Q C P -+- Q : : AO : A
alors, en partageant A4 en parties égales moindres que B4, un des points de division tomberait entre B et 4, et en appliquant à ce point n la force Q, ou aurait, par ce qui précède,
Q:P + Q ::AO/: An.
La droite AO', qui entre dans celte proportion, est plus grande que AO; car, que P et Q soient incommensurables ou non, lo point O' sera le milieu de aAn tout aussi bien que O était celui de aAB ; et comme An surpasse AB, il faut aussi que AO* surpasse AO. Cela posé, on lire des seconds rapports des proportions précédentes,
AO:A4:: AO': An; *> et en changeant les moyens de place,
AO J AO7 :: A4 : An;
proportion absurde, puisque AO est plus petit que AO”, comme on vient de le démontrer, tandis que A4 surfasse An.' On prouverait de la même manière que le quatrième terme de la proportion no pourrait être plus petit que AB; ce qui montre qu'il ne diffère pas de cette droite AB.
Fig. 9.
Fig. i< 1 1 et 1
Fig. 1
tO . STATIQl'*..
réunissant pour entraîner ce point, il ne peut qu’appartenir à la direction de la force unique qui est la résultante- des deux autres. > - ■'
2 5. Les forces P et Q, en concourant en un point A (fig. 9), déterminent un plan PAQ dans lequel la direction de la résultante doit être compris^ En effet, si cette résultante était située au-dessus dç ce plan, toutes les raisons qu’on pourrait donner pour prouver qu’elle doit suivre cette direction pourraient s’appliquetlÉpMr prouver qu’elle doit suivre une direction située symétriquement au-dessous; donc la résultante ne suivra ni l’une ni l'autre
26. Il ne sera pas plus difficile de démontrer que cette re- J’ sultan te suivra la droite AP (fig. 10, 11 et 12) qui partage
l’angle de deux forces égales en deux parties égales.
En effet , 1* droite AD partageant l’arigle PAQ en deux parties égales, si la droite A m était la Résultante, il existerait une autre* droite A n absolument située , à l’égard de AD , de AQ et de AP, comratfjAjM , l’est à l’égard dë AD, de AP et de AQ ; de sojte que toutes les raisons qu’on pourrait donner pour 'proufjr que Am est la résultante , pourraient s’appliquer pour prouver que An est aussi ta résultante, d'où l’on conclurait qu’il y aurait deux résultantes; ce qui est impossible : donc la résultante ne peut être dirigée que suivant'AD.
27. Supposons maintenant rjite deux forces inégales P et 3. Q concourent en A (fig. 1 3), ét qüede parallélogramme ABC!)
ait pour côtés les droites AfiÆP proportionnelles aux forces • P et Q, et situées dans leurs -élections. Il s’agit de démontrer que la résultante de P et de Q , qui , d’après cte qtiî précède , passe par ïe poifu A , ''passera aussi par l’extrémité D de la diagonale AD. Pour cela, ayant pris DE = AB = P, menons la parallèle EF à la droite AB , et appliquons en E et en F deux forets Q' et Q" égales à Q , et dirigéès en sens contraires dans la direction de EF ; ces forces se détruiront ; et , par cela même, nous serons en droit’de substituer aux forces P et Q les
COMPOSITION AtKS FORCES. TI
quatre forces P, Q, Q' et Q". En considérant P et Q' comme deux forces appliquée», aux points B et.E de la droite in- . •
flexible, BE , comme on a par construction
p : q' de : bd,
il suit du dernier théorème qu’on a démontre, que la résultante R des forces P et Q' passera par le point D. D’un autre côté, si l’on transporte la force Q au point F de sa direction, les forces égales Q et Q" auront une résultante S qui , divisant l’angle Q"FQ en deux parties égales, art. 26, passera par l’extrémité D de la losange CDEF ; nous aurons donc deux résultantes R et S qui, concourant au point D, passeront par ce point. 11 en sera de même de la résultante de P et de Q, * qui ne diffère pas de celle de R et de S.
28. Il nous reste à démontrer que les composantes P et Q étant représentées en intensités par les droites AB et AC (fig. 14), la résultante doit l'être par la diagonale AD.
En effet, si au point A (fig. 14 ), et dans la direction de la diagonale AD du parallélogramme BAC des forces P = AB et Q= AC, on applique une force inconnue X égale et directement opposée à leur résultante, l’équilibre subsistera entre ces trois forces. On pourra donc regarder à son tour Q comme directement opposé à la résultante des forces X et P ; d’où il suit que si , par l’extrémité B de cette dernière, on mène BE parallèle à X, cette parallèle rencontrant en E la direction de la diagonale Q, déterminera BE pour le côté qui , dans le parallélogramme BAFE , sera opposé , et égal au côté X ; mais BE comme côté du parallélogramme ED, est égal à la diagonale AD du parallélogramme des forces P et Q ; donc X '= AD ce qui prouve que l’intensité de la résultante se mesure par la longueur de la diagonale. '■ . .
291 Un des premiers corollaires que l’on peut tirer de la proposition , du parallélogramme des forces, est la relation irigonométvique qui existe entre deux forces P et Q qui con-
fit:
courent en un point A et leur résultante R. Pour l’obtenir, Fig. i5. prenons sur les directions de. ces forces (fig. i5) des parties AB et AC proportionnelles à ces- forces , et construisons le parallélogramme ABDC , nous aurons
p : q : r :: ab : ac : ad.
Le côté BD étant égal à AC, on peut ne considérer que les côtés du triangle ABD , et la proportion précédente devient.
P î Q : R :: ar : bd : ad.
D’une autre part , les côtés d’un triangle étant proportionnels
aux sinus des angles qui leur sont opposés , on a encore > ^
AB : BD : AD :: sin BDA : sin BAD *. sin ABD- % / ' .
On tire -de ces proportions, t
P : Q : R ; : sin BDA : sin BAD : sin ABD.
Le triangle des forces est ainsi ramené à la Trigonométrie.
30. Par exemple, si l’on donnait les deux composantes AC et AB, et l’angle BAC qu’elles forment entre elles, et qu’on* voulût déterminer la résultante , comme l’angle BAC est supplément de l’angle ABD , on connaîtrait dans le triangle ABD l’angle B et les deux côtés compris ; il serait donc facile de déterminer par la Trigonométrie le côté opposé AD = R. Au.
reste , on calculerait aisément R par la formule (*)
fe *•
R» = P* -f- Q1 — aPQ cos B.
31. Si l’on veut que l’angle qui entre dans cette formule * soit l’angle BAD des forces, cet angle étant supplément de
l’angle B , on doit avoir cos B = — cos A ; par conséquent on
Fig. 16.
(*) Pour la démontrer, le triangle AED, rectangle en D, nous donne- AD* = (BD — BE )* -f- AE* ;
mettant dans cette équation AB cos B et AB sin B à la plaoe de BE et de. AE, et remplaçant sin* B -+■ cos* B par l’unité, on réduira.
COMPOSITION DBS FOBCF.S.
a la relation suivante entre la résultante, les deux composantes et l’angle qui est compris entre ces dernières,
R» = P* -f Q* + aPQ cos A. . . (3).
3a. Lorsqu’on a plusieurs forces qui, quoique situées dans des plans différens, concourent en un point A, on en peut toujours déterminer la résultante ; car il suffît de composer ces forces deux à deux et de leur substituer leur résultante, pour diminuer successivement le nombre des forces du système et les réduire enfin à une seule.
33. U existe, sur la composition de plusieurs forces qui concourent en un point, une construction graphique très remarquable.
La voici: soient (fig. 17) P, P', P", P*, etc. , .plusieurs Fig. forces qui concourent en un point A , et que nous représenterons par les parties A p, A//, A p", A p”r, etc., de leurs directions : on mènera à kp' la parallèle pr égale à A p\ et l’on formera le parallélogramme A prp' ; la diagonale Àr= R sera la résultante de P et de P' : menant ensuite rri parallèle et égale à kp", et formant le parallélogramme krr'p”, la diagonale Ari sera la résultante de R et de P" ou des forces P, P', P". On voit que par çe procédé on construira un polygone kprr'r", etc., dont les côtés seront parallèles aux directions des forces P', P"r.P*, etc., et dont les longueurs respectives représenteront les intensités des forces P, P', P", etc. Les distances de A aux angles de ce polygone seront
Ar résultante de P et de P',
Ari résultante de P, de P' et de P",
A/' résultante de P, de P', de P" et de P1'’.
En continuant ainsi, l’on voit que la distance de A à l’extrémité ri") du dernier côté du polygone Arrir". . . ri"), sera égale à la résultante de toutes les forces. ' •
STATIQUH.
Fig. i
Fig. i<
Des Jorces appliquées à un même pçint et qui sont situées dans un même plan.
g 3/| . Soient P, P', P", P'", etc. (fig. 18), différentes forces situées dans un plan, et qui aboutissent à un point A : nous mènerons par ce point les axes rectangulaires A.r et A y, et en représentant ces forces P, P', P", etc. , par les parties AP, AP', AP", etc., de leurs directions, nous les décomposerons chacune en deux autres dirigées suivant les axes A.r et Aj. Pour cet effet, soient «, et", etc., les angles que les forces P, P', -P", etc., font avec l’axe des x , et £, G', 8", etc'., les angles qu’elles font avec l’axe des r- Comme on sait qu’en général lorsque l’hypoténuse AB ( fig. 1 9 ) d’un triangle .rectangle, fait un angle A avec l’un des côtes, le côté adjacent a
pour expression AB cos A, tandis que le côté oppôsé à l’angle A est égal à AB sin À (*), on pourra facilement calculer lès composantes des forces P , P', P", P'", etc. , suivant les axes ; car la force P, représentée par AB, faisant un angle a suivant Paxe des x, et un angle G avec celui des y, on aura pour ses composantes, V 1 ’ ; ‘ ‘
AC — P cos a, BC — P cos 8.
On trouverait de même que les forces P', P", P"', etc., ont pour composantes dans le sens des x,
f,t P' cas et\ P cos a!\, P" cos etc,, •
et dans le sens desy^, -• • 1 ■ - -, • > n
P' cos 8', P" cos C'f, V" cos etc.
Si l’on ajoute toutes les composantes dirigées suivant l’axe
(*) Pour le démontrer, il su (Ht de. remarquer qu’on a les proportions
* AB : AC :: 1 : cos Aj AB; BC*” 1 .; sin A ;
d’où l’on tire
AC = AB cos A, BC == AB sin A.
FORCKS DANS UN PI. AN , , AH'I IOIi FUS A UN POINT. l5
des x, et qu’on fasse la niâme chose A l’égard des composantes dirigées suivant l’axe des y, en représentant ces sortîmes par X et par Y% nous aurons
P cos * -f'P' cos a' -f- P" cos ce" 4- etc. =r X ,
P cos C + P' cos®' + P" cosS" +tftc. = Y;
et alors toutes les forces seront réduites à deux, l’une X qui agira suivant l’axe des x, et l’autre Y qui agira suivant l’axe des y. Nommant R la résultante de ces deux forces , elle notis sera donnée par l’équation
35. Dans ce qui précède, nous avons attribué le signe positif,^ tous les cosinus , parce que nous les avons considérés en général; mais, dans la pratique,^ il faudra avoir égard aux signes qui doivent les affecter. C’est ce qui va s’éclaircir par les Considérations suivantes. Soit donc un point M (fig. 20), que sollicite une force représentée en intensité par la droite MP. En décomposant cette force en deux autres dirigées suivant les axes rectangulaires Mx , Mjr, si l’on donne l’anglè a que cette force fait avec l’axe Mx, ses composantes^seront évidemment
. MC = MP sin « , MD= MP cos «.
En admettant que les forces dirigées suivant Mx soient positives lorsqu’elles agissent de M en x, la composante MD sera positive. Si la force MP prend ensuite la position MP', l’angle a , mesuré par l’arc AP, augmentera , et le cosinus diminuera ; de sorte que si la force MP tombe dans l’angle droit rMB, et. devient MP", son cosinus changera de signe; et l’on voit^ qu’en effet la composante de MP", représentée par MD", est . alors négative , et tend à entraîner le point M dans un. sens, opposé à celui où elle le sollicitait quand la force, avait la. position MP, et qoe la composante était MD. Voilà donc deux forces, MD et MD", qui sont de signes con-
Fig. an.
l6 STATIQUE.
traires; et l’on voit que pour déterminer ces signes, il suffit d’attribuer cos * la valeur qui lui convient , eu égard à l’angle auquel il correspond. De cette manié», nous pourrons admettre que toutes les forces MP, MP',^C. , qui sollicitent un point M , soient positives , pourvu qu’on choisisse convenablement le signe qui appartient au cosinus.
36. Si la force que nous considérons tombait, comme MP"', au-dessous de AB , il faudrait donc , en mesurant l’angle * par un arc ALBP", considérer un angle plus grand que Ja demi-circonférence. Pour éviter cet inconvénient , nous conviendrons de mesurer les angles « et Z indistinctement de chaque côté de leurs axes respectifs. Ainsi , lorsque notre force tombera au-dessous de AB, l’angle a sera mesuré, non par l’arc ALBP", mais par l’arc AP'", qui a le même cosinus. De eette manière, nous n 'emploierons plus que defc arcs qui n’excéderont pas aoo°. Il est vrai que quand on donnera l’angle a, comme il pourra être porté de A en P, ou de A en P", il semble qu’on ne pourra plus distinguer entre elles les directions des forces MP et MP"'; mais tout doute cessera à cet égard si l’op fait attention que l’angle C déterminera ce choix , puisque cet angle est aigu pour la force MP, et obtus pour la force MP'".
37. En général , de quelque manière que sqit située notre force, comme elle doit tomber dans l’un des quatre angles droits formés autour du point M , elle ne peut prendre à l’égard de ces angles que l’une des quatre positions indiquées dans les fig. ai, aa, a 3 et i\.
Dans la ire, « et f aigus . .. . donnent cos et et cos C positifs,
Dans la am®, « obtus et f aigu donnent cos x négatif et cos C positif, Dans la 3mc, « et C obtus. , . . . donnent cos et et cos C négatifs,
Dans la 4me> <* aigu et C obtus donnent cos x positif et cos et négatif.
On voit que tous ces angles sont mesurés chacun par un arc qui ne surpasse pas aoô°(divis. centésimale).
