P' X CB + S X CG = P X AC
Cette équation détermine P ou P' ; et la charge du point d’appui sera
Si la puissance P' était dirigée en sens contraire de la résistance , i) faudrait avoir égard aux sens dans lesquels les forces tendent à faire tourner le levier , et l’équation des momens serait (fig. u5.) Fig.i
CA X P + CG X S = CB X P'. • • (i23), et l’on aurait pour la charge du point d’appui ( note huitième), P+S — P'.
Fig. il
5. 226. Supposons que le levier CB (fig. 1 if> ) soit homogène
et partout lie même épaisseur ; représentons par ni Je {miels d’une portion de ce levier dont la longueur Soit d’un centimètre., celle du levier étant x, son poids S sera. mx , et devra être considéré comme concentré au milieu G du levier; .de sorte qu’en nommant CA , a, l’équation (i23) deviendra • '
aP -+- -j x X mx — P'x.
Gn tire de cette équation
P ' = ^- + 1 /wx. . . (taift.
Ainsi ayant pris arbitrairement x, cette formule donnera la valeur de P' ; mais si l’on demande quelle est parmi toutes Cjçs valeurs de x, celle qui doit «voir lieu pour que la puissance P' soit aussi petite qu’il, est possible , ■ il faudra regarder P' comme One fonction de x, et, suivant la çné- * . ■ Jgy
tliode des maxima et minima , égaler à zéro la valeur de — , J' dx
ce qui donnera
— = — - + >=0; . dx x*
d’où l’on tire
x2 — et x — t / -
Kn substituant cette valeur dans l’équation (i23), on obtient
!nnV ’ V m
réduisant le second membre au meme dénominateur, il vient 2«P
1IF.S MACHINES
De la Poulie et des Moufles.
117. Une poulie est, une roue dont la circonférence, qui est creuse, se trouve eèvbartie enveloppée d’une corde; cette corde, par son mouvement , farit tourner la poulie autour d’un axe qui passe par son centre -,et qui est supporté par une barre de fer recourbée OB (fig*. 116), à laquelle on a donné Fig. l ‘file nom de chppe. "*■ ■ -
On distingue deux sortes de poulies: la poulie fixe et la poulie mobile. La poulie fixe est celle dans laquelle la chape OB (fig. y 6) est retenue par un point fixe, et la poulie tno- Fig. 116. bile est celle dans laquelle la résistance R (fig. 117) est atta-pig. n7. chéè à la chape. ,
aa8. Dans la poulie fixe (fig.. r 16), la puissance P et la ré- Fig. 1 16. sistance Q ne peuvent se faire équilibre que lorsqu’elles sont égales; c!ar si ces forces différaient d’intensité, la plus grande entraînerait l’autre.
Pour le démontrer analytiquement, prolongeons jusqu’en E les directions de P et de Q qui agissent tangentiellement, ce point E. appartiendra à la résultante des forces Pet Q; mais cette résultante devant être détruite par le centre O de la poulie, doit passer par ce point : or, à cause des triangles égaux EPO , EQO , l’angle PEQ est partagé en deux parties égales par la résultante; d’où il suit que l’inteUsité de P est la même que celle de Q.
aag. Prenons maintenant les partiés égales Eg et EA, et construisons le parallélogramme E gfh ; les forces P et Q seront représentées par les droites E g et EA, et la résultante de ces forera le sera par la diagonale E f ; de sorte que nous aurons
E g : EA : e/;: P : Q : R; *
et comme les triangles Eg/, POQ sont semblables , parce qu’ils
i?4 statique. * .
ont leurs côtés perpendiculaires, on peut établir la proportion
: Eh : E/:': PO : OQ : PQ;
donc
PO : oq : pq :: P : Q : R;
d'où l’on peut conclure que dans la poulie fixe, l’une des forces est à la résultante comme le rayon de la poulie est à la soutendante de l’arc embrassé par la corde.
On a démontré que lés forces P et Q étaient égales ; il suit de là que la poulie fiite n’a d’autre effet que de changer la direction d’une force sans augmenter ni diminuer son intensité.
a3o. Considérons maintenant la poulie mobile." Soit une corde QABP (fig. 117) qui étant attachée au point fixe Q, embrasse l'arc AB de la poulie, et qni , lorsqu'elle est sollicitée par la puissance P , fait monter la résistance R.
». C tendant à entraîner Q, ■éciproquement Q agit sur C. Si l’on considère donc Q comme une force qui sollicite le point C, on cherchera les conditions d’équilibre entre P , Q et R ; ces conditions sont les mêmes que celles que nous avons établies pour la poulie fixe, si ce n’est que la résistance, an lieu d’être Q, est ici R. Ainsi le rapport de la puissance à la résistance nous sera donné par la proportion
P : R rayon ; soutendante de l'drc AB.
La puissance étant moindre que la résistance, la poulie mobile est avantageuse à la puissance.
Si les cordons deviennent parallèles, la proportion precedente devient
‘P : R : : rayon \ diamètre. " I : 2;
dans ce cas, la puissance est la moitié de la résistance.
Si la soutendante est égale au rayon , la puissance est égale à la résistance; par conséquent lorsque la soutendante est plus . petite que Je rayon, la poulie mobile devient désavantageuse.
DES MACHINES
Il5
*3i. Par la combinaison de plusieurs poulies, on peut soulever des poids énormes avec une très petite puissance, comme on peut le voir, en disposant les poulies de la manière suivante.
Le poids R (fig. 118) étant suspendu à la chape de la " poulie ABD, cette poulie sera embrassée par une crtrde d’une part attachée au point fixe K , et de l’autre à la chape de la poulie Jt'B'D'. Cette seconde poulie sera également supportée par uflë corde, d’une part attachée en R', et de l’autre à la chape de la poulie A"B"D"; ainsi de suite jusqu’à la dernière poujie qui sera emhrassee par une corde attachée d’un côté à un point fixe, et de l’autre à la puissance P.
Si l'équilibre subsiste entre ces poulies, et qu’on appelle T, T', T", etc., les tensions des cordons AE, A'E', etc. , on aura , en ne supposant que trois poulies ,
r : T ab : ac, t : t' :: a'b' : a'C', t' : P :: a"B" : A"C".
Ces proportions multipliées par ordre donnent
R : P : : AB x A'b' x A' B" ; AC x A'C' x A"C" ;
ce qui nou^ apprend que la puissance est à la résistance R comme le produit des rayons des poulies est à celui de leurs sodtendantes. Si les cordons sont parallèles , les soutendantes deviennent des diamètres , et l’on a
et en général pour n poulies,
a3a. Cette disposition est peu employée, parce qu’elle demande un trop granc^efnplacenient. En effet , lorsque le centre de la poulie BOC (fig. 1 19) s’élève d’un nombre h de pieds, Fig. 1 16.
1» : ,J .ai t
lï6 STATIQIK.
BC vient en bc , et la corde DCBX s'accourcit de Ce -}- Wt , c’est-à-dire de a A de pieds ; par conséquent la poulie E doit s’élever d'autant au-dessus de X : or par un même raisonnement , on démontrera que quand la poulie E s’élève de a h de pieds, la troisième poulie doit s’élever de 4//; et ainsi de suite. De sorte qu’avec un nombre n de poulies, la puissance doit s’élever de in~'h ; car la puissance tient la place, d’une poulie : on perd donc en espace ce qu’on gagne en puissance.
« A l’égard des pressions que supportent les points' D, D', D ", etc. , appelons-les Q, Q', Q", etc. , et nommons S et X les tensions des cordons SA et XB , et supposons quç les rayons des poulies soient égaux , nous aurons
substituant ces valeurs dans les proportions p : S :: 1 : a, '
on obtient
Q' = ap, Q" — 4P;
la pression totale sera donc exprimée par *
* , ■ P + aP + 4P
a33. Le moufle est une machine composée de plusieurs
poulies disposées sur une mciq^ chape. t . ,t , v Pour trdbver le rapport de la puissance P à la résistance R Fig. 130. dans le moufle de la -figure 120, nous observerons que les cordons sont tous egalement tendus; la somme de ces tensions fait équilibre à la résistance R , qui peut être considérée comme entraînée par six-' forcés parallèles égales ; la tepsion de Q est donc mesurée par l’une de ces forces^ et par conséquent est la sixième partie de la, résistance.
n'F.S MACHLNF.S.
'Du Tour ou Treuil.
i 3^. Le tour est un cylindre qui sert d’essieu à une roue. A la circonférence dé nette roue fst attachée une corde qui, en se déroulant, lui imprime un môrtvemcnt de rotation dont l’efl# se communique au cyttuMce ; alors une seconde-' corde * s'enveloppe autour de ce. cylindre , et fait monter la résistance dont elle esfc chargée. DeiVx'pivots cvlifkjriques A et B
, ^g. ijii) se trouvent aux extrémités A et fi.du cylindre; ces Fig. m.
, rqts se nomment tourillons. Comme ils sont de moindres »]iymétres que le ceindre, ils servant à le faire tonrner .avec plus de facilité sur ses appuis. ' " '
a35. Nous allons d’abord chercher le rapport de la puissance à la résistancè dans cette machine. Pour cela, pliions l’axe AB du cylindre 'dans une position horizontale ; nous pourrons supputer qu’un plan horizontal mené par cet axe couple cylindre , et, en se prolongeant jndéfinimen/, vienne rencontrer au point' F la di région de la'puiSsanée. 1
Représentons cette ‘puissance P par la partie, FP. de sa direction ,et décon^posons P .én deux forces FL = P' et FR =i P^, Vhqe horizontale ék'l’iiutre verticale.
Cèlp poéé , lorsque P^lt mduvoir la rtoue, la cHnaposaoTé P" qui, est y^rtifàle, desfcend, àt le poids R monte, tandùt que te ppi»t fl^re^te jjpt»oÉilé , paYcp qu’il est fur l*axc du* cylindre. On peut' donc regarder M comme le point d’appm^’un levier 1IF, auquel seraient appliquées les lin i |>" ;
par conséquent on aura, en vertu de M’équilibre (du levier,
p" : R MH : Sîii- ’
i ^ ^ ' jjil^ .
D nnc autre parti te plan de la roue et ,1a section OEH étant perpendiculaires à Taxe du cylindre, les triangles fflM, MCF sont’rectangles, l’un en’ l ét l’autre en Cf ét donnent
J»-..,,. ...Jl
MH : MF : h hi : cf.
JLr
On tii*e de ces proportions , ^
■' ixl . s
l’i'Uwwriji ni a.
. . P" : R :: Ht : CF
Fig. iai Soit ç> l’angle FPK, on a (fig. 121 et tai )
et 122. . ’ \ ▼- *, * *•'. •
FPK^PFÇ.^, par conséquent • .
v ' -«iirFPsini, *DC=CFsm?, * '
M i* yM : ; <• 7.*'
üV D * 'tu, DC ‘ » *
.. P = P sin <j> , GF = - — : •
*V Aw *
substituant ces valeurs dans la .proportion, procédante , on obtient
DC
V ; P sin 9 R :: m — *; . -
• . • • . 1 . s)nf i •
d’où l’ori tire '
. PxDC=!RXin;
. \ . SJ.;. • • » ■
ce qui nous donne cette proportion .
p : R :ï hi i dc. . :\t&. ' • * ■
On voit donc quer dans le.totiry l<> jiuissaqcc est à la résistante
/n *•« ata *% >/.. ^ ^ ^ ^ * * *
ftânrâJOK ';iirt. >«i; i iTJfîii^/pyi
4ggÊÊgM^^ .. J
sance^a résistance et le poids de la machine. Si rtonsmcfhimons T ce poids , et O le centre de gravité de là machine , nous peiîrrqns regarder T comme suspendu en G : or, à cause de la syitij-frie' de la machine, G se trouvera Sur l’axe ménie diucylindre. Cela posé, remplaçons la puissance P par ses 'composantes P' et P" ; il ne s'agira plus que de décomposer les. quatre forces R , P', 1’" et T en deux autres qui agissent spe, les points d’appui A et Ifc
Digi!izqd%M
UES MACHINES. I29
Les forces 11 et T ayant été .déterminées par expérience , cherchons d’abord à exprimer I1' et P" eu fonction de R. Pour cela nous avons ( fig. 1 2 1 et 1 2a
P' = FL = P cos FPK , P^= Fk = P sin FPK ,
P'ipPcosip, P" = P sin*? . . . (126).
Mais l’angle ç> étant égal à l’angle CFD, ori a
