sont les. mêmes, elles seront semblables entre elles. On verra de plus que ces deux tranches seront égales entre elles, puisque les échelles de ces deux figures sont les droites égales AQ et aq , hauteurs des pyramides AIK.LMN et aiklmn.

Donc, sans connaître quelle est lu solidité des pyramides, on sait déjà avec certitude que si elles ont même hauteur et même base,

elles sont égales, ainsi que nous l’avions soupçonné ( article ag). '

Si les baseé des deux pyramides, au lièu d’être les mêmes, étaient seulement égales en superficie, les pyramides seraient encorè égales eu J” en solidité. Car soient abcdej et arst deux pyramides qui ont la même hauteur ah : si l’on coupe ces deux pyramides par un plan quelconque parallèle à la kase, il est évident qu’il y aura même rapport de l’aire iklmii à l’aire bcdef que de l’aire uxy à l’aire rst, puisque iklmnel bcdef élanl( article 34) des figures semblables , elles ne diffèrent ( I 1 ® part., art. 48 ) que par leurs échelles aq , ah, etc,, et que les figures uxy et rst étant aussi semblables , elles ne diffèrent non plus que par leurs échelles, qui sont 60001*6 les lignes aq et ah. . , 1 /

Mais si les bases rst et bcdef sont égales, en superficie, leurs parties proportionnelles uacy et iklmn seront donc égales : donc toutes les tranches des deux pyramides arst et abcdèf auront la même étendue ; donc leurs assena**

DE GPQMÉTJIIE. l53

blages, c’est-à-dire les pyramides mêmes seront égales en solidité-

Si la base bcdef de la première pyramide contenait un certain nombre de fois la base rst 9 la solidité de la première pyramide abcdef , contiendrait le même nombre dé fois la solidité de la seconde arst.

Car eri ce cas, la base bcdef étant divisée en plusieurs parties dont chacune fût égale à la base rst , on pourrait concevoir la pyramide abcdef comme composée de plusieurs autres pyramides qui auraient pour bases les parties de bcdef. Or chacune 1 de ces nouvelles pyramides serait égale à la seconde pyramide arst , selon ce que nous avons prouvé dans l’article précédent : donfc, etc. . ■ ' .

Que si la base rst n’était pas contenue exac* teraent dans la base bcdef , mais que ces deux bases eussent une mesure commune X, on diviserait chacune des deux bases bcdef et rst en des parties égales à X, et l’on verrait que les d’eux pyramides abcdef et arst seraient composées d’autant de pyramides nouvelles toutes

égales entre elles, que les deux bases contiendraient de parties X : dondes pyramides abcdef et arst seraient entre elles comme leurs bases.

Et si les bases étaient incommensurables, on ferait toujours voir, malgré cela, que les pyramides seraient entre elles en même raison que leurs bases, en se servant d’une induction semblable à celle que l’on a employée dans un pareil cas (11* part., art. a8)t lorsqu’il s’agissait de comparer les figures dont les côtés étaient inçpmmensurables; c’est-à-dire que l’on diminuerait à l’infini la mesure X, de façon qu’elle pût être censée mesure commune, tant de la base rst

que de la base bcdef. • .

Ayant découvert que les pyramides qui ont même hauteur sont en même raison que leurs bases, on doit sentir que la mesure de leur solidité ne renferme plus que très peu de difficulté. , • V

Car il ne s’agit plus que de savoir mesurer une seule pyramide, pour mesurer toutès les autres. Supposons, par exemple, que nous sa-*

ehiôns mesurer la pyramide ABCDE , et que l’on nous demande la mesure de la pyramide ASTVXY, qui n’a ni la même base ni la même hauteur que la première ; nous commencerons par faire une pyramide semblable à la pyramide ABCDE , et qui ait la hauteur de la pyramide ASTYXY, ce qui sera bien aisé; car il suffira (article 35 ) de prolonger les côtés AB, AC, AD et AE et de les couper par le plan LMNO , dont la distance AG au sonynet A soit égale à la hauteur AO. <

• Cela fait, puisque, parla supposition, nous savons mesurer la pyramide ABCDE, il est évident que nous saurons mesurer aussi la pyramide ALMNO qui lui est semblable;- car quelles que soient les opérations par lesquelles pn mesure la pyramidé ABCDE, on pourra toujours faire les mêmes opérations pour mesurer la pyramide semblable ALMNO , à cela près que l’on emploiera dans celle-ci uue échelle différente, ' • J - /

Supposons donc que la pyramide ALMNO soit mesurée, sa mesure déterminera atfssi celle de la pyramide proposée ASTYXY ; car, par l’article précédent, ces deux pyramides'teorjt

jii

entre elles comme leurs bases LTVINO et ST VXY , et nous avons d’ailleurs enseigné dans 1a secondé partie à trouver le rapport de ces deux bases.

Puisqu’il ne s’agit donc que de mesurer une seule pyramide pour savoir mesurer toutes les autres pyramides imaginables, proposons-nousen une extrêmement simple, que 1 on peut for- Fig.ta?. mer én tirant des quatre angles A, B, C et H d’une des faces d’un cube ABCDEFGH, quatre lignes au point O, centre de cecube ; c est-a-dire le point également distant de A, D, B, E, etc.

On voit sans peine que cette pyramkfe est la sixième partie du cube, puisqu’on peut décomposer le cube en six pyramides pareilles en prenant chaque face pour base. Or, la "valeur du cube est le produit de la hauteur AF par la base ABCH; donc, pour avoir la valeur de la pyra- - mide, il faudra partager le produit de AF par ABCH, en six parties égales, ou, ce qui revient au même, il faqdra multiplier la sixième partie de la hauteur AF par la base ABCH} et comme la sixième partie de la hauteur AF est Je tier£

de la hauteur OL de la pyrarriide OABCH, puisque sa Hauteur OL est la moitié du coté du cube, il s’ensuit que la mesure de la pyramide OABCH est le produit du tiers de sa hauteur par sa Base. :

Supposons présentement qu’on ait à mesurer une pyramide quelconque OK.MNSTV. Ou imaginera un cube dont le côté AB ou AF soit double de là hauteur OL de la pyramide proposée, et l’on concevra dafis ce cube une, pyramide OABCH, dont la pointe soit au centre, et qui ait pour base une des faces ABCH du cube.

Cette nouvelle pyramide aura .même hauteur que la première, et par conséquent (article 39) la solidité de OABCH sera à celle deOKMNSTV comme la base ABCH à la base KMJXSTV : or, par l’article précédent, le produit du tiers de la hauteur commune OL par la base ABCH est la .valeur de la pyramide OABCH 5 donc le produit du tiers de la même hauteur commune OL par la base K.MNSTV sera la valeur de la pyramide proposée OKMNSTY.

Et par là on découvre ce théorème général,

qu’une pyramide a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur

Comme nous avons vu (article 21) que la solidité d’un prisme est le produit de sa base par sa hauteur, il est clair, par l’article précédent, que les pyramides seront toujours le tiers des prismes qui auront même base et même hauteur.

Après avoir mesuré tous les solides terminés par des plans, nous allons chercher le chemin qu’on peut avoir suivi pour mesurer le& solides dont les surfaces sont courbes. Et comme nous n’avons traité dans la troisième partie que des figures dont les contours ne renferment d’autres courbes que le cercle , nous n’examinerons que les corps dont les courbures sont circulaires. • - . r '•

Dans l’examen de ces corps nous aurons deux objets, la mesure de leurs surfaces et celle de leurs solidités ; car ces surfaces étant, ouentiè-

DE GÉOMÉTRIE. \5ÿ

rement courbes, ou en partie planes et en partie courbes, nous ne pourrons renvoyer leur mesure à la première partie, ainsi que nous l’avons fait des corps terminés par des plans.

Le plus simple de tous les solides courbes est le cylindre : c’est un corps comme ABCDEF, <i g . 119 dont les deux bases ABC et DEF sont deux et ,3o ‘ cercles égaux et parallèles , joints par une surface cgurbe qu’on peut imaginer formée par un plan plié autour de leurs circonférences.

Lorsque les deux cercles sont placés de façon que le centre G du premier réponde perpendi- Fig 119culairement au-dessus du centre H du second, le cylindre se nomme droit ,

Le cylindre se nomme au contraire oblique ,lorsque la ligne ^ tirée par les deux centres GFig «J°. et H est*obfique à l’égard dés plans ABC et DEF. * - ■ • • '. : ‘ ' r

La formation' géométrique de ces solides, analogue à celle , des prismes et des parallélépi-

pèdes dont il a été parlé (article 17), consiste à faire mouvoir un cercle parallèlement à luimême, en sorte que tous ses points décrivent des lignes droites parallèles qui s’élèvent hors du plan de ce cercle.

On parviendra, de la manière suivante, à me* surer la surface d’un cylindre droit $ ce qui est souvent nécessaire dans la pratique. . .

Fig.iag. Les deux circonférences ABC et DEF étant partagées chacune en un même nombre de par- 1 ties égales, les points de division répondant les uns au-dessus des autres , qu’on tire des lignes droites qui joignent les angles correspondans des deux polygones réguliers que donne cette opération, il est plair qu’on aura alors un prisme dont la superficie sera composée d’autant de rectangles renfermés dans la surface cylindre, qu’il y a de côtés renfermés dans chacune des circonférences ABC et DEF. Or, t&us ces rectangles ayant chacun leur hauteur égale à AD, leur mesure totale sera le produit de la hauteur AD par la somme de toutes les bases,

DE OÉOfflÉTRIE.

c’fest-à-^ire pàr le contour du polygone renfermé ou inscrit dans le cerçle DEF ou A BG. >

Mais comme à mesure que le nombre des cô-

tés de ce polygone sera plus grand , lè contour

du polygone approchera dé plus en plus d*ètre égal à' la circonférence, ÿt|a. surface du prisme d’étre égale à* celle du cylindre, il s’ensuit -que si l’on imagine quer le nombre des côtés de ce polygone devienne infini, le prisme ne différera pas du cylindre. La surface courbe du cylindre droit est donc égale à un rectangle dont là fraa*-, teur serait ÂD, et la base une ligne droite égàlèf ■à la. circonférence DEF. ^ '

Cette proposition peut Servir à trouver j par exemple, ce qu’il faudrait d’étoffe pour envelopper un pilier cylindrique, ou pour tapisser le dedans d’une tour ronde.

“Quant à la surface du cylindre oblique, on ne peut pas la mesurer de la même manière, parce qu’au lieu de rectangles on aurait des parallélogrammes de hauteurs différentes. Ce n’est que par des méthodes très compliquées et très

difficiles qu’on est parvenu à connaître seulement la valeur approchée de cette surface, et les problèmes de ce genre ne sont pas du ressort des Élémens.

f T ' ■ jv

A l’égard de la solidité des cylindres, soit

droits, soit obliques, rien ne sera plus aisé que de la trouver; car il est évident que tout ce que nous avons dit des prismes conviendra aux cylindres, si l’on regarde les cylindres comme les derniers des prismes qu on peut leur inscnre.

Ainsi, les cylindres qui auront même base et même hauteur seront égaux en solidité.

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Et la mesure d’un cylindre quelconque consistera dans le produit de sa base par sa hauteur.

’t.: ri-’,’ •' rVlf Hl

Le cône est le solide courbe Je plus simple après le cyliudre : c’est une figure comme... ^e^'ABCDE, dont la base est un cercle et dont la

DE GEOMETRIE. l63

surfacees* composée d’une infinité de lignes droites qui abdutissent toutes du sommet 4 à la , circonférence BÇQE de ce cercle. Oa peut regardejc.ce solide comme uiie pyramide donÈ

lli"' • . r '

la base serait un cérde. ’ ■?

■çïf Y > • . , v - 1 n * - v- •

Si, comme dans la 1 figure i3i, la pointe ou sommet A d*t çôneFépond perpendiculairement au-dessus du centre O de la basé, le cône est nommé cône droit; et il est nommé oblique, si le sômraet répond à un -point différent du centre de la base , ainsi que dans la figure i3a.

Pour mesurer la surface d’un cône droit

ABCDE, on le regardera comme la dernière Fig. i3t, des pyramides qu’on peut lui inscrire, c’est-àdire qu’on divisera la circonférence de sa base' BCDE, ainsi qu’on a fait de la circonférence du cylindre, en une infinité de petits côtés , et, tirant des lignes de tous Tes angles au sommet du cône. A, on trouvera que la superficie conique

l64 ^ ÉLÉilIEHS -,

est un assemblage d’iine infinité de petits triangles isocèles, dont la hauteur est égale au côté AB du cône, et dont tontes les bases ajoutées ensemble sont égales à la circonférence BCDE; d’où il est aisé de voir que la mesure de c.etiç surface se trouvera en multipliant la moitié de AB par la circonférence BCDE.

Si Ton se rappelle maintenant que là surface d’un secteur de cercle est (III e part. , art. 10 ) égale au produit de l’arc de ce secteur par la moitié du rayon, on verra que pour envelopper Kig. .31 le cône droit ABCDE d’une surface pliante, comme du carton , etc., il faudrait prendre un «

secteur de cercle A LR dont le^ rayon fût égal à AB, et dont l’arc fût égal à la circonférence

BCDE. . • . .

Lorsque le cône est oblique', la mesure de sa surface, ainsi que celle du cylindre oblique, est fort difficile à connaître, même d’une manière

•' ' •'> '"•ici

DE GÉOMÉTRIE. IO$v ♦

approchée, èt/c’est encore un problème au-des- ~ sus des Élémens. v

Quant .à* la sojidité dès cônes, soit droits , t» soit obliques, oh les regardera comme les der- * hièresdes pyramides qu’on pourrait leur ins- • ■ 0 ^ 1

crire, et l’on pourra leur appliquer en conse- IJ]

quence ce qu’on a dit des pyramides en géneral. ; - , * % ~

Ainsi, les' cônes qui auront .même base et même hauteur seront égaux, ^

*• Sr 1 *' » ^ «» T -

Etvla solidité d’un cône quelconque sera le produit de la base par le tiers de sa hauteur.

On a quelquefois besoin de mesurer .un corps .comme BCDEFGH, qu’o» appelle côw tron^ ^ J 3 : c’est la partie quirested’un, cône AFGH, « i34lorsqu’on en a retranché un autre conte plus, P e * lit ABGQE par une* section, parallèle à la bas*

1 66 f.- ÉLÉMENS

FGH. Il est évident que la mesuré de ce solide sera la différence entre les solidités des deux

cônes ABCDE et AFGH.

Quant à-Ia surface d’un cône tronqué, s’il a

# été formé par la section d’un cône droit, on peut trouver quelque chose de plus simple que de mestïrer séparément les surfaces de deux cônes, et de retrancher l’une de l’autre; on'em-

y ploiera pour cela la méthode suivante, qui est aisée à imaginer après ce que nous ayons dit (article 54).

Fig. 134 Supposons que ALR soit le secteur qu’il fauet i35. , ; - . . ’ . ,

(Irait construire pour pouvoir envelopper le

cône AFGH. En décrivant du centre A et de l’intervalle AM égal à AB un arc MP, il est clair que l’espace MPRL serait une portion de couronne propre à envelopper la surface cherchée ’ du cône tronqué. Or, si l’on imagine que les deux circonférences , dont MP et ER sont des .;•> aires semblables , soient achevées, on aura une couronne entière dont la mesure (III* part., art. 8 ) sera lé produit de ML égale à BF, par la

circonférence dont AN est le rayon, N étant le milieu de ML; donc la portion de couronne MPRL, ou la surface du cône tronqueBCDEFGH qui lui est égale, se mesurera en multipliant ML par l’arc NQ, ou, ce qui revient au même, en multipliant BF par la circonférence 1KL de la section du solide proposé, coupé par un plan parallèle à la base, et qui passe par le milieu I du côté BF.

Le dernier des corps solides dont nous traiterons se nomme sphère ou globe ; c’est celui dont la surface a tous ses points également éloignés d’un, même point qui en est le centre. On a souvent besoin de mesurer cette surface. On voudra savoir \ par exemple -, ce qü’il faudrait de dorure pour une boule, combien on devrait prendre de lames de plomb pour couvrir un dôme, etc. ‘ ^

•sf

Soit X la sphère dont on veut mesurer laFig.iîe. superficie; il est évident que l’on peut concevoir

l68 f ÉlÆmENS

ce solide comme produit par la révolution d’un

demi-cercle AMB autour de son diamètre AB.

Supposons d’abord qu’au lieu de la demicirconférence, nous ayons un polygone régulier d’un nombre infini de petits côtés, ou, si l’ou veut, d’un très grand nombre de côtés, et pro- > 3 "- posons-nous seulement de mesurer la surface Z, produite par la révolution de ce polygone. Il sera facile de passer ensuite de la mesure de celte surface à la mesure de la surface de la sphère, ainsi que nous avons passé- de la mesure des figures rectilignes à celle du cercle.

Pour mesurer la surface du solide Z, examinons la petite partie de cette surface que produit un seul côté quelconque M/n du polygone inscrit, pendant qu’il tourne autour du diamètre Fig. i3&- AB. Il est évident que ce côté Mm décrit dans ce mouvement une surface de cône tronqué V ; car en prolongeant la droite mil jusqu’à ce *' * qu’elle rencontre en T le diamètre ou axe de révolution AB, si cette ligne TM/n tourne en

même temps que Je demi-cercle AMB, elle décrira visiblement un cône droit, dont le sommet sera T, et la base le cercle décrit par le point m; en sorte que la surface Y produite parle. mouvement de M/n sera unetranche de ce cône, en fermée entre les plans des cercles que les points M et m décrivent en tournant. Mais, selon que nous l’avons vu (article 5g) la surface V est égale à un rectangle dont Mm est la hauteur, et la base une ligne égale à la circonférence KLO décrite par le point K, milieu de Mm : donc la surface produite par la révolution du polygone est égale à la somme d’autant de rectangles de cette nature qu’il y a de côtés dans ce polygone, tels que Mm.

Or, comme tous les côtés Mm, hauteurs de ces rectangles, sont supposes égaux, on pourrait regarder la surface cherchée comme un rectangle total qui aurait la hauteur Mm avec une base égale à la somme de toutes les circonférences telles que K.LO, c’est-à-dire décrites par le poiut de milieu de chaque petit côté.

Mais le polygone inscrit dans le demi-cercle AMB ayant un très grand nombre de côtés, ' .

la petitesse de la hauteur Mm, et la grandeur

excessive de la base, rendent ce rectangle inconstructible. . '

Pour remédier à cet inconvénient, il est bien aisé d’imaginer de changer tous ces petits rectangles en d’autres qui auraient toujours.une même hauteur, non pas imperceptible comme Mm, mais assez grande pour que chacune des bases , devînt fort petite; moyennant cela, l’addition de toutes ces petites bases ne fera plus qu’une longueur comparable à la hauteur.

Yoyons donc si nous ne pourrons point changer de cette sorte nos petits rectangles. Supposons d’abord , pour simplifier le problème ,

Fig. 1B9. que nos rectangles, au lieu d’avoir pour bases des lignes égales aux circonférences KL , n’aient pour base que les rayons Kl 4 e ces circonférences. Il ne nous sera pas difficile ensuite d’appliquer ce que nous aurons trouvé pour ces derniers rectangles, à ceux dont nous avons

affaire. * < :

Il s’agit donc de trouver un rectangle qui

ait pour mesure le produit -de Mm par Kl , et qui^|it pour hauteur quelque ligne incomparablement plus grande que Mm, et qui soit la même en quelque endroit que soit placé ce petit côté Mm. Choisissons, par exemple, la droite CK* qui est l’apothème du polygone dont Mm est le côté, et qui par conséquent est toujours la même à quèlque côté du polygone qu’elle appartienne. Nous devons donc chercher une ligne dont le produit par CK soit égal au produit de Kl pai|^lm, c’est-à-dire (II* part., art. 7 ) qu’il faut Trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes CK, Kl, et Mm. Or nous savons que c’est par le moyen des triangles semblables que l’on découvre des lignes proportionnelles à d’autres lignes ; il faut donc former des triangles semblables, dont les côtés homologues soient leSdignes en question : c’est ce que l’on fera en abaissant MR perpendiculaire à mp. On aura alors les triangles MmR et K1C qui seront semblables; car ils seront chacun rectangle , l’un en R , l’autre en I , et de plus ils auront les angles mMR et IKC égaux entre eux, à cause que le premier fait un angle droit avec l’angle MmR , égal à l’angle

MKI, et que l’autre IKC fait aussi un angle droit avec MKI. à*»’

De là ou peut conclure facilement que CK est à Kl comme Mot à MR; c’est-à-dire que MR est la quatrième proportionnelle cherchée, ou, ce qui revient au mêtne, que le rectangle de CK par MR ou par P p est égal au rectangle dç Mot par KL Mais comme le rectangle que nous nous étions d’abord proposé de changer n’était pas celui de Mot par Kl , que c’était celui de Mot par la circonférence dont Kl est le rayon , nous nous rappellerons ici que les circonférences sont entre elles comme les rayons , ce qui fait que l’égalité qui est entre le rectangle de Mot par Kl et celui de P p par CK entraîne nécessairement l’égalité du rectangle de Mot par la circonférence de Kl au rectangle de P p par la circonférence de CK. Car ou voit facilement que si deux rectangles sont égaux, et que, conservant leur hauteurs, on augmente. proportionnellement leurs bases, ces rectangles demeureront encore égaux.

Ayant découvert, dans les deux articles précédens, que toutes les petites surfaces coniques tronquées, telles que Y (fig. i38.), sont égales à autant de rectangles qui auraient tous pour hauteur une même droite égale à la circonférence dont CR serait le rayon, et dont chacun aurait pour base une petite droite P p correspondante à chaque côté M/n, on en déduira qu’une somme quelconque de ces petites surfaces, prise par exemple depuis A jusqu’en ■ p, sera égale à un rectangle qui aurait pour hau<teurune droite égale à la circonférence dé CK, et pour base la somme de toutes les lignes telles que P p, prise depuis A jusqu’en/?, c’est-à-dire la droite Ap.

Donc pour avoir la surface totale produite' par la révolution du polygone entier, il Faudra faire un rectangle dont la base soit égale à la circonférence décrite du rayon CK, et qui ait une hauteur égale au diamètre AB.

Il est bien aisé maintenant de mesurer la sur-

rj4 ÉLÉMENS

face de la sphère : car il est clair que plus il y aura de côtés dans le polygone, plus le solide produit par sa révolution approchera d’être égal à la sphère, et plus aussi l’apothème CK approchera d’être égal au rayon $ en sorte que si l’on peut imaginer que le polygone soit devenu un cercle, l’apothème CR sera le rayon même, et la surface de la sphère aura la même étendue qu’un rectangle dont la hauteur et la base seraient , l’une le diamètre , et l’autre une ligne égale à la circonférence du cercle qui l’a pror duite, et que l’on appelle ordinairement • le grand cercle de la sphère.

Quant à la surface courbe d’un segment de Fig. 40. sphère AMLNO , c’est-à-dire de la partie que l’on retranche d’une sphère lorsqu’on la coupe par un plan MLNO perpendiculaire, au diamètre ? elle a pour mesure le produit de son épaisseur ou flèche AP par la circonférence du grand cercle AMBN. La raison en est la même que celle par laquelle On a prouvé (article 64-) que la somme des surfades de tous les pétits

cônes tronqués, compris depuis A jusqu’en m, est égale au rectangle dont la hauteur est A p, et la base une ligne égale à la circonférence dont CK est le rayon.

La mesure précédente de la surface de la sphère apprend que si l’on fait tourner le rectangle ABDE en même temps que le demi-cercle A MIN B autour de AB, la surface courbe du cylindre droit EFGIK0H produit par la révolution de ce rectangle, sera égale à celle de la sphère décrite par le demi-cercle, 1 cè qu’on exprime ordinairement ainsi : la surface de la sphère est égale à celle du cylindre circonscrit.

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Et si l’on coupe, tant le cylindre que la sphère, par deu* plans quelconques perpendiculaires au diamètre AB en P et en Q, les tranches du cylindre et de la sphère qui seront produites par le mouvement de la droite OS et de l’arc MN seront égales en superficie.

On voit encore, par ce qui précède, que la surface de la sphère est égale à quatre fois l’aire de son grand cercle ; car la surface de ce grand cercle a pour mesure le produit de la moitié du rayon ou du quart du diamètre par la circonférence, et la superficie de la sphère est égale au produit du diamètre entier par la même circonférence. t

La mesure de la surface de la sphère étant trouvée, il est bien aisé de mesurer sa solidité j car on peut considérer la sphère comme l’assemblage d’une infinité de petites pyramides dont les sommets sont à son centre, et dont toutes les bases couvrent la surface entière. Or, chacune de ces pyramides ayant pour mesure le produit du tiers de sa hauteur, c’est-à-dire du rayon, par sa base,- leur somme totale ou la solidité de la sphère se mesurera en multipliant le tiers du rayon par sa surface, c’est-à-dire par quatre fois l’aire du grand cercle.

de géométrie. 17 7

Comme le produit du tiers du rayon par quatre fois le gtand cercle est la même chose que le produit de quatre fois le tiers du rayon, c’est-à-dire des deux tiers du diamètre, par le grand cercle, et que la solidité du cylindre EFGTKDH a pour mesure le produit du diamètre par le rnênle grand cercle qui lui sert de base, il s’ensuit que la solidité de la sphère est les deux tiers de «felle du cylindre circonscrit.

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Si l’on se proposait de mesurer la solidité d’un segment de sphère AMLiNO, il est évi-F'g- 1 fadent qu’il faudrait d’abord mesurer la portion de sphère produite par la révolution du secteur CAM; ce qui se ferait en multipliant le tiers du rayon par la surface du segment de sphère proposé AMUNO, ensuite on retrancherait dé cette mesure celle du cône produit par la révolution du triangie CP1N1, c’est-à-dire le cône dont la base est le cercle MLNOetCP la hauteur, et le reste serait la valeur demandée du segment.

ï^8 ÉI.ÉMENS

Nous finirons ces Élémens par quelques propositions sur la solidité et sur la superficie des corps semblables. Ces propositions se présentent

réfléchit sur ce qui constitue la similitude de deux corps. On peut dire même qu’on ne peut guère manquer de les découvrir par analogie, si l’on se rappelle ce que nous avons dit (I" part., art. 34 et suiv.) delà similitude des figures planes, c’est-à-dire de'celles qui sont décrites sur des plans.

Nous avons déterminé (article 3a) en quoi consiste la similitude de deux pyramides ; la définition que nous avons donnée alors des pyramides semblables peut s’étendre à tous les corps terminés par des plans, c’est-à-dire que deux corps de cette nature seront appelés semblables , si tous les angles formés par les côtés du premier sont les mêmes que les angles formés par les côtés du second, et si les côtés d’un de ces corps sont proportionnels aux côtés homologues de l’autre.

fort-naturellement lorsqu’

DE GÉOMÉT111K.

Quant aux corps qui rie sont pas terminés de tous les côtés par des plans , par exemple , les cylindres et les cônes, il est aussi facile de déterminer les conditions nécessaires pour les rendre semblables.

Deux cylindres droits seront semblables, si leurs hauteurs sont en même raison que les rayons de leurs bases.

Si les cylindres sont obliques, il faudra de plus que les lignes qui joignent les centres des deux cercles , dans chacun de ces cylindres fessent les mêmes angles sur les plans de leurs bases. ’ ' ! . '

iTï , T’

Les mêmes définitions peuvent s’appliquer aux cônes, en mettant', au lieu de la ligne qui passe par les centres des deux bases du cy-

ÉLÉJHENS

lindre, celle qui va du sommet du cône au centre du cercle qui lui sert de base.

Pour que deux cônes tronqués soient semblables, il faut, en premier lieu, que les cônes dont ils sont portions soient semblables l’un à l’autre; et en second lieu, que leurs hauteurs soient entre elles comme les rayons de leurs bases.

À l’égard des sphères , on voit bien qu’elles sont toutes semblables les unes aux autres, ainsi que toutes les figures., soit solides , soit planes, qui n’ont besoin que d’une seule ligne pour être déterminées, comme le cercle, le quarré, le triangle équilatéral, le cube, le cylindre circonscrit à la sphère, etc..

En général, on pourra dire des figures solides semblables, comme on l’a dit des figures

DE GÉOMÉTRIE. IOÎ

planes, qu’elles ne different que par les échelles sur lesquelles elles ont été construites.

Cet exposé seul bieu considéré , conduit à deux propositions fondamentales sur la superficie et sur 1 !» solidité des corps semblables.

£ a^V/oîV'fifî* jn>; *.4 ;>< ) ; 1 .

La première proposition apprend que les surfaces de deux solides"seinblables sont entre elles comme les quarrés de leurs côtés homologues ; qu’il y a, par exemple même rapport entre les surfaces des deux pyramides semblablables 2 et Z, qu’entre les quarrés abcd et ABCD, faits sur les côtés abet AB, qui se^répondent dans ces deux pyramides.

Pour découvrir cette proposition , on n’a be- • soin que des raisonneraens qu’on a employés ( \ te part., art. 43 et 44 ) ^ c’est-à-dire qu’il faut seulement considérer que si P est l’échelle de la pyramide Z , et p [l’échelle de la pyramide semblable z, les lignes qu’il faudra employer pour mesurer la surface de Z et celle du quaiié ABCD , auront le même nombre de P , qu’il y aura de parties p dans celles qu il faut employer

ÉI.ÉMENS

pour mesurer la surface de z, et celle du quarré abcd. \ .

Car de là il suit que le produit des lignes qui entrent dans la mesure de Z et de ABCD donnera le meme nombre de quawe's X faits sur P, que le produit des lignes employées à mesurer z et abcd donnera de quarrés x faits sur p j c’est-à-dire que les nombres qui exprimeront le rapport de la surface de la pyramide Z au quarré ABCD seront les mêmes que ceux qui exprimeront le rapport de la surface 2 au quarré abcd.

On ferait le même raisonnement dans la comparaison de tous les autres corps semblables, soit que ces corps fussent terminés par des plans, soit qu’ils fussent terminés par des surfaces courbes ; car les lignes employées à 1 mesurer les superficies de tous ces corps auront toujours le même nombre des parties de [leurs échelles, et par conséquent les produits de ces lignes contiendront mp même nombre de fois les quarrés de ces mêmes parties.

Et si les lignes nécessaires pour mesurer la superficie des corps semblables étaient incommensurables, il est clair que la démonstration

subsisterait toujours, pourvu qu’on employât ici les principes dont on s’est servi ( II* part. , art. 28) pour comparer les figures semblables dont les côtés étaient incommensurables.

On prouverait , de la même façon , que les surfaces des sphères sont entre elles comme les quarrés de leurs rayons. Mais , pour le voir encore plus clairement d’une autre mahière, il suffira de se rappeler que les surfaces des cercles sont entre elles comme les quarrés de leurs rayons (III e part. , art. 6) , et que les surfaces des sphères sont quadruples de leurs grands cercles ( article 6 g ).

La proportionnalité entre les surfaces des corps semblables et les quarrés de leurs côtés homologues est si générale, qu’elle s’applique autant aux corps qu’on ne sait pas mesurer qu’à ceux dont on connaît la mesure.

Sans savoir mesurer , par exemple, la surface d’un cylindre oblique, on peut affirmer que les

1 84 ÊLÊMENS

surfaces de deux cylindres obliques semblables sont entre elles comme les quarrés des diamètres des bases de ces cylindres : car en inscrivant dans ces deux cylindres deut prismeè semblables , de tant de faces qu’on voudra , on verra , par ce qui précède , que les surfaces de ces prismes seront entré elles comme les quarrés des diamètres des bases. Donc les cylindres mêmes , considérés comme les derniers des ptismes inscrits, auront leurs surfaces dans le meme rapport.

La proposition fondamentale pour la comparaison de la solidité des corps semblables est celle-ci :

Les solides semblables sont entre eux comme les cubes de leurs côtés homologues.

Cette proposition se peut démontrer comme la précédente, en considérant que les figures semblables ne diffèrent que par les échelles sur lesquelles elles sont construites.

F'6^44 Pour le faire voir le plus simplement qu’il nous sera possible, nous nous servirons, par exemple, des deux prismes semblables Z et 2 ,

DE GÉOMÉTA1E. l85

et des deux cubes X et x, dont les côtés sont égaux à AB et ab , lignes analogues dans ces deux prismes 5 et nous prendrons de plus deux échelles AB et ab, divisées en un assez grand nombre de parties pour pouvoir mesurer les dimensions de ces solides. Or, cela posé, il est clair qu’il se trouvera pareillement autant de cubes faits sur les parties de ab dans le prisme z et dans le cube x, que de cubes faits sur les parties de AB dans le prisme Z et dans le cube X.

On ferait le même raisonnement pour tous les autres solides; et ceux qui pourraient avoir des dimensions incommensurables seraient aussi dans la même raison que les cubes de leurs côtés homologues.

Les solidités des sphères, par exemple, sont évidemment entre elles comme les cubes de leurs rayons.