R OA X S'A' X O' A
ce qui nous apprend que la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des cylindres est à celui des rayons des roues. t
Ainsi dans le cas où le rayon de cjiaque' cylindre serait la n’ partie de celui de la roue qui le met en mouvement, on aura
n OA ‘O'A' 0"A"
proportion qui revient à celle-ci ,
a4». Les roues dentées ne diffèrent de la disposition precedente, que par les dents également distantes dont leurs circonférences sont garnies. Ces dents ont le même emploi que les cordes de la figure ia3; chaque roue est traversée par l'axe Fi , Il3 de son pignon qui est une roue dentée plus petite, garnie de ^ dents qu'on nomme ailes. La première roue fait tourner son pignon qui engrène dans la seconde roue; celle-ci à son tour,
STATKJCK.
ayant son pignon engrene dans la roue attirante , la fait mou voir; ainsi de suite. . ■ ‘ • •
Les pignons représentant les cylindres de la combinaison précédente , il s’ensuit que , dans les roues dentees , on a la proportion : La puissance est à la résistance comme le produit des rayons des pignons est à celui des rayons des roues.
i9.\. a4i. Soient (%. i*4) D> D', D", etc., les nombres de dents des roues A,. A', A"» etc., et d, d', d", etc-, les nombres d’ailes de leurs pignons a, a', a", etc., et supposons que tandis que la roue A fait N tours, les roues A',^", A'", etc., en fassent, la première N', là seconde K", etc. A chaque révolution de A , le pignon a engrènera successivement toutes ses ailes avec la roue A' ; de sorte que dans N révolutions , il engrènera , avec A', un nombre d’ailes exprimé par N d : de même la roue A' faisant N' tours, engrènera un nombre N'D' de dents avëc le pignon « ; et coftime les nombre de dents et d’ailes engrenées par la roue A' , , et par le pignon a doivent être égaux, il faudra que l’on^hit
3 N'D' = Nd ;
par la même raison, les autres roues nous fourniront les équations
N"D" = N'd', N"D'" ê= N"! T, etc.
Multipliant ces équations par ordre, nous aurons, en suppo sant seulement quatre roues,
NwD't>"D'" = Ndd'd* ;
d’où l’on tirera
, dd'd"
Par exemple, si l’on demande le nombre de dents qu’il faut employer pour que la roue A'" fasse une révolution dans le même temps que la roue A en fait 60 , nous aurons
UF.S MACD1MS.
& = Cu, i = Go. ryD-/D» • (,27)
Prenant arbitrairement les nombres d, d', d" , nous pourrons supposer d ^ 4 , d' = 5, d" =. 7 ; cette .hypothèse réduit, la dernière des équations (127) 1t
8/|00 partagé en trois facteurs, nous donne les nombres 11, a!> et .28. Ainsi en’ faisant D', D", D" respectivement égaux à ces nombres, nous avons une solution du problème qui, comme on le voit , est indéterminé.
Observons qu’on 'doit prendre N"'.<^N parce que supposant d D', d' D", d" < D'", Aw va plus lentement que A.
a4a. C’est encore par le principe de l’équilibre du tour, que l’on explique' le mécanisme du cric. On distingue -deux sortes de crics, le simple.et le composé. Le cric simple est une caisse de bois CD (fig. ia5), dans laquelle se meut une Fij>.ia5 barre de fer, garnie de dents d’un côté; ces dents engrènent avec un pignon EF qu’on met en mouvement à l’aide d’une manivelle : alors la barre de fer , prêtée par l’effort du pignon, sort de la caisse DC, monte et soulève la. résistance.
Dans cette machine, le pignon et le bras de la manivelle (*) agissant comme le cylindre et la roue du tour , il en résulte que la puissance est à la résistance comme le rayon du pignon est au bras de la manivelle.
a/( 3. Dans le cric composé, la manivelle met en mouve ment un pignon qui engrène avec une roue; celte roue en grène à son tour avec un second pignon qu’au dernier
(*) P»' pat- la puissance.
le rayon un cercle décrit
D’après ce qui précède , on voit que dans cette machine la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des pignons est à celui des roues par le bras de la manivelle ,
, Du riaa, incliné.
144- Le plan incliné est ainsi appelé, parce qu’il fait uto angle avec l’horizon; son usage est de servir à soutenir un corps , en le mettant en équilibre avec d’autres forces. ,
Fig. 12G. Soit un corps M (fig. 126) , dont noifs considérerons le poids P comme attaché à son centre de gravité par un fil vertical Ü1P. Pour que ce corps puisse être en équilibre sur un plan incliné avec une force Q , la première condition est que les forces P et Q aient-une résultante unique , ce qui exige que leurs directions se rencontrent en un point M : or, MP étant une verticale qui passe par le centre de gravité, le plan PMQ sera aussi vertical et contiendra le centre de gravité. Ainsi la prertpière condition d’équilibre est que ia direction MQ de la force Q doit être dirigée dans un plan vertical qui passe parle centre de gravité du corps.
La seconde condition est que la résultante MN des forces P et Q soit détruite par la résistance du plan incliné, ce qui ne peut être , à moins que cette droite ne soit normale au plan incliné , et ne le rencontre en un de ses points.
Cette seconde condition se modifie un peu , lorsque le corps ne touche le plan incliné que par plusieurs points; car en . ’ unissant ces points par des lignes droites, il suffit que la ré-
sultante normale passe par un des points du polygone ren-
- fermé dans ces droites, pour qu’il puisse y avoir équilibre.
q45. Les conditions que nous venons d’énoncer étant rem- Fig.ia'u pljes, soit KL ( fig. 126 ) un corps retenu en équilibre sur un plan incliné par une force Q. Prenons des parties ME, MF proportionnelles au poids P et à la force Q, et construisons le parallélogramme FM ER : la diagonale MR représentera la
U RS MACHINES. 1.35
pression que le corps exerce sur le plan incline : nommons R cette pression , nous aurons .
Q ; P ; R : ; sin PMR : sin QMR : sin PMQ. . . (128).
Les angles PMR, CAB étant égaux en vertu de la similitude des triangles AOP, OMN, nous avons
sin PMR =r sin A = ■
substituant eette valeur dans la proportion (128), et multipliant les seconds rapports par AC, cette proportion se changera en celle-ci ,
Q : P : R :: CB : AC X sin QMR : AC X sin PMQ.
246. Si la puissance prend la direction, MQ (fig. Î26) pa- Fig.is6> rallèle à la longueur du plan incliné , les triangles MER , ACB deviennent semblables, parce que les angles C et E sont égaux,, l’étant chacun à l’angle MOC ; d’où il suit que l’on a la proportion
er : me : : cB : Ac te qui nous apprend que lorsque la puissance est parallèle à la longueur du plan incliné, la puissance est à la résistance comme la hauteur du. plan incliné est à sa longueur.
247. Si l£ puissance MF devient parallèle à la base du plan incliné, les triangles perpendiculaires MER, CAB (fig. 127) pis. Ia? donnent la proportion
er : me :: cb : ab,
ou
Q : p :: CB : AB;
donc, dans ce cas, la puissance est à la résistance comme la hauteur du plan incliné est à sa base.
248. Lorsque l’angle A est la moitié d’un angle droit, la puissance est égale à la résistance ; mais si A est moindre que la
i36 STATIQT E.
moitié d’un angle droit , la base du plan incline en surpasse la hauteur; alors la machine devient avantageuse à la puissance. .
De (a- Fis. .
E'tf- i iS. 249. Partageons les côtés d’un rectangle AM' (fig. ia8)en parties égales par des parallèles BB', CC', etc. , et menons les diagonales AB', BC', etc.; si en courbant ce rectangle, nous en formons un cylindre à base circulaire, la .droite MA se confondra avec la droite M'A'; et alors les points B et B', C et C', etc., qui sont les extrémités des diagonales AB', BC', etc. , se confondant , ces diagonales se lieront les unes Fig* 119. aux aurifes, et traceront sur le cylindre FQMN (fig. 129) une courbe régulière PRSTUV, etc. , à laquelle on a donné le nom .d ''hélice. V
a5o. La propriété caractéristique de cette courbe est que tous ses clémens forment des angles égaux avec les droites menées par ces clény>ns sur la surface du cylindre, parallèlement à son axe ; car cette propriété subsistant dans le parallélogramme ^VM' à l’égard des élémens m , m', m", etc. , qui forment des angles égaux avec les parallèles EF, E'F', etc. , il en sera de même lorsque le parallélogramme deviendra la surface convexe d’un cylindre. 0
D’après cette génération de l’hélice , on voit que les dis- Fig. 128. tances mm, m'n', m"n", etc. (fig. 128), étant égales, la même chose aura lieu encore sur le cylindre; par conséquent si Fig. 129 l’on pi-end mit (fig. 129) pour base d’un triangle isocèle mno dont l«plan soit normal à la surface du cylindre, et que l’on fasse mouvoir ce triangle parallèlement à lui-mème , de manière que tes extrémités m et « de sa base restent toujours sur deult arcs d’hélice, ce triangle, en montant ainsi sur la surface cylindrique, la recouvrira d’un filet saillant qui, conjointe-
des machines. i 3^
ment avec le cylindre , composera la vis ; ce filet saillant est appelé le filet de la vis.
On voit que le filet de la vis n’est autre chose ici qu’un prisme triangulaire qui serait applique et recourbé sur le cylindre, en forme d’hclice.
Quelquefois le filet de la vis , au lieu d’être engendré par un triangle isocèle, l’est par un rectangle : dans ce cas, la vis est à filet carré.
a5i. L’écrou #st une pièce creusée en helice, et d’tthe longueur moindre que celle de la vis. On peut considérer l’écrou comme le moule d’une partie du filet de la vis.
La vis tourne dans l’écrou, et, à chaque révolution, parcourt un chemin égal au pas de la vis.
Les circonstances du problème étant les mêmes, soit que la vas tourne dans l’écrou, soit que f écrou tourne dans la vis, nous adopterons cette seconde hypothèse.
a 5a. Cherchons maintenant le rapport de la puissance à la résistance dans cette machine. Pour cela, plaçons la vis verticalement dans son écrou r de manière que l’écrou entoure la partie supérieure du filet de la vis; supposons que l’écrou soit partagé en différentes molécules m, m ', m", etc., qui reposent .chacune sur le filet de la vis ; et cherchons la force qui mettrait en équilibre la seule molécule m ( fig. i3o). Fig. i3». Il est certain que si cette molécule abandonnée à elle-même n’était sollicitée que par l’action de la pesanteur, elle glisserait le long du filet , et décrirait une hélice sur un cylindre qui aurait pour rayon la distance mC de la molécule"?» l’axe de rotation. Ainsi en considérant l’hélice comme un plan incliné, ce plan aura pour hauteur le pas de la vis, et pour base la circonférence décrite par mC.
Supposons maintenant que la force horizontale P (fig. 1 3ij, ; ,3,. appliquée immédiatement à la molécule m , tienne son poids m en équilibré. On construira un triangle rectangle «>HK
i'ig. i3i. qui ait pour hauteur mH le pas de la vis , et pour base la circonférence décrite par mC, et l’on aura , en verfu de la théorie du plan incliné,
P : m :: hauteur : KH, ou
P : m ; : mil : circonférence Cm ... ( 1 29).
Mais si la puissance , au lieu d’être appliquée, immédiatement au point m, est appliquée à l’extrémité P du levier CD, et que l’on veuille que cette puissance Q produise le même effet que P, il faudra que P et Q soient en raison inverse des braSi de levier ; c’est-à-dire que l’on ait
Q : p : : Cm : cd,
Q : P circ.Cm : cire. CD.
Multipliant terme à terme cette proportion par la proportion (129), on aura
Q ; m " mH : cire. CD.
Donc pour la molécule m , la puissance est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence dont le rayon est la distance du point d’application du levier à l’axe du cylindre.
Cette proportion ayant lieu quelle que soit la distance C/q de la molécule à l’axe , concluons que pour les autres molécules chargées des poids m', m", m", etc., et retenues par des forces Q', Q", Q'", etc. , on aura ençore
* Q' : m' : : mH : cire. CD,
Q" : m" : : mH : cire. CD,
Q" : m'" :: mH : cire. CD.
On tirera de ces proportions et de la précédente.
DES MACHINES
J.es distances des molécules m" , etc., à l’axe, ainsi
que leurs hauteurs, n’entrant pas dans ces expressions , concluons que les points d’application des puissances horizontales Q , Q', Q", etc. , en sont indépendans.
Supposons donc que ces points soiept également éloignés de l’axe du cylindre ; alors le^ forces Q , Q', Q", etc. , en quelque part qu’elles soient situées , communiqueront au système le même mouvement de rotation que si elles agissaient suivant DQ. Par conséquent nous aurons le droit de réunir les valeurs de ce* forces. Ainsi en ajoutant lès équations (i3o), nous trouverons
m 4- m' 4- »i* -f etc. = (Q -+• Q' + Q" i
et comme la somme m m'-|- m" + etc*-, représente le poids M de l’écrou, et que les forces horizontales Q, Q', Q", etc., peuvent être remplacées par une force unique Q appliquée au point D , nous aurons
d’où l’on tire
cire . CD
Q : M :: mH : cire. CD;
ce qui nous apprend que , dans la vis , la puissance est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence de l'arc décrit par la puissance autour de l’axe.
Il est évident que cette machine est d’autant plus avantageuse à la puissance , que le pas de la vis a moins de hauteur, et que le point d’application de la puissance est plus éloigné de l’axe. * ,
1 ’ ' .■ - \ \ • ‘’ifaat'iJ * j.'
STATIQEK.
Du Coin i
