FRINC1PF GENERAI. DE LA CONSERV. DES FORCES VIVES

tires. Nous avons déjà démontré, article 336, que, dans cette circonstance, le second membre de l’équation (38i) était intégrable; ce qui précède va nous fournir encore les moyens de prouver que cette équation (38i) est également intégrable lorsque différons corps soumis à une attraction mutuelle sont sollicités par des forces accélératrices proportionnelles à leurs masses et fonctions de leurs distances respectives.

523, Pour le démontrer, soient P et P' les forces attractives qui sollicitent les niasses m et m' concentrées à leurs centres de gravité m et m ( fig^ ai4), et qui agissent dans la direction de la droite mm', représentée 214par p. Les coordonnées des points m et m' étant x, y, z ; x', y", z , la droite mm' = /» fera avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus seront respectivement

par conséquent la C.rce P, qui est située dans la direction de p, aura pour composantes suivant les axes coordonnés

Z = ptf-T P

Or, la force P' agissant en sens contraire de P, fera avec les axes coordonnés des angles qui seront siipplcmens de ceux que P formait avec les mêmes axes, et qui auront par conséquent des cosinus de signes contraires. Il suit de là que les composantes do P' parallèles aux axes coordonnés , seront

Cela posé , l’expression 2m ( Xdx -f- Y<6 -(- Z dz) étant sortie de sa forme d’abréviation , revient à

mXdr -(- mYdf -f- mZdz -+■ m'XVx' -f- m'Y'djr' -f- m'Z'ds' -f. etc. ;

si nous y substituons les valeurs des forces que nous venons de déterminer, nous aurons, en'rassemblant les quantités qui se rapportent aux mêmes coordonnées ,

(mPdx — m'P'dr') + (mVfr — m'P'dy')

-h (mPdz - m'I'Wl + ctc.

Mais la for<& accélératrice P, qui agit sur m, et qui provient de Pattrac-

tion qui réside dans Iiv masse m', est proportionnelle à cette masse, d’après notre hypothèse^ et comme il en est de même de P' & l’égard de m, on doit avoir

d’où l’on tire

P 'm' =;Pm ;

substituant cotte valeur dans l’expression précédente , et réduisant , on obtiendra

Pm (dx-dS) -f. (dr—d/) + (383).

Mais la quantité renfermée entre les crochets est une différentielle exacte. En effet, si l’on différcntie par rapport à toutes les lettres, la formule

(x — *9’ + (r —yy + (* — »')* = p% ,

on trouvera

(r — 3/)(dx — dr") + (y — y) (dj — df) + (t — z‘ ) (dt — dl' ) — pdp-, d’où l’on tirera

fr— - — 1 ( dx — dx ') -b (dy — df) -b ~ (s — *') =

Cette valeur réduit la formule (383) à mVdp, et nous donne une différentielle complète , puisque , par hypothèse , P est fonction de p.

Cette démonstration pourrait s’appliquer à un plus grand nombre de "forces accélératrices.

5a4- Nous ne terminerons pas cette matière sans faire remarquer que, parmi les forces dont les intensités sont des fonctions de leurs distances aux points sur lesquels elles agissent, on doit comprendre les ressorts et particulièrement les héliçofdes. On appelle ainsi ceux que forme un fil de métal disposé en spirale , et composant une espèce de cylindre creux ; ces ressorts étant interposés entre les corps , se contractent ou s'allongent d’une quantité qui est une fonction de leurs longueurs, ce qui les fait rentrer dans la classe des forces qui rendent les équations (365 intégrables. C’est par cette cause que le principale la conservation des forces vives s’observe dans le choc des corps élastiques.

Du maximum et minimum de la somme des forces vives, et de la stabilité des corps.

5a5. Nous avons vu , art. 5ao, que l’équation générale des forces vives ne pouvait s’intégrer que lorsque le second membre ne comprenait pas