MAXIMUM ET MINIMUM UE LA SOMME 1>ES FORCES VIVES

le temps parmi les variables; supposons donc qu'en paroi! cas ou put déterminer l’intégrale de l'équation .

dZrrni = (Xdr ■+• Ydr 4- Z*)... (384);

comme le second membre ne renferme de différentielle que dx , dy, de ; dx', dy, dz', etc., son intégrale sera une fonction des coordonnées x, y, a; y, y, a', etc. Soit ^ cette fonction, nous anrons

Smc» = C 4- if (x, y, a ; x', y a', etc.)... (385).

La valeur de 2me> est susceptible de devenir un maximum ou un minimum lorsque la différentielle de if (x,y, a; x', y', a', etc.) est égale à zéro; or, cette différentielle n’étant autre chose que le second membre de l’équation (384), dont l’intégration donne l'équation (385), on voit que, dans le cas du maximum ou du minimum , on a

a2m (Xdx ■+■ Y dy H- Zds) = o.

5 iti. Cherchons maintenant dans quelle circonstance l'égalité à zéro, prescrite par cette équation, peut avoir lieu. Pour cet effet, il faut se rappeler que lorsque le système , dans son mouvement , arrive à l'une de ses positions d'équilibre, et qu’on le dérange infiniment peu, sans lui communiquer de nouvelles vitesses, l’équation des vitesses virtuelles doit se réaliser. Or, X, Y, Z représentant les composantes des forces accélératrices parallèles aux axes coordonnés, les forces motrices deviennent dans ce cas mX, mY, rnZ; et puisque Jx, iy, tç, art. 5i5, sont Fig.ai5. les projections des vitesses virtuelles des points d’application de ces forces sur leurs directions , on a par le principe des vitesses virtuelles

2m (X<fx -f- Y ’ty -h Z Je) = o ; et comme nous avons vu qu’on avait le droit de supposer ici tx — dx, ty = dy, te — de, notre équation deviendra

2m (Xdx -f- Y dy + Z dz) — o, ,

et sera satisfaite lorsque le système passera par une position qui soit telle, qu’elle resterait en équilibre s’il n’avait d'autre vitesse que celle qui provient des forces accélératrices X, Y , Z.

5a;. Pour appliquer l'équation (384) au cas où l’on n'aurait d’autres fqrces accélératrices que celle de la pesanteur, plaçons l'axe des z dans un sens vertical, nous aurons

et, en nommant M la niasse du corps et 2, l’ordonnée du centre de gravité, l’équation (384) étant intégrée, nous donnera

2me* = 3 f7.m (Xdx -f- Y <fr -1- Z dz).

Mais on a vu, art. 5a 1, que cette intégrale était aussi exprimée par 2me* = C + i2mf(Xdx + Y dy -f- Z dz). . . (887);

remplaçant X, Y, Z, par les valeurs que les équations (386) donnent pour l’hypothèse actuelle, l’équation précédente se réduira à

2me* = C — a 2m f gdz , t

et mettant dans le second membre, M à la place de 2m , on aura Sme» = C — uMgz,.

Le premier membre de cette équation représentant une quantité essentiellement positive , il faut qu'il en soit de même du second, et que par conséquent C soit positif. Cela posé, ce second membre étant d’autant plus grand que la partie négative îMi»s, est moindre, on voit que la plus grande et que la plus petite valeur de s, correspondent au minimum et au maximum de 2mt>» ; d’où il faut conclure que la somme des forces vives parvient à son maximum lorsque le centre de gravité est le plus bas , et à sou minimum lorsqu’il est le plus haut.

5a&. Lo système est dans une position d'équilibre stable, lorsqu’eu l’écartant fort pou de cotte position , il tend à y revenir en faisant de petites oscillations; il est dans un état d’équilibre instantané, lorsque après l’avoîr écarté de sa position d’équilibre, il tend à s’en éloigner de plus en plus.

Fig. ai5 et 316.

Fig.3t5.

Fig.3i6.

Fig. ai 5.

Fig.316.

539. Un cylindre elliptique A'B (fig. 3i5 et 316) qui, n’étant animé d’aucune vitesse, serait placé sur un plan horizontal MN, peut nous en fournir un exemple. On voit d’abord que scs positions d’équilibre doivent se rencontrer sur les droites AA', BB', CC', DD' qui renferment les sommets des axes de toutes les ellipses formées par les sections parallèles au plan ACBD ; car en menant un plan vertical par la ligne du contact DD' (fig. ai5), ou AA' (fig. 316), la somme des momens par rapport à ce plan doit, à cause de la symétrie de la figure, être égale à zéro; et comme le centre de gravité occupe le milieu, on voit qu’il est placé le plus bas (fig. 3i5), et le plus haut (fig. 316). Donc, art. 527, la somme des forces vives est dans le premier cas à son maximum , et dans lo second à son minimum. Il resterait à prouver que le maximum répond h l’équilibre stable, et le minimum ît l’équilibre instantané ; mais cela nous mènerait trop loin , et nous renvoyons cette démonstration à

MAXIMUM KT MINIMUM DF. Là SOMME DES FORCES VIVES. 345

Ta Mécanique de Lagrange. Nous nous bornerons à faire remarquer que lorsque le corps tend à se maintenir dans sa position comme dans la figure ai5, ou à se renverser sur le plan MN comme dans la figure 2 :6, cela nous indique, dans le premier cas, que l’équilibre est stable, et dans le second, que l’équilibre est instantané.

Fig. ai5.

Fig. ai6.

53o. En plaçant le cylindre de manière que les droites DEF, AA', CC',

BIV (fig. ai5) reposent successivement sur le plan horizontal, ce cy- Fig. ai 5. lindre passera donc par quatre positions qui seront alternativement dans un état d’équilibre stable, et dans un état d’équilibre instantané.

On ne doit pas être surpris de voir un corps alterner ainsi ses positions d’équilibre stable et d’équilibre instantané; car DD' étant par hypothèse à une de ses positions d’équilibre stable, si l’on donne une légère impulsion au corps, il tendra à revenir à la même place; mais si l’on écarte de plus en plus DD' de sa position primitive, sa tendance à y retourner s’aflaibl ira , et le mouvement du corps finira par tendre vers CC', qui est sa seconde position d’équilibre stable. Il y aura donc entre DD' et CC' une droite AA', suivant laquelle le mobile n’aura ni tendance vers DD', ni tendance vers CC' ; celte droite détermimra une position d’équilibre instantané. En effet, de AA' en DD' le mobile tend à revenir vers DD', et st s’écarter de AA'; il tend également à s’en écarter depuis AA' jusqu’en CC', puisque alors la disposition nouvelle du corps est de le ramoner vers CC'; donc le mobile tend de chaque côté de AA' i s’écarter de cotte droite, et par conséquent se trouve en AA' dans une position d'équilibre instautané.