La pression P ne dépendant , pour leenéme fluide , que
de 1a base b et de la hauteur h du fluide , il en résulte que des ,
vases (6g. 221) remplis du même fluide, mais de bases et de pig M1> hauteurs égales , supportent la même pression sur leurs bases , qùbique les aires latérales de ces vases soient de formes différentes. - ■
556. A l’egard dé: la pression que le vase éprôuve sur -ses faces latérales , nommons dtt l’élément nbfc de cette surface
(. fcg. 222 ) , et 1 1a distance au 'niveau de l’eau , la pression p Fj(i aM que supporte l’unité de surîare de' l’élément U#, sera donnée
jfjî * HVDBOSTATKiVt;
par l'équation (4°3/i mettant cflte valeur dans la formule (4H^)> et observant que b doit être remplacé par la surface élémentaire a b/e, nous aurons g^zdm pour une des fprces élémentaires parallèles qni coin [Misent P, donc ■ C
P s? fggzdu.
Cette.expression contenant deux variables z et « , d ne s'alit a plus que de les réduire à une seule, {tour que ' I intégration puisse s’effectuer. C’est à quoi l’on parviendra lorsque la surface ' u sera dbnnéé. Cherchons , par exerrqde , la pression Fig.îaa. exercise sur le rectangle A BBC (,fig. î?.a) incliné à. l’horizon. Il est certain que si le vase [‘tait plein, la droite horizontale CD serait au niveau de l’eau; mais, pour plus de généralité , qpus. supposerons que-' CD soit au-dessous dii niveau de l’eau. Nommons b la hase AB du rectangle ABDC , et l sa longueur PD ; si l’on partage le rectangle en .une infinité de tranches horizontales, la pression sera la même stir tops les points de l’une de ces trapches ( équation 4.o3). Représentons par.e la distance D/" d’une tranche quelconque af à la hase supérieure CD , dv sera la hauteur’ ne de cette tranche;
par conséquent l’éiénlent de la snrface ABDÇ sera ’
. •*<' ••• - td ■■ •* S
, . = bdv ; ' : »
substituant cette" valeur à la place de dm dans l'cxpressuth fggidm, <>ji àur% ; -• •. ' ‘ '•■i.'-
t fggvlm = fggzbilr ; ••• f
èe sera la pression exercée sur Faire Alt CD. On prendra l’intégrale depuis v == o jusqu’à i' tas /, .lorsqu'on l’aura réduite a ne Contenir qu’une seule variable. Pour v pârvé'nîf ,•■ soient
<p J’ angle que fait le plan ABDC avec la verticale sNL et a la distance DJN dé la bitse supérieure Cl) au niveau (le lVau,
ni ms ; aurons • •■A - ■ »*' *•
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^ * .2 r=V cos^ '+ //; •
par conséquent la lôVmnle à intégrer sera , ■
P = /<£ (v cos ? + rt) brh ;
effectuant l’integ ration, indiquée , on trouvera • P 'js. (j** cos p -f- 01») -+- Ç î prenant l’intégraJa entre les limites <• — o et e rr /, ou aura
55ej. Cherchons maintenant le point où cette pression doit être appliquée : on voit d’abord que ce point d’application doit être situé sur lay«|r®ite EH qui partie les côté» Ail et CD en «leux parties égales. Il nous reste donc à déterminer sur la droite EH, le pointG ôù cette pression toit être appliquée.
Pour cet effet , nous regarderons les pressions exercées sur tous les points de la surface ABDC comme des forces parallèle». Eli prenant les momens des élêmens «le cette surface , par rapport à la droite horizontale ED, la pression que supporte pelé-* ment a b fi: étant çgz&dv , son-moment sera çgzbdv X *’ sip p ; et en dominant <>/ la distance EG de CD aù„ centtp de pression , nous aurons par la théorie «lés momens , .fi ‘. . a, *. ,
Pi^sin ip = sin pf çgzbiffiu fi, -ou * -P*»( s= ) çglh»<fo ;
mettant dans cette intégrale la valeur de s , on trouvera
• Pv;= (glf(eo&pv*di> (iv, Jv); . *•. ’É '
dbnc - * - ,*• ’ '
et en intégrant entre les limités «» = o et «>•=• 1, jm anra '
Mettant pmnr P sa valeur et «Mvisant par / fartentcehimnn, oh
trouvera
* BYKHOSTATIQl'r, j-
eos p . g -|
cos <f f - • -f- b '
Ayant trouve par un procédé analogue, les pressions exercées sur les autres faces latérales, et sur' Celle de la hase, et leurs centres d’application , on. prendra la résultante de toutes ces forces pouf avoir la pression totale.
559. Considérons maintenant un corps plongé dans un fluide pesant homogène: la pression que ce fluide exerce rentre une portion quelconque de la Surface de Ce corps, se déterminera de la même manière que celle qui agit contre les parois du Vase; niais lorsqu'on voudra trouver la -pression totale, on fera usage des propositions suivantes que nous allons démontrer :
ia, Les diverses pressions qui' agissent sur /ç corps ont une 'résultante unique qui agit verticalement, et tend a te presser dans un sens opposé à celui de la pesanteur ; , •
■2a. Les pressions horizontales Se détruisent',
3°. L’intensité de la résultante de toutes les pressions est égale au poids du volume du fluide déplacé ;
4°. Cette résultante de toutes les pressions passe par le centre de gravité du volume dit fluide déplacé', et comme cité agit verticalement, sa direction est déterminée. i'ig.aaî. -Pour démontrer ces propositions , considérons (fig. 25.3) un fluide pesant renfermé dans le vase ADE , où il est en équilibré; et imaginons que tout-à-coup une partie KL’ de ce fluide J >asse de l’état fluide à' l’étal solide , l’ équilibre ne sera pas troublé. Or œ solide est entraîné de haut eu blrs par une force verticale égale à son poids, et appliquée à son centre de grjtvhé; cette force, ne peut être détruite que par la résultante de toutes les pressions' normales que le fluide exerce contre le
PRESSION DES H R IDES PESANS. 3f)5
solide ; d’où il suit que la résultante de toutes les pressions normales est verticale et doit être une force unique , puisqu’elle fait équilibre ù une force unique ) et comme la résultante de toutes les pressions est verticale , il faut que les forces horizontales (note treizième) sé détruisent mutuellement.
If ne |>ent donc y avoir équilibre entre un corps et le fluide dans lequel il est plongé , que lorsque les centres de gravité du corps et du fluide déplacé sont sur la même verticale, condition remplie lorsque le. corps est entièrement plongé dans le fluide, parce que les Volumes dq corps et du fluide déplacé sont les mêmes : mais si le corps n’est plongé quren partie , son centre de gravi»! n’est plus le même que celui du fluide déplacé; alors il faut que ces centres de gravité soient sur la même verticalé.
559. Nommons 1- le volume du fluide déplacé, et / celui du corps qui y est .plongé; ( la densité du fluide, et celle du corps : les' expressions tër et fa' exprimeront les poids du volume du fluide déplacé et du corps; par conséquent, dans notre hypothèse où le corps est entièrement plongé dans le fluide, nous aurons . . , .
et comme » v' , il faudra que Les densités ( et { soient égales ;
moissi le poids djkcorps est plus léger que celui du fluide déplacé v nous aurons
le corps remontera , ét la force qùi le fera mouvoir sera égale
à tfV — (ff/. > . • . *’■ • *
Si au contraire on a • ' ‘ 1 s '• .
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le corps descendra , et la force qui- le pressera équivaudra à
I*ar conséquent Jè corps descendra conune s’il était
Fie-
