PRESSION DES FLUIDES
même pression. On peut donc, d’après cette expérience, établir la proposition suivante : La propriété qui caractérise les fluides est que , lorsqu’une puissance est appliquée à un fluide, elle y exerce une pression qui se transmet dans tous les sens.
534. Examinons maintenant comment cette propriété, qui est connue sous le nom de principe d’égalité de pression, peut être exprimée par une équation. Pour cela, considérons un fluide qui reposerait dans un vase AL (fig. 218) construit en Fig iiflforme de parallélépipède , et dont la base ABCD serait horizontale. Supposons qu’à la partie supérieure EH du fluide , on ait appliqué un piston qui presse cette base sur tous ses points ; nommons P un poids qui agirait sur ce piston perpendiculaire^ ment à la surface de sa base; cette base sera pressée comme si le poids P lui était immédiatement appliqué , et chacun de ses points supportera une pression proportionnelle à son étendue; de sorte que si nous appelons A Itfj^iTacc ABCD, et a une partie A bed de cette surface , et qi W p soit la pression que supporte a , on déterminera p par la proportion suivante :
Prenant a pour unité de surface , nous aurons
par conséquent , si a représente le rapport de la surface A b'c'd' à la surface A bed prise pour unité , la pression P' que supporte la surface A b’c'd’ sera donnée par l’équation
et comme toutes les parties de la masse fluide doivent être également pressées, il en résulte que si la surface « , au lieu de se trouver sur la base du vase , était située sur ses parois latérales , on aurait encore pu pour la pression qui agirait contre cette surface latérale.
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Fig. ai;
535. Dans le cas où la surface 0 est infiniment petite , elle peut être représentée par le rectangle élémentaire tlxdy ; d’où il suit que pdxtly est la pression exercée par le piston contre un élément du vase, en quelque part que cet élétnent soit
situé , et lors même que la surface de ce vase serait composée de surfaces courbes.
536. Dans ce qui précède, nous n’avons eu égard qu’à une pression P appliquée à la surface du fluide ; mais si le fluide était sollicité par différentes forces accélératrices il cesserait d’être également pressé dans tous les sens. Dans ce cas, il éprouverait deux sortes de pressions : 1 0 celle qui dérive de la pression P; 2" celle qui est produite par les forces accélératrices. Cette seconde pression est en général variable d’une molécule à l’autre ; ce qui revient à dire que chaque molécule peut être soumise à une force accélératrice quelconque.
537. Pour donner ^^■xemplc de cette seconde espèce de pression, supposons que le fluide contenu dans le vase ABCD (fig. 217) devienne pesant; alors on devra considérer chaque molécule comme animée par une force accélératrice due à l’action de la pesanteur.
Nous verrons par la suite , lorsque nous parlerons des fluides pesans, que le principe d’égalité de pression est bien modifié par cette circonstance. Il suit de ce qui précède, que, dans le ras où l’on considère des forces accélératrices, p doit être, en général , regardé comme variable ; ce qui n’empêche pas que p ne représente toujours la pression sur l’unité de surface de la molécule dm qui se rapporte aux coordonnées x , y, z, correspondantes à p.
Des équations générales de l'équilibre des jluides.
538. Considérons maintenant une molécule fluide qui , étant sollicitée par plusieurs forces accélératrices , serait mise en
ÉQUATIONS DK l'ÉQUILIBEE DKS FLUIDES.
équilibre dans une niasse fluide , et cherchons les équations de condition qui, dans ce cas, doivent avoir lieu.
Pour cet effet, supposons que le plan des x, y soit horizontal et situé au-dessus du fluide que nous concevrons comme partagé en petits parallélépipèdes élémentaires, par des plans parallèles aux trois plans coordonnés. Soient dm la masse de l’un de ces élémens, et x,y, z ses coordonnés; le volume de cet élément sera exprimé par dxdydz ; en le multipliant par la densité ç, supposée constante dans cet élément, nous aurons, art. 162 , ( dxdydz pour l’expression de la masse élémentaire du fluide ; ce qui nous donnera cette équation
dm ■==. { dxdydz . . . (389).
Cela posé , soient X , Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur l’élément dm et qui sont supposées constantes dans toute l’étendue de cet élément. En multipliant ces forces par la masse dm, nous aurons, art. 44^ > Xrfw , Y dm et Z dm pour les forces motrices qui doivent contre-balancer les pressions que le fluide exerce sur les six faces de l’élément. La surface sujiérieure dxdy (fig. 219) étant prolongée jusqu'à ce qu’elle Fi devienne égale à l’unité de surface représentée par BC , imaginons que la pression que supporte (Jxdy soit la même dans toute l'étendue de BC, et nommons p cette pression que supporte BC. Lorsque l’ordonnée BD = : se changera en DE ~z-\-dz, la pression p qui varie avec z deviendra
et exprimera la pression de l’unité de surface sur la base EF du parallélépipède.
Par conséquent, pour avoir les pressions sur la surface supérieure BG et sur la surface inférieure EF de l’élément , il
faudra multiplier ces surfaces BG et EF , égales chacune à
dp
dxdy, par les pressions p et p- f--- dz qui agissent l une sur
le plan de BG et l’autre sur le plan de EF , et l’on aura pour ces pressions que supportent BG et EF ,
et comme elle doit faire équilibre à la force motrice verticale , on aura
et en mettant pour dm sa valeur donnée par l'équation (38q), et en réduisant , on trouvera
Pareillement , en nommant q et r les pressions latérales exercées sur l’unité de surface , et qui agissent contre les faces dxdz et dydz , on obtiendra
Nous avons vu, art. 537, que la pression sur l’une des faces se composait , non-seulement de la pression qui se distribue également sur tout le fluide , mais encore de la pression exercée par l’action des forces accélératrices. Ainsi pour évaluer la pression qdxdz qui agit sur la face dxdz , on voit que cette pression se compose, i° d’une pression égale à la pression pdxdy qui se distribue également sur tout le fluide-, a" de la pression sur la face dxdz , due aux forces accélératrices. Or , les forces accélératrices étant respectivement Xdm , Y dm , Z dm, J 'expression due à l’action de ces forces accélératrices sera une
pdxdy et
la différence de ces pressions verticales sera donc
dp
- dzdxdy :
dz
dp
-j- dzdxdy -- Z dm ;
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ÉQUATIONS DK l.' ÉQUILIBRE DF.S FLUIDES.
fonction de leurs intensités que nous représenterons par F {Xdm, Ydm, Zdm ),
et nous aurons
qdxdz = pdxdy + F ( Xdm , Y dm , Zdm ) . . . (3go). La propriété de la fonction désignée par
F (Xdm, Ydm, Zdm)
étant que cette quantité s’évanouisse lorsque les forces accélératrices sont nulles , il faut que cette fonction puisse se ramener à ne contenir que des termes qui aient pour facteurs Xdm , Ydm, Zdm. En ordonnant ces termes, à partir de ceux qui renferment les moindres puissances de dm , nous pourrons supposer
F ( Xdm , Ydm , Zdm) = M Xdm NŸ<f//i + PZ dm -f- etc.
Substituant cette valeur dans l’équation ( 390 ), nous aurons
qdxdz — pdxdy -f- M Xdm NY dm -f- PZdm -f- etc. ,
et en mettant ^dxdydz à la place de dm ; cette équation deviendra
qdxdz = pdxdy çMXf Ixdydz -f- {NY dxdydz
-f- {PZ dxdydz + etc.
Divisant par dxdy , on a
q —p -f- {MX<fc -f- {NY dz -f- {PZ dz -(- etc. . . (3g 1).
Les termes {MXrfs, {NY dz, {PZ dz étant infiniment petits à l’égard de/>, il en résulte que l’équation (3gi) se réduit à
On démontrerait de même que r—p\ par conséquent les équations d’équilibre deviennent
dP dP .y dP — Y
rfz“{Z’ dy-( '» ,lx-(X‘-
en multipliant ces équations , la première par dz , la seconde par dy, et la troisième par tlx , et les ajoutant , on trouvera
dp =( Zdz -f- Ydy -f- Xdx) j . . . (3g3);
telle est l’équation qui , par son intégration , doit donner la valeur de la pression sur l’unité de surface dans un fluide quelconque.
Application des équations générales de l’équilibre des fluides au cas des fluides incompressibles.
53q. Considérons un fluide incompressible homogène qui repose dans un vase capable d’opposer à la pression une résistance indéfinie : la pression p exercée sur l’unité de surface, en un point qui a pdur coordonnées x — a, y=:b, z=zc , sera donnée par l’intégrale de l’equation ( 3g3 ) , dans laquelle on substituera ces valeurs. Or, la densité ç étant constante , la valeur de p dépendra de la possibilité de pouvoir intégrer la formule
