partie

Supposons, par exemple, qu’on se propose de Fig. 98. faire un quarré qui soit au quarré ABCD comme la ligne M à la ligne IN. On divisera ( 1 ” part., art. 4 1 ) I e côté CB au point E, de manière que CB soit à BE comme la ligne N à la ligne Mj menant ensuite la parallèle EF à AB, le rectangle ABEF aura la même superficie que le quèrré demandé : donc il ne s’agira plus , que de changer ce rectangle en un quarré. *

Fig. 99 Si l’on veut faire un polygone HIKLM, qui

et 100. c r j n ^ , ,

soit à un polygone semblable ABCDE , dans la raison de la ligne X à la ligne Y, on commencera par faire sur le côté AB du polygone donné ABCDE, le quarré ABGF ; ensuite on cherchera < un autre quarré HIOQ, qui soit au quarré ,

o ABGF comme la ligne X à la ligne Y pet alors

décrivant sur le côté HJ de ce quarré un poly-

gone HIKLM, semblable ait premier ABCDE , ce nouveau polygone sera celui qu’on demande. La raison en est bien facile à trouver, si l’on se rappelle (I re part. , art. 4&) que les figures semblables sont entre elles comme les quarrés de leurs côtés homologues.

Si l’on voulait faire un cercle dont l’aire fut à celle d’un cercle donné comme X à Y, il faudrait construire un quarré qui fût au quarré du rayon de ce premier cercle comme X à Y, et le côté de ce nouveau quarré serait le rayon du ' cercle demandé.

Voici encore une propriété du cercle, tirée de celle qui a fourni les problèmes précédens.

Si d’un point A, pris hors d’un cercle, onFig.ioi. mène à volonté deux droites ABC et ADE , qui coupent chacune la circonférence en deux points, et qu’on mène les droites CD et BE, les triangles ACD et AEB seront semblables, puisque l’angle A est commun aux deux triangles, r

et qu’ils ont d’ailleurs les angles à la circonférence C et E, égaux. Or, de ce que les triangles ACD et AEB sont semblables, il s’ensuit que les quatre lignes AB, AD, AE et AC sont en proportion, et par conséquent que le rectangle des deux droites AB et AC est égal au rectangle des deux droites AD et AE; ce qui peuts’eX' primer ainsi : si d’un point quelconque A, pris hors d’un cercle, on tire à volonté deux lignes ' droites AC et AE qui traversent ce cercle, le rectangle de la droite AC , par sa partie *xtérieure AB, sera égal au rectangle de la droite AE par sa partie extérieure AD.

* Lorsque la droite qui part du point A, au f lieu de couper le cercle ne fait simplement que le toucher, ainsi que AF, la propriété, précédente se change en celle-ci : le quarré d’une tangente AF est égal aü rectangle produit par la sécante quelconque AE , et par sa partie extérieure AD. Ce qui est bien aisé à démontrer; car regardant la droite AF qui touche le cercle , comme une ligne qui le couperait en deux

points infiniment proches, les lignes AB et AC ne sont alors qu’une même ligne AF, et, au lieu du rectangle de AB par AC, on a le quarré de AF. / * .

La proposition démontrée dans l’article précédent, en nous apprenant la valeur du quarré de la tangente AF, ne nous apprend pas à tirer cette tangente du point donné A. Pour la tirer, Fig.ioa. on se ressouviendra (article 19) que le rayon FG est perpendiculaire à la tangente FA. Ainsi, il ne s’agit que de trouver sur le cercle donné le point F, tel que l’angle AFG soit droit; donc en décrivant sur AG un demi-cercle, le point où il coupera le cercle FK.0 sera (article i3) le point cherché F.