Si dans l’équation (3931 on remplace la quantité qui

est entre les parenthèses, par rl.V Çr , y,.z) , on aura

dp — e X d. l' i.c. r, i c^tie équation nous donne

#*V/ Vt JL- . \

• , d. F (jt, y, z) — - 4898),

Or, d..F(x, y,, z) étant , par hypothèse, une diflërçnàetls-

exacte. Il faut qu’il. en Soit de- même desa valeur \ - , et que

par conséquent ( ne contienne d’ahtre variablé -que p , condirion expriniièè p«r Véquatioiv ' ' •• • "

Si la pression p est constante, il ten est dotre de même de {-

Dans qe cas, l’équation (3:g£) se réduit à

parce 'qu’urte constante n’a pi^t de différentielle. L’intégratûm de cette -éqpatibn noua conduit, à, celje qûe pou* avons, trouvée, art. -54 a , et dont nous avons exprimé les propriétés.

des FttnDfcs i1coj»ph>$mhlf.s. 35 ■;

- 547. Mais si p est variable, alors en faisant varier p par degrés insensible», nous pourrons, durant un instant très court , regarder p connue constant. Dans cette hypothèse , l’équation (3g8) nous donnera pour intégrales un suite d’equations, représentées par •'

•• •••■'■ tîx.y, z) - «, • • V' * '

, . « * V1- fr */ t~. a .■> ...

Cu6 équations seront celles des surfaces’ de -niveau qui correspondent aux valeurs successives de p dans des instans égaux à dt. Pour chacune de oés surfaces , la densité ( sera constante ; par conséquent', en considérant la niasse fluide comprise entre les deytx surfaces extrêmes èlA! et BB' ( fig. 7*20), cétte masse de Pig.aao. fluide devra être homogène. La pression p prenant ensuitè un accroissement et devenant epnstante , lorsque l’on' passera de’ la surface BB' à la surface CÇ', lë fluide compris entre -ces deux surfaces devra être homogène dans toute cette étendue. Il en'’ sera de même pour une troisième- couche ^le fluide, comprise entre les deux surfaces CÇ et DD' qui correspondent à «ne même valeur de p , et ainsi de suite. De sorte que dans les fluides hétérogènes, il ne peut y avoir équilibre, à moins que ces fluides ne soient composés de couches dont ehacune ait te même densité dans toiites scs parties. . ..

Application des équations générales 'des Jluides où cas des Jluides élastique i. •

648. Cë qui caractérise un fluide élastique , est de pouvoir se comprimer pour repreiulre ensuite la même densité et le même ressort , lorsque la force qui occasione la compression cesse d’agir. ••

358 «YUBOSTATIQC*.

Ainsi, lorsqu'un fluide est élastique, outre la pression qu'il exerce en vertu des fondes auxquelles il est soumis, il en produit une autre qui dérivé de son élasticité. Un A reconnu que, pour la même température, cette pression vqu’on appelle la force élastique du fluide , était proportionnelle à sa densité. En supposant donc la température constante ( si l’on nomme n la pression exercée sur l’unité de densité ; lorsque la pression est an, la densité devient double; lorsque la pression est 3n, la densité devient triple, et. ainsi de suite. De sorte que si la densité est exprimée par j , la pression doit l’être par riç; eji appelant p cette pression , nous aurons

p.— ïie.-.'. (vfoo). . ,*v

La densité étant mesurée par la matière renfermée dans tin cube dont l’une des laces serait égale à l’unité de surface , p représentera , comme précédemment , la pression exercée sur limite de surface.

JBn combinant ! équation (4<Jo) avec l’cquation ■ V'

* • ’ ' - dp ±'i(XJx +TMr 4 IA},' ■' ■■■*■

v .y* | ' ** ft» 9 ’vi • •*.

on obtiendra ... . . '

. " dp X«ir,*4-.Y4jr>f*Z<iÉ* .. ... ’

• p ' ' ’ >, <*<. Ir • - '

intégrant, il viendra’ ■" - , - ? ’ ‘

55p. L equation (393) subsistant èonuqq, dans 4e cas des fluides incompressibles , nous en conclurons, de mètne 'que dans l’art. "348, que lorsque p est constant , ç doit l’être aussi; par conséquent l’équation (4oo) nous donnera, dans cette

hvpothcse, •• ■ ■* • ; -y ‘ ï.;;v .*:XCv

Ainsi, en considérant p et. la densité comme constats. pour

. DES rt.HFBHf, ti-Aip^UFi. d5ç)

«me partie déterminée <lu fluide , nous pourrons meure h en dehors du signe d’integratiod , et en représentant par log C la constante , nous aurons N

- tt ».

multipliant la fraction qui entre dans cette équation par log c qùi'éqmvant ù l’unité , et changeant le coefficient en exposant, on aura. • • . • ,

J [Xdx ■+■ yjdf -t- Z dz)

h»g> — h>g-* <• ’n ^ logC;

observant que. la somme, des logarithmes est égale au logarithme de Wdr produit, nous trouverons , en simplifiant la formule d’après cette considération , et en passant aux nombres,- ■ ' ». ’

' 1. jijitCe <• *' * s'- *

Si Tou substitue cette viileur dans l'équation (/[oo]^ on obtiendra

. ‘ ' H%dz + \dy + 7,dt) , r •

Ce A . . . -, , .

La température du fluide étant supposée constante , art, 5^8, cette équation donnera la valeur de la, densité d’une couche de niveau du fluide; car if faut. observer que ce que nous avons dit, art. 5^6 et des couches de niveau des fluides wneonipressibles hétérogènes , peut se rapporter aussi bien au* fluides élastiques , puisque cette théorie des couches de niveau, est déduite de PéqaattQii générale des fluides, modifiée d’après l’hypothèse de p consjant , dans ime certaine étendue de la masse -fluide. •

55 1. Ohsefvonr fpt’oa ne pourrait déduire également l’é-

30» . iry.bB08TAT.iQf!*

quation V a, •.* ;/*-

, . . ’ •/ (X</jc -4- Y dy -p. 7Az) 3c o •

de l'hypothèse de p hul ; car lorsqu’on a p z=j o, Inéquation (\oo) nous montre que, dans te cas, la densité du fluide élastique doit être aussi nulle, hypothèse qui détruirait l’existence du fluide. ,

Ainsi-, dans qu fluide élastique, la pression ne peut être nulle à la surface, comme dans les fluides incompressibles.

De la pression des fluides pesàtis.

552. Proposons-nous d’examiner maintenant le cas où ‘la force accélératrice qui agit sur tin fluide, est la pesanteur. Pour cet effet , considérons un vase ouvert à sa partie supérieure j «S qni repose sur un plan horizontal : ce, vase étant rempli d’ean jusqu’à une certaine hauteu» , fa surface du fluide sera horizontale , ainsi que nous l’avons démontré. Prenônsda pour plan des x} y) et comme la pesanteur -est ici la seule force aécèléraWice, nous aurons ’•

i X~0,« ■Y.==dft- 2 = g,

et l’equatio/) (393) deviendra ’ ; . ,

. dp.= (gdz.

\ fî , - • '**,-* r * •., •• f •

Regardant la densité comme cohstante , aipsi que la gravite , on tirera dé cette équation , en l’integrânt ,

ï t ^ ■ J = {fJ+C... ' ■*

Lorsque t = o, la pression devant être nulle à la siiiface du ■fluide incompressible, on aura C = oî ce qui rétlutrà l’équa tion (46 z) à • • •" * ■