HYD»C»STAJI©tIF
<l’un poids *tj** **.V diPfer6»ce-du poids du corps
sur cdnj du flpide. ',\
Des corps flnttans; théorie élu métâcêritrc'; des affiliations des ' . horps flottons , et de leur stabilité.
5Go. Les propositions que nous avons démontrées art. 5.1g et 5do établissent ces deux principes, qui serrent de fondement à toute la théorie
des corps flôttans : ' ) '
1°. Lorsqu'un corps est plongé dans l'eau. Une peut rester pu équilibre
à moins Ifue son centre de gravité et celui du fluide déplacé ne soient sur uné mt^ne verticale ; , *• 1 '.v ^ * *
aP. La masse d'eau qài remplit la partie submergée est de sAdrne' poids que celui du corps eh fier J. „ : . ; .. . .
(ÿest par cô second principe qu’on évalué lé poids d’on navire. Pour cela, on mesure la capacité de la partie submergée, et l’on compte autant de kilogrammes' qu'elle Contient de décimètres cubes , on ant*at de fois
90 livres qu’elle contient de pieds eubes,. ; * ; • 4
56i Quoique le mot carène ne s’applique guère qu’à un Vaisseau , nous lu) donnerons un sens beaucoup plus gênerai en désignant ainsi la partie du corps flottant qui est plongée' dans un fluide , et qu’on nomme quelquefois le creux. La carèpe est -terminée par le plan de flottaison , qui la sépare du. reste du corps : le plan de flottaison n’est donc autre chose que la section du corps flottant par-ie plan du niveau de Peau.
- 56a. Nous avons Vu, art. .-Spft, qti’en nommant e le volume du fluide déplacé, f sa densité;, et g la pesanteur, le pojds*p d’un corps AjÇBD (fig. aa<J) qui. surnage sut- un fluide, était contrebalancé. par force verticale égale à fgv,el que, pour que cos deux forces se missent en équilibre, il fallait qu’une partie ABT) de ce corps restât dan* l’eau ; c’est donc cette partie ABU qui est la oarène. , t
563: . Sile corps flottant est bombgène, et qu’il en soit de même dsi fluide, le centre dé gravité de la carène coïncidera avec celui do la partie déplacée du fluide; car en supposant que la densité du fluide soit la partie dé celle du' corps , ehaque molécule déplacée' vaudra la h'»"'partie de celle qui -ht remplacera , et la résultante des deux molécules égale» m et ns' du. fluide n’en passera pas motus par le millet» de U ligne qui k-s. sépare , lorsqu’au lieu d’être mot né, elfes deviendront mx n et ra'x»i et nomme en général toutes les distancés respectives des points m, m', m*, et».' seront lés mêmes dans teàifenx hypothèses . tt s’ensuit
des oorps fwjttass, etc. 36 7
que le pui u( d'applicotiundc la résultante Je toutes ce» molécule* , c’est-ji-diro (pie lesoentres de gravi U; coïncideront. ' v 1
564- A l'égard du corps entier, s’il est .homogène , son centrodc gravité G {fig. »a4') sera situé au-dessus dp centre dç gravité Ode la cur^ne. En effet , soit g 14 centre de-gravité de la partie qui sort de l'çau , le centre de grrvité G du corps entier se trouvera sur la ligne gO qui unit les centres de gtavilé g et O; donc il sera situé. dans l'intervalle de g à O, et par conséquent fce trouvera au-dessus de O.
565. Mais si le corps flottant est hétérogène, il peut bien arriver que
le centre de gravité G du corps flottant soit au-dessous de celui de la cariae. Pour le concevoir, il faut remarquer que ai t’équilibre «e main* tient, ou a, art. 56t,, - ’ ,
- - • Poids d'une' nuuse d'eau de Y. », ... - - «’
Vçids du corps flottant.
même vol,, que la carène J ' ' • '
Or cette équation ne nécessite pas que le jx>fd& du cqrps soit noiformement distribué dam toute l’éten'duc du volume; donc, en supposant le corps hétérbgèuo , il est possible que la majeure partie du poids soit concentrée dans une partie.très peu étendue, et qui fasse que 1 e centre de gravité G' de tout-* le, corps flottant se trouve au-de&sou» du centre de gravité Q dé la carène^'
566. Il résulte de ce qui précède, que le centre de gravité du corps
l'eut se troaver matât au-dessus, tentât au-dessous de celai de la carère. .* 1 ' . ' *
56c. Lorsque I» carène est plus légère que le volume d’eau qu’elle dépkoe, elle ne se maintient doùc en équilibre ljub parce que le poids du reste dp corps fait compenaatièn à la différence du poids du voHfme de Peau déplacée, et de celui de la carène. Si l’on augmente ensuite la charge que supporte le corps flottant,» il s’enfoncera encore plus, art. 560; jusqu’à ce que l’eau déplacée ait rétabli l'équilibre , et qae
la masse d’eau que remplace la carène soit. égale au poids. du corps flottant.-. — s *'-’**: •*.
Pjoramous M ce poids ; noua le considérerons comme mie farce appliquée au centre de gravité O de la carène, et agissant dans une direction verticale. Supposons maintenant que le corps flottant plongé eh partie dans un fluide soit un peu incliné., et’ que Ta ligue de nivenft AB (fig. aa 5), qui indique le profll de b coupe à fleur d’eau du corps flottant, se trouve remplacée par al ;.la fbrcc M appliquée en, O, perpendiculairement ù al/, représentera la poussée du lipide, et agira dé bps eu haut, comme nous l'avons vu art. 55g. Par conséquent , cette fearn étant multipliée par 4a perpendiculaire GL menée du centré' de ftravMé
Fig aa4
Fig.aa5
Di
sur sa direction, donnera M x GE. pour sou moment, pur rapport aji point' G.; remplaçant UL par GOsinLOG, ce moment devinndri
' ] ■ M.GOsinLOG.
Or l’angle LOG formé par deux perpendiculaires aux droites AB et «fi. étant le même qde, l’angle BC4 formé par ce* droites , ai noüq désignons cet qngle par 8, et si nous appelons A la distance OG du centré d<‘ gravité de la carène ù celui du corps flottant, notre moment deviendra
M. A ain fl
Ce moment calculé en regardant 1a poussée de l’eau comme une force positivé) agirait en sens contraire si le point O tombait au-dessous de O.
Si l’on augmente le facteur s in fl, il est évident que le moment augmentera aussi', et qu’il fen sera de même de l’angle fi d'inclinaison ; mais plus cet angle d'inolinaison est grand, plus le corps flottant tendra fi être submergé. Si, au contraire, l’angle 6 reste. le même, s’est du faotcur MA que dépend l’intensité du moment M.Asinfi. Lu 1er donne le nom dfi stabilité à ce facteur, parce qu’il peut sçpvir fi. évaluer le degré de stabilité d’un corps flottant , comme nous allons le voix,
568. En effet, soit F une fdrec dont le, moment pris par rapport au point G serait capable de détruire l'effet de M . A sin 0, le moment de cette force se trouvera en abaissant la perpendiculaire GK sur sa direction KB ; et en nommant A cette perpendiculaire, le produit AF sera donc le moment cherché. Or, ce mpment étant égal fi' relui que nous avons précédemment déterminé, puisque par hypothèse toutes les forces sont réduites fi M et n Fj nous auroos . \ ■ *
’*• • . AF tb M.A sin 6^’ •’* , ^
d’oùd’on tirera ' V ' - i , ‘ •'ÎV i
069. Pour uppliquer cette formule fi un navire , supposons qut l’oit veuille que Bangled’incUnaisen nC'surpasse pat ib° (divis. sexag. ), oit prendra AF pour unité, et remplaçant sin 6 par le sinus de; 10* qui est d’enriapn T$i»\ fraction fi laquelle nous substituerons h* qui en diffère fort peu ,. et nous aurons
, • ’ y .'l- 1* , < ' : iV j •>. : *• ’ ’ v • • - »
Si fon prend un Aolnld-e de degrés moindre que, 10, le sinus diminuant, S en sera de*jaê.n>è de ht, frç«tk>n,qu* eh est la, valeur - {MT exemple, s*
DES CURES H.OTTANS, OlC. 36ç)
l'angle est Je y0, la fraction sera ,
rMv} ~ i
* Kiooo 6-4“ une fraction
11 suit de là què, pour un angle d’inclinaison au-dessous de io° (on ne compte pas les minutes]1, la stabilité M. A doit surpasser six Ms le plus grand effort que supporte le navire.
Examinons maintenant de quelle manière le poids de Peau se met en équilibre avec la poussée du fluide.
370. Pour cela , supposons qu’un norps dont une partie surnage sur un fluide sorte de son état d'équilibre par une légère impulsipn; la carène (fig. aa6) , qui était ^UB, deviendra «DA, et le centre de gravité G ,J?g n’aura pas changé , car c’est en ce point que se réunissent l’action de la poussée de l’eau et du poids du corps : ces forces, si elles ne se détruisent pas, ne pourront qu’établir un mouvement circulaire autour du point G. A l'égard dti centre de gravité O, on voit qu’il se rapprochera de la partie BA du oorps ; car, puisqu’il était en O lorsque la carèue était ADB, il faudra, lorsque cette carène sera diminuée de «CA et augmentée de KR, qne son centre de gravité o se trouvé plus près do la partie qui a été ajoutée à la carène. Menons par le point o et le point G les perpendiculaires o> et G< sur le nouveau plan de nivoau ab. Comme ces deux forces appartiennent à un même système, elles doivent, dans le cas de l'équilibre, .être égales et directement opposées. Cette dernière condition est remplie lorsque les points A et i coïncident; mais lorsque ces points ne se confondent pas, il pourra arriver deux cas, selon (juo le point A tombera entre C et i , ou que i tombera entre C et A. Pans le premier cas , le poids du corps qui agit do G vers A, et la poussée de l’eau qui agit de o ch i , étant considérés comme deux forces égales appliquées aux points A et i de là droite CA , on voit que la première tendra à rapprocher CA de CB , et la seconde à écarter ces lignes l’une de l’autre , mais que cette dernière force l’emportera, parce qu’elle agit sur un plus grand bras de levier. Donc , dans ce cas, le corps tendra à s’élever du cêté de B, et par conséquent à reprendre sa position primitive, et sera dans un état d’équilibre stable. . . *
Au contraire, si ie point i tombe entre Ç et A, CA étant plus grand que Ci , le poicjs du corps l’emportera sur la poussée de l’eau , et alors la partie qui était plongée dans l'eau tendra à s’y enfoncer davantage , ce qui constituera un état d’équilibre instantané.
5; 1 . Si l'on compare maintenant la poussée du fluide à ce qu’elle était dans sa position primitive, 011 verra que les lignes OG et oi sont perpendiculaires à AB et. à «A; elles forment donc entre elles un angle égal à ACB. Par conséquent ces lignes se rencontrent nécessairement eu un Ê Irm . de Mécanique. p/
3 ■J O HTÜltOSTATÏQÜE.
certain point ni, qu’on appelle le même entre. Il suit de l’art. 570 que, Fig 227- lorsque G est au-dessous' de m (fig. 227), l’extrémité k de la perpendiculaire G k abaissée sur ai , tombant entre C et 1 , l’équilibre dans cè cas est stable; mais il est instantané quand G se trouve au-dessus dont; car alors la distance de C on k surpasse celle de C en l.
572. Cherchons maintenant à déterminer le mctaccntrc. Nous avons vu que ce point se trouvait sur la verticale menée par les centres de gravité du corps et de la carène. La question se réduit donc à trouver la dista'fice du métaeentreàl’un des points G et O qui sont censés connus de position. Pour cela, remarquons d’abord que, lorsque le plan dont AB indique Fig. 2j8. le profil (fig. 228) prend la position ai très peu inclinée ? la partie ACa de la carène sort de Veau, tandis que la partie ACB se trouve submergée. Les carènes qui appartiennent A ces deux positions pnt donc une partie ' commune dans le corps intermédiaire aCBD; par conséquent on a (*)
ancienne carène = corps intermédiaire aCBL) ri- ACa, nouvelle caréné — corps intermédiaire aCBD -f- ACB.
Or, si nous nommons y, g et g' les centres de gravité du corps intermédiaire, du corps enlevé aCA et du corps ACB ajouté h la carène, et que nous appliquions à ces centres de gravité des forces proportionnelles aux poids de ces solides, le centre de gravité O de l’ancienne carène divisera la ligne gy en raison inverse des forces appliquées A ces points ; il en sera de même delà ligne g'}. A l’égard du point o; de sorte que nous aurons
vol. du corps intermédiaire aCBD ; vol. uCA ” O g ; 0> ... (.407) , vol. du corps intermédiaire aCBD J vol. ACB 1 T og" * oy . . . (408);
mais les seconds termes de ces proportions sont identiques; car si le corps flottant est en équilibre dans sa nouvelle position, il faudra, puis-
Fig 229 (*) H e8t ^ observer que lorsquoCB vient en CA (fig. 229), 1a ligne BR ,
menée des extrémités B et R de l’ancienne carène , vient en Ar; il reste donc<}ans le secteur BCA, l’espace vide bbq\ mais nous n’en tenons pas compte , parce que cet espace est très petit. En effet , les triangles qbs, Cbq étant semblables A cause des angles opposés au sommet , et des angles égaux CBR , CA r, donnent qsb = C = 6 ; donc le côté qb opposé A l’angle qsb est très petit; et comme AB l’est aussi, il en est de même du 3e côté bq du triangle bqb, et par suite de sa hauteur et de son aire. Si 6 est un infiniment petit, cette aire en devient donc un du 2* ordre, qui , A l’égard du secteur CBA, est nul , et l’estégalement lorsqu'on substitue A la corde Ar l’arc de courbe Ar, puisque l’espace vide est encore Fig. 228. plus petit. Une remarque analogue s’applique au secteur AC a (fig. aaS).
DES COKE» ELOTTAIIS, t‘tC. 37 I
qu’il n’a pas change Je poids, qu’il déplace la même quantité il Vau : donc Fig.aaB. les deux carènes seront égales en volume} et, à cause de la partie côm- » r mime «CBD, il en sera de meme des solides «CA ci èCB, qui, eussent-ils des formes différentes, seraient encore égaux. Par conséquent on déduira des proportions (407) et (408) .
: •w' vî °> : °>i ,
co qui nous montre que les droites gy et g'y sont coupées proportionnellement per la droite Oo, qui, par conséquent, est parallèle à gg'.
Or le nouveau plan de flottaison ayant une inclinaison très petite, on peut regarder l’épaisse^f des volumes J>CB, ACo comme nulle, et par conséquent admettre que la droite gg' se trouve dans le premier plan de flottaison ; et puisque Oo est parallèle à g»', il s’ensuit que cette droilo sera aussi parallèle au plan de flottaison.
5^3. Pour déterminer Oo, on tirera de la proportion (407) vol. intermédiaire «CB® -f- i*o/. «CA ; vol. «CA ! Og -f- ()y «a
vol. de l’ancienne carène * vol. «CA ’.l gy ’. Oy j mais les triangles semblables gtfy et Ooy, nous donnent py : oy :: gg' : Oo. ■
tën comparant cette proportion à la précédente , on en déduit
la carène : vol. «CA ” gg' J Oo . . . (409);
donc
vol. «CA x gg'
Oo =
vol. carène
5^4- Connaissant Oo, il est facile d’obtenir On» (fig. alo); car les p-jg ,3^ droites Omet om étant perpendiculaires h CA et à C« , si , parce que les angles C et m sont très petits, nous regardons les triangles AoC et O <>m comme isoscèlcs, ces triangles seront semblables, et donneront
arc A « : Oo " C« : mO:
d’où l’on tirera
niO =
Oo v C4 arc A a
^rr.-
r»75. Déterminons maintenant les valeurs analytiques de OoetdemO.
Pour cot effet , remarquons que la surface supérieure AB («g. aîi) de la Fig.a3f. carène primitive qui était au niveau de l’eau , a été remplacée par la surface supérieure de la nouvelle carène, de telle manière, que l’extrémité A s’élèvèliurs de l’eau, tandis que l’autre extrémité B y est plongée: ces dent plansxle niveau, coupés par un plan vertical, donnent la section AC«de la
• 3^3 HYlMtOSTATlQUE.
Fig.2j8. figure u-j8; et si nous continuons à mener des plans parallèles verticaux , Fig.a3i. noua partagerons le solide compris entre les plans K. AL ot KaL(fig. a3i) en une infinité de tranches parallèles au plan ACa.
Or il est évident que lorsque le plan KAL , qui était il la surface do l’eau , s’est élevé hors de cette surface, et a tourné autour de KL comme autour d’une charnière , chaque droite, tellé que CA, a décrit un petit Fig.u3t. arc de cercle; de sorte que les sections des plans ALB, nLh (fig. j3i), ' par nos plans parallèles, seront les secteurs ACa, A'C'a', A"C"a", etc. Fig. 23 a. (fig. a3a). Or, si nous prenons la commune section KL'pour axe desx, et que nous placions l’axe des y perpendieukirement à celui desx dans le plan KAL, les ordonnées y seront les ^rpendiculaires AC, AC', AC", etc. Cela pesé , l’angle infiniment petit formé par les plans KAL, KaL étant partout le même , nommons « l’arc qui le mesure et qui est décrit avec le rayon i , nous trouverons l’arc de secteur par la proportion
d’où l’on tirera
ou y ; arc ^a;
arc ka — ny . . . (4ia)-
En multipliant cet arc par la moitié du rayon y, nous aurons i«tr* pour l’aire de ce secteur. Ce secteur à son tour' étant multiplié' par la petite épaisseur CC' = dx, comprise entre deux secteurs consécutifs, nous aurons le petit solide
Aaa'A' ss j tty'dx
Fig. aa6. pour l’élément du solide que nous cherchons, et nmis trouverons (fig. -jî6) vol. AC a = t ttfy'dx . . .
* ‘ * r •«•*""/* '* ~ 'Tla.T -
Toi sera le second terme de la proportion 'f»i’ : ;i l’égard du troisième, ®’ 1 l’élément ÿ ny'dic va nous le faire trouyer. En ellèt, la droite Gg (fig. aa8)
■■ ’ étant la distance de l’axe KL (fig. ail); ftu contre de gravité de l’onglet
KaLA, nous déterminerons cette distante en prenant la.sommc des momens des secteurs élémentaires par rapport à cet axer Fig.a3a. Or, en considérant le secteur AC« (fig. , le centre de gravité g de Fig. a33. ce secteur se trouve sur le rayon CR C A (fig. Vil’, n nhedislance de C qui , art. 184 , a pour expression
mais l’angle C -étant très petit, nous remplacerons l’art par la corde; et
Fig.a3i. comme CB est égal àCA, c’est-à-dire àj- (fig. a3t),' l’expression précédente nous donne \y pour la distance du centre de gravité à Taxe KL. Multipliant le solide élémentaire y otr’dx par oette distance , le moment de ce solide, par rapport à l’axe KL, sera donc ÿ «tr ’rfr ; il Suit de ce qui
• DES CORPS ÏLOTTAJ1S, etC. 3.73
précède que l'on aura
J\ eey'dx — somme des solides élémentaires, f -J esjr,dx =c somme des moment des solides élémentaires;
donc, par la propriété des montons, la distance Cg du centre de gravite pj g
du
petit corps C Aa (fig. 228, , ou KALu ;fig. a3i), aura pour eipri
** “ MW&
Fig. 23t.
et comme es est une constante, on peut l'ure passer en (lehorsdu signe d'intégration, ainsi que les fractions nnmfHqties ; et alors l'équation
précédente se réduit il
Cg ^ *f?l t.
^ Ifr’dx
576. Quand, par le moyen de l’intégration, on aura déterminé C£, la même formule fera connaître la valeur de Cg (lig. 128); mais, si le corps Fig. 228. flottant a une figure symétrique, comme cela n lieu dans les navires, on prendra
Ainsi, en doublant la valeur de Cg, nous aurons
, 4fs’dx .. ’ ' . . . !■'*
• ’ . * ~ :■» j r*dx ‘ '• 4
A l’égard du vqlume de la carène, dont l’expression entre aussi dans l’cquatioii (4 10 ) , on le déterminera par les formules connues dq Calcul différentiel lorsque le corps sera régulier. Nommant V ce volume, nous en substituerons la valeur dans l’équation (éj 1 o), ainsi que celles dn volume ACu (fig. 228) et de gp', données par les équations (4 1 3) et (4*4). Fig. 228. et nous trouverons 1 • / ‘
oo = r
Enfin, en substituant dans l’équation (411) cette valeur ainsi que celle de l’arc A a, exprimée par l’équation (4,a)> et mettent j à la place de CA, nous trouverons
Telle est la formule qui donne la distance du métacentre au centre de gravité O de lu carène.
577. Lorsque le corps flottant est homogène., et que les sections faites par des plans parallèles verticaux sont des figures, semblables , on pout déterminer le métacentre par une formule très simple, et qui dispense
même de recourir à l'intégration. Pour la démontrer, soit n* la supcr- Fig. 234. de 1® section AEB (fig, a34) qu’on e6t censé avoir mesurée par des moyens géométriques, et b la demi-largeur CA de cette section; les autres sections A'E'B', A"E"B'', etc. , auront pour demi-largeurs C'A', C" A", etc., qui sont les ordonnées y de la courbe KAL. Ces sections étant par hypothèse des ligures semblables , seront proportionnelles aux carrés des lignes homologues , et par conséquent aux carrés des ordonnées; on aura donc
section AEB ; section A'E'B' JJ AC* J A'C'*, ou • ‘ '
a* ; section A'E'B' J J 6* J y' ; . .1-
011 tire de cette proportion
section A'E'B' = *~r—-
L'épaisseur CC' ou la distance d’une section à la section conséculive, étant infiniment mince, si nous la représentons par dx , nous aurons
.ny. '
dx
pour l’élément de notre tranche.
S '8. Soit g le centre de gravité de la coupe AEB qui, parce qu’elle est symétrique , se trouve sur lA verticale CE. Ce centre de gravité étant déterminé, nous sommes censés en connaître la distance an niveau du flu.ide. Nommons n cette distance, nous aurons encore , eu vertu de la similitude des ligures.
, t <t . f la distance n' du centre de gravité de . T • • ■ • \ k, coupe A' E' B' au niveau de Veau ; • '
donc
Multipliant cette distance par la coupe élémentaire , on aura pour le moment de cette coupe, par rapport au niveau de l’eau ,
nr «»>* ,
d’où il suit que frldx sera la somme do tous les momeos prise par
rapport au niveau. Cette somme devant être égale au moment du centre de gra'vitéde tout le corps par rapport au même plan du niveau de l’eau, si nous nommons G celte distance HQ,- et V le voluide du corps , nous
DUS fORKb FLUTTANS , etC.
d’où nous tirerons
M/jl
