FORCES DANS L* ESPACE , APPLIQUÉES A UN POINT

X' = P' cos »' 4- P" cos «" -+- P" cos a'" 4- etc. ,

Y' = P' cos £' -+• P" cos Q" 4- P'" cos S" 4- etc. ,

Z' = P' cos y' 4- P" cos y" 4- P* cos y"’ 4- etc. :

au moyen de ces valeurs, on réduira les équations (17) à •

P COS a

P cos £-4-Y'=o, * * *

P cos y -4- TJ = o ; >

éliminant X', Y', U au moyen des équations

X*=R'cosfl', Y' = R' cos b', Z';=R'cosc', il viendra , ■ 4

j P cos * = — R' cos a' j

Pcos£ = — R' cos b' (18).

P cos y = — R' cos c' ) 4

Élevant ces équations au carré et les ajoutant, on trouvera P1 (cos5* 4- cos’S 4- cos1y) = R'1 (cos V 4- cos’i' 4. cos’c') ;

et comme la somme des carrés dej cosinus des angles qu’une force fait a^c les trois axes est égale à l’imité , cette équation ae réduit .

et donne

on ne prend ici P qu’avec le signe positif, parce que les sign„ qui affectent les forces dépendant do leurs positions respectives, doivent être déterminés par la règle des cosinus que nous avons expliquée ai t. 35 et suivons.

Substituant la valeur de P dans les équations (18), et supprimant ensuite le facteur R', ces équations deviennent

.. , cosm = — cos a', . .. (19),

cos S — COS b' . . . (20L , ■

• . • COS y ^^COS c' . . , (21).

Fig. 32.

Si l’on fait cos a,' = m, l’équation (19) nous donne

'3 Wi-i •

cos x = — m.

Ces valeurs de cos a' et de cos x nous apprennent que les angles a' et « sont supplémens l’un de l’autre. En effet, si cos a' Fig. 3i. est représenté par AC (fig. 3l), cos a le sera par AC' = AC, et alors a' =. DAC, <* = D'AC.

Or ces angles sont supplémens l’un de l’autre; car, à cause de AC := AC', l’égalité des triangles ADC, D'AC' nous prouvant celle des angles DAC , D'AC', on peut changer D'AC' en DAC dans l’équation

D'A(Î -+- D'AC' = a angles droits ;

et l’on voit que les angles D'AC et DAC ou a' et x sont supplémens l’un de l’autre.

On prouverait de même, au moyen des équations (»o) et (aij, que £ et b' sont supplémens l’un de l’autre, et qu’il en • est de même des angles y et c'.

Il resuite de ce qui précède , que R' et P sont directement opposés; car si, par exemple, R' était situé <m-dessus du plan des x , y dans la région des x et des y pos^Hs , P serait situé au-dessous , et dans la région des x et des y négatifs.

56. Après avoir réduit toutes les forces à trois forces rec- I tangulaires X, Y, Z, nous avons vq (art. 45) que la résultante

R était la diagonale d’un parallelipipède dont les côtés contigus AB, AC, AD (fig. a7) seraient X, Y, Z : par conséquent pour déterminer l’équation de la résultante R représentée par AF, il s'agit de trouver celle d’une droite AF qui passerait par 1 origine A dont les coordonnées sont nulles , et par le point F qui a

pour coordonnées X , Y , Z.