Pour déterminer la eonstantc, le temps cortimençant
lorsque le rriobileest èn M , oit a t = o quand x-=zè>. (les -valeurs réduisent l'équation (a34) à \ ■ < * •
o te —*•5- ^/^.arc («os =*-*■■ 1) tf- C. * '
Soit 1% 4 efreonférepoe du. cercle dont le rayon est l’unité, nçus avons (6g. 169) ( Fig. 169.
k aj-c (eos te-r- 1 ) =r: arc BCA te *■; donc 1 ' ‘ * ‘1 J .
Substituant cette valeur dans' l’équation (a34) , on trouve
v/iC' ^arc(- = - •
23o ' »Vj»AMI4}BE.« V. * s<
Fig. 177. De celle minière, l'intégrale sera prise (%.' 1 ^depuis l’abscisse x = b , qui correspond à t = o, jusqu’à l'abscisse indéfinie x ; par conséquent t exprimera lé temps de là chute du mobile, depuis l’origine du temps où il" était en M,
jusqu'à un point quelconque M' dont l’abscisse est x.
3G8. Si l’on veut avoir l’intégrale comprise depuis M jusqu’au point Je plus ‘J>as K» il faut faire -x = o dans la valeur de t-, , et en observant que l’arç dont le cosinus est i est égal à zéro, on à • '•
Le niflUe arrivé en JE n’a fias perdu sa vitesse;. au contraire, cll^B-vient en eè point à. son maximum „ Comme nous l’ayons vu; car on doit se rappeler qfie la vitesse * étant donnée par l’équatjén ,
• y J V — V*ëZ> •
plus grande valeur dé a-est celle qui a lieu lorsque le’ mobile est arrivé en E. Ainsi, en vertu de cette vitesse, . le mobile' passe sur l’arc’ EN ; et comiqe cet arc change de signe , on trouvera pont le tenqis que le mobile a employé à parvenir
en N',
Si de cette équation hous retranchons l’équàtiôn (a36) qui nous-donne le temps qui s’est écoulé lorsque le mobile est arrivé de M en E , il nous reste l’expression
pour le temps que Je mobile a mis. à venir de £ en N' c’est justdneût le même téhips qù’il emploierait à- descendre sui-
iSi
« pu PENDULE SIMPLE.
Tant l’arc M'Ej car ce temps s’obtiendrait eu retranchant l’équation (o35) de l’équation (236). Enfin, lorsque le mobile s’est élevé jusqu’au point Ji situé .sur le plan horizontal qui passe par le point M où la vitesse est nulle, alors x — b ,
et l’expression arc ^cos — devient arc (cos = —-t) = *,
ce qui change l’équation (237) en
tel sera le temps qtte le' mobile emploiera à parcourir l’arc total ME N. Représentons ce temps par nous aurons
k\ \ JC
Le mobile parvenu -éh N a perdu toute sa vitesse; carence point la vitesse initiale étant nulle ton a * '
cette valeur et ceUe de x fi réduisent l’équation ^ t=> y/lgih + b — *) A .
ds
di
— = 0 . ou à »io,
La vitesse du mobile étant donc épuisée lorsqu’il arrivé en N, la pesanteur doit le faire descendre ; et comme les circonstances initiales au point N sont les mêmes qu’elles.l’étaiont en M, le mobile décrira une seconde oscillation NESI , et ainsi de suite.
370, L’équation (a38) étant indépendante de la constante b qui détermine la distance verticale MK. , qn voit que si le point de dépàrt, au Heu d’être eq M., était en SI', la durée de F oscillation serait la meme ; par conséquent dans l'hypothèse de l’article 366 où les oscillations se font. sur un très petit arc, des mobiles q**i par tentées points diîlêreqs SI, M', SI"; etc.,
(I*î ce petit arc, demeureront sensiblement (*) le même temps a faire leurs oscillations.
B7J . l orsqu on prend des pendules de longueurs différentes, les temps de$ oscillations ne sont pas ies mêmes ; câé nomlnons " et " ,es lo,l»l,eurs Je deux pendules dont les oscillations sont décrites dans les temps T' et T', nous aurons .
ddric ; • • ' 9 .Ç ' 0
. r .• T- : r i 's ÿ-a i ÿaH: ; . ($39).- , ■ r.
Ainsi, connaissant je tenfps T dè l’oscillation d’un pendule, la proportion précédente déterminera la’ longueur dû pendule qui répondrait à un temps arbitraire T', on fera connaître le temps, relatif a un pendule dont la longueur serait a.
37a. Popr déterminer avep' plus de précision le tenips d’une oscillation, voici le procédé que l’on etnploife. Représentons par JV . le jjoinbre d’oscillations que fait le pendule a dans le temps -i y et par N< le nombre d’oscillations que fait le pen- <Uilé a' dans le même tefnps 0 , on a . K • .* ,
dont:
1 St* »’ t
Au moyen de ces valeurs , ^.proportion (a4q) donne
’V' aN* . * ' ' ' V v • • ■ ■*.
. ^0rsv»« P°Vr un pendule. simple (l’une longueur donnée, op connaît donc le nombre d’oscillatiorfs en tmiénips donné,
(t) Pions ’dfeoirii sy,sibti*eM- parcp-qucjc’ort ’en i»'CI (géant une poule quantite (art 366), k,ue l’«quaiion*i68). a élé obtenue. ' ’
DU PP.WtlLE SlMPUt. 233
ortpeuè en conclure la -longueur du pendulo simple qui ferai! se* oscillations dans une . seconde de temps,
3y3. C’est en se fondant sur ce qui précède qu’on a trouvé qtie dans le vide , et à la température de la glace fondante , la longueur du. pendule à secondes (division sexagésimale) qui fait 86,4oo vibrations' dans le jour moyçp, est de .
; ' ' 44o',55q3 = o", ga38,
et que la longueur du pendule décimal , qui (fait 1 00,000 vibrations dans )e jour moyen , à la même latitude, est de .
374* Pour déterminer g', l’équatioit(238) nous dopnera
par conséquent, en faisant dans çette équation ;
T = 1", a 44o/>55g3 , et *■ — 3, 1 4 1 5g26,
c’est-à-dire .• ‘ v . ■ .
on trouvera . • • j.t ■ , t * . - -i
g = 4348' = 3œ*,i95 environ oü g“*>8o85.. *
575. La longueur du pendule à l’équateur, d’après un grand nombre d’observations, a été fixée à o,n, 99 102657. Si dans
l’équation (24 r) on met cette valeur de « et celles de ** et de T
(**) I Vaprès un terme moyen entre plusieurs éprouvés faites' sur le penduledécimal en platine, par M M. lliot, Mathieu et Bouÿaédydans la salle du la- méridienne dp 1 Observatoire, élevée de 70 ™,a5 au-dessus du nivuau de la mer, cos savans ont fixé à om,74'Üoia U longueur de ce péudule, et à o™ ,7419*156 celle qu’il a quand il es) transporté eu niveaqde la mer, à la même latitude. Ces expériences eut toutes ét6 faites dans le vide cl à la température de la glace fondante. ( Voyez lr recueil d’oistiv , géodes., astronom , et plo Su/u., de Mil. Biol et Arago.) '
Fig. 178.
* ft>
2^4 A OÏKAMIQllE,
données par l’art. 3^4 » on trouvera, par la gravité (à l’équateur
376. Si g et g7 sont les- gravités Natives aux pendules a et V, qui font l&rs oscillations dans les temps T- et T', comme eèlaarrive lorapte les pendule^ sont iitHés I differentes latitudes, on aura ‘ •' * ■ ’* J
d’où l’on tirera - . . .
Soient N et N' les nombres d’oscillations que font ces pehdules dans un même temps 0 ^ .T et T' seront donnés en fonor tion de 6 par les équations (2^0}; substituant leurs valeurs dans cette proportion, et supprimant lé facteur commun 0, on
aura * „ : ' r' ' •*
SI le pendule est le même dans les deux lieux / on a a' = a , et la proportion précédente nous donné ' • - •
De la force centrifuge.
^ 877. Lorsqu’un mobile se meut autour d’ua, centre frteC, et décrit la courbe LMK (fig. 178), s’il était libre, il s'échapperait en vertu déjà loi d’inertie, suivant la tangente LT à la courbé; /nais si l’ofr guppose maintenant qu’au Keü d’ètre libre , . il soit retenu par le centre .C , le mobile abandonnera la direction delà tangente LT et arrivera en M. Or, ri l’arc LM est infiniment petit, l’angle LCM.le sera aussi; pOr conséquent
# DK LA KOttCE CXKTJUFUCE. • 235
on devra regarder les droites LG et MC comme parallèles. Dans
ce cas, on pourra donc remplacer CM par la parallèle à LC menée par le j>oint M , c’est-à-dire par MC'; alqrs le centre fixe sera considéré comme si, au. lien d’être situé en C, il était en C'. Cela posé, puisque le mobile livré à lui-même devrait être à FextrémitéÜ du parallélogramme infiniment petitjLNMD, tandis que lorsqu’il est retenu par le centre fixe, il est arrivé en M, Fefletde la force qui l’attire vers C' sera donc mesuré par MD. D’une autre part, la droite inflexible menée par le centre fixe au mobile, Réprouvant une tension qjje parce que le mobile résiste à la force qui l’attire vers ce centre , cette tension sera aussi mesurée par MD. C’est cette force qui écarterait le mobile du centre fixe, si l’action de ce centre cessait d’agir.
Cette tension est. la forcé centrifuge; elle est égale et direêtement opposée à la force qui sollicite le mobile vers le centée, et qu’on appelle la force centripète.
D’après ce qui précède, on voit que la force centrifuge n’est
autre chose qne celle que nous avons représentée par —
(art. 35 1 et 352).
378. Pour déterminer directdhient l’expression de fa force Fip. 179. centrifuge, nous pouvons remplacer l’arc infiniment petit LM par la corde du cei*cle osculateur ait pojnt L' ( fi g. 1 79) , et représenter l’effet de la force centrifugé par lé sinus verse LPJ.
Cela posé, d’après la propriété du cercle, noos avons
LN:M£::ML:ï,rë,. .
ou, en substituant l’arc à 4 corde, •
dune
LN : ds : : ds :,2y;
LN="; ‘ 2v
et, en mettant ‘‘dt à ta place de ds, on .trouvera
Examinons si noms ne pouvons pas trouver une autre expression de LN. Pour cela, remarquons que le temps employé par ig. 178. le mobile à venir de L en Mi (fig. 178), est le même que celui ' que la force* centrifuge met à produire l’eflet LN. Or, quand l’espace; parcouru par le mobile est l'arc LM le temps
correspondant à ds sera dt. D’où il suit que LN est Ueflet de la force centrifuge dans l’instant dt. Pour évaluer cet effet, il faut observer que la force centrifuge agit- continuellement et conserve toujours la même intensité à chaque impulsion qu’elle donne au mobile, parce qu’elle est directement Opposée à la force Centripète qui le retient et qui lui oppose à chaque instant la mèmè résistance.
La force centrifuge doit donc être considérée comme une force accélératrice constante. Ainsi , en représentant par /l’effetde cette force dans l’unité de temps, nous regarderons/ comme constante dans les équations . ' ,
dv . de * ’ , ■ •' ' .
-3t=f: dt=v’
. en intégrant œs équations, nous trouverons .
• v-t-Jf e = ±t' .'/.
Or, l’espace LN étant celui qui correspond autetqps dt qui a commencé à s’écouler depuis que le mobile était en L, il faudra, lorsque e deviendra LN, qye / se changé en dt dans l’équation précédente, et alors on trouver^ '• '
. IN xr jrft' ./.
Mettant cette valeur de LN dafts l’équation (?.42) el réduisant, nous obtiendrons . ’ ■
