DES FORCES SITUÉES DANS UN PLAN

En effet, en prenant seulement trflis forces P, Q et S (fig. 46), Fie- 40. la résultante DC des forces P et Q ayant été transportée en D'C', on peut décomposer D'C' en D'P' et en D'Q', et l’on voit que D'P' et D'Q' sont parallèles à DP et à DQ, en vertu de l’égalité des parallélogrammes:

g3. Cherchons maintenant les conditions analytiques de l’équilibre de ces forces. Pour cela, considérons d’abord trois forces P, P', P", appliquées toujours à différons points fixes d'un système ; une des conditions nécessaires pour que ces forces soient en équilibre, est qu’elles concourent en* un point.

En effet, si les forces P et P' (fig. 47) devaient être mises en Fig. 47. équilibre par une troisième, il faudrait.quc cette force fût dans la direction de la résultante de P et de P', pour pouvoir détruire cette résultante. Or P et P' concourent en D ; donc ce point D est sur leur résultante , et par conséquent sur celle de la troisième force,; donc cette troisième force peut s'appliquer en D. ■

Si au contraire Ta troisième force he pouvait pas s’appliquer au point de concours D des deux autres, celte force P" (fig. 48) Fig. 48. couperait la direction de la résultante DR de P et de P' en un point E, et alors les droites R et P" feraient nécessairement entre elles un angle P"ER ; donc ces forces P" et R auraient, une résultante; d’où il suit qu’elles ne pourraient être en equijibre.

94. Lorsque les forces P, P', P" concourent en un point A, on le pourra prendre pour point d’application de ces forces , en les transportant en ce point parallèlement à leurs directions, art. 9 1 ; alors les conditions d’oquilibro seront les mêmes que celles des forces appliquées à un point.

Ces conditions seront qu’on art

P cos * P' cos a' + P" cos a" =. o,

. P cos S + P' cos ô' -f- P" cos S" =0. •

A ces équations , il faut joindre celle que nous allons déterminer pour la condition du concours des forces.

. - sr "ÿ # . - '

95. Soient donc P, P' et R trois forces qui concourent en A (fig. If 9). Si par un point C, pris arbitrairement, on mène en A une droite CA, et que de ce point C on abaisse des perpendiculaires CI , CI', CI", les triangles rectangles CAI , CAI', CAI" auront une même hypothénuse ; c’est celte hypothénuse commune à ces triangles , qui constitue la condition du concours ; car elle n’appartient à la fois aux trois triangles, que parce qu’ils ont lé même sommet A.

Par ce point A menons une perpendiculaire AB à la droite CA ; et des extrémités des droites AP, AP', AR qui représentent les intensités des forces, abaissons les perpendiculaires PD, P'D', RD" sur AB ; les triangles rectangles ACI , APD seront semblables, parce que les angles formés par AP avec les parallèles AC et PD, sont égaux, comme alternes, internes; nous aurons donc la proportion

AC : ci : : ap : ad ;

et si nous faisons AC — r , CI:=/>, cette proportion deviendra ,

* c;>::P;AD:

d’où nous tirerons •

en nommant de même p' et r les perpendiculaires CI' et CI", nous trouverons

Cela posé, si R est la résultante de P et de P', la composante de R suivant la droite AB , sera égale à la somme des

DES FORCES SITUÉES DANS UN PLAN. ffÇf

composantes de AP et de AP", suivant cette droite (*) ; par conséquent on aura : • ,