Urte propriété importante des axes rectangulaires est
que, lorsque deux1. des trois angles a , G, y, sont donnés, le troisième en résulte nécessairement. Pour le démontrer, nous remarquerons d’aljorcfrque le carrée la diagonale AD étant égal à la somme des carrés des trois composantes ( art. 46) , nofis aurons ^pW>'Sif> *
AB1 BC’-f-DC1 = AD*.
Substituant dans cette équation les valeurs des termes du premier membre , données par les équations 9 et 8 , et supprimant ensuite le facteur commun AD*, 'il restera *
cos’ * sf- Cos’ C -|- cos’ y = 1 . . . (10) ( note seconde J. ^
Cettç équation nous donne
cos y = tty/ 1 — cos’ a — cos’s. . , (ri); •
et comme on tirerait des valeurs analogues pour les deux autres cosinus , il eq .résulte que l’un des trois angles que fait la direction de la force P, avec les axes A.r, Ar et A V est déterminé lorsque les deux autres le sont:
r.o. Le double signe qui- affecte le radical de l’équation 1 1,
ai
STATIQUR.
nous indique que le cosinus de tyin des angles, peut être po- 'sitif ou négatif. Le premier cas arrive lorsque cet angle est aigu, et le second lorsqu’il est obtus.
Or, on verra facilement que l’angle y sera aigu ou obtus, selon que la force P tombera au-dessus ou au-dessous du 'plan xA y, «’«**•** du côté des 2 positifs ou du côté des r négatifs.
La même observation s’applique aux cosinus des angles « et G , considérés relativement aux axes des x et des y. En général, les signes des cosinus seront les mêmes que ceux des coordonnées x, y, z comptées du point A.
5i. On emploie encore pour déterminer les signes des çosinus, une règle qui est fondée sur l’art, io. En effet, si Ax Figj 3n. (fig- 3o), indique la direction de l’une des composantes, cette ' composante sera positive ou négative , selon qu’elle agira de A vers £, ou de A vers x/. Dans le premiqr cas son effet est d’écarter le point A de l’origine O des coordonnées, et dans le second de l’en rapproche^C’est sur cette considération qu’on a établi cette régies Une composante est positive lorsqu’elle tend à augmenter la coordonnée du point d’application A; elle est au contraire négative lorsqu'elle tend à diminuer cette coordonnée.
Des forces appliquées à un même point , et qui sont , situées dans T espace. v.
5a. Soient P, P', P'V«tc., diverses forces qui sollicitent un point A ; menons par ce point les trois axes coordonnés Ax, Aj, As, et nommons . '
u, 6, y les angles que P fait avec les axes coordonnés, *f, C', y' les angles que P' fait avec ces axes, a.". G", y'vles angles que P" fait avec ces axes,, etc. etc.
En décomposant ces forces suivant les axes coordonnés, nous
FORCES DAMS l’eSPACK, APPLIQUEES A UK POINT. j3
trouverons (art. 48)
P cQ^d , P cos S, P cos y pour les composantes de P, cos S', P' cos •/ pour celles de P', cos S", P" cos y" pour celles de P",
■■ etc. etc. etc.
nous réservons, comme dans l’article (40), de déterminer les signes des cosinus lorsque nous passerons à la pratique, et que nous représentions par X, Y, Z les coru- . posantes de la résultante cherchée R suivant chacun des axes coordonnes, nous aurons ,
P cos *4- P' cos*' -t-P" cos ?" -t-e te. =X... . (1*),
P Cos C 4- P' cos C' + P" cos S" -f- etc. = Y . . . (i3),
P cos y -I- P' cos y' -f- P" cos y" -f- etc. = Z . . . (»4)-
53. X, Y, Z étant les trois projections AB, BC, CD de la droite AD (fig. 29) qui représente la résultante R, nous Fig. 39. aurons (art. 46)
AB* -f- BC1 H- CD* = AD1, et par conséquent
Ainsi l’on déterminera l’intensité dé la résultante au moyen de l’équation - '%*
D’une autre part, si nous appelons a, b, c les ângj^' que la résultante fait avec les axes coordonnés, tes composantes A R
suivant chacun des axes, seront
R cos a, R, tps b, R «ose;
et comme nous avons représenté par X, Y, Z ces composantes , nous aurons
X = R cos a, Y = R cos b , Z = Rco»c,
Fig. 39, d’où nous tirerons
COS<, = R’ COS * ~ R ’ cos c = â’-’ (,6)-
Lorsque les forces P, P', P", etc., et les angles *,£, y, *'> e'» y', etc., seront donnés, les formules (xa), (i3) et (xi,) nous mettront en état de calculer X, Y et Z. Ces valeurs étant substituées dans l’équation (i5), nous feront connaître » R. On pourra donc ensuite , au moyen des équations (16)', déterminer les angles a, b, v qui fixent la position de la résultante.
54. Dans le cas de l’cquilibre, la résultante étant nulle, l’équation (i5) nous donne
Cette équation est la somme de trois carrés qui sont tous essentiellement positifs; par conséquent elle n’est possible que d’autant que chaque terme soit égal à zéro. Ainsi l’on a
ces valeurs réduisent les équations (ia), (i3) et (14) à
P cos «4- P 'cos -J- P "cos «"-J-P"' cos *'"■+■ etc. = 01 P cosf-f- P' cos £' 4- P" cos £" 4- P'" cos o'"4-etc. = o (...(17). P cos y 4- P' cqs y ' 4- P" cos y" 4- P"' cos y" 4- etc. = o j
Telles sont les équations d’équilibre d’un système de forces situées d’une manière quelconque dans l’espace et appliquées à un meme point.
55. Ces conditions étant remplies, on va prouver que l’une» des forces est égale et directement opposée à la résultante des autres. En effet , soient R' la résultante de toutes les forces hors P cos a , X', Y', Z' ses composantes, et a*, h'j, c' les angles qu’elle fait avec les trois axes , on a
