DE L’ÉLASTICITÉ. - CHAP. III

la force de torsion qui les produit soit proportionnelle hl'angle de torsion. Cette vérité fondamentale pourrait aussi se démontrer directement par l’expérience : il suffirait pour cela de remarquer que la force avec laquelle le magnétisme de la terre tend à ramener une aiguille aimantée dans le méridien magnétique, est évidemment proportiorfnelle au sinus de l’angle que cette aiguille fait avec le méridien , ou à l’angle lui-même s’il ne dépasse pas 8 ou io°. Ainsi , une aiguille aimantée horizontale étant en repos dans la balance de torsion, et Lien dirigée dans le plan du méridien magnétique ( n° 3 1 2 ) , il faudra pour l’en écarter de 3° par exemple, tourner le micromètre supérieur de 47% et le tourner de 94 pour l’en écarter de 6°. Dans le xer cas, l’angle de torsion est de 47 — 3=44° 1 et dans le 2C cas, il est de q4 — 6=88. Mais la seconde force de torsion doit être double de la première puisqu’elle balance une force magnétique dont l’effet est double. Donc la force de torsion est proportionnelle à l’angle de torsion.

3° Les durées des oscillations sont entre elles comme les racines carrées des poids qui tendent lejil.

Cette vérité ne peut être constatée avec une grande exactitude, que sur les fils qui ont en même temps assez de souplesse pour être tendus par un poids très-faible, et assez de ténacité pour supporter un poids considérable sans être étirés. Car on peut alors , entre ces deux limites , prendre despoids qui soient entre eux , par exemple , comme les nombres 1, 9, 16, 25, et reconnaître par des os¬

cillations analogues aux précédentes, que les durées des oscillations sont entre elles comme les nombres 1 , 2,3, 4 5 5, etc.

Il est à peine nécesssaire d’ajouter que tous ces poids divers doivent être essentiellement des cylindres de même rayon, ayant aussi des surfaces également polies.

On démontre par les principes de mécanique , que cette 3 loi ne peut subsister qu’autant que la force de torsion d'un

fil reste exactement la même sous les différais poids qui le tendent.

4° Les durées des oscillations sont entre elles comme les racines carrées des longueurs du fil.

C’est-à-dire, que si l’on prend diverses longueurs d’un même Cl, qu’on les ajuste successivement à l’appareil ( Fig. 46), de manière que les longueurs comprises entre les deux pinces soient entre elles comme les nombres i , 4, 9, 16, 25, etc., et qu’on les fasse osciller après les avoir chargées du même poids, les durées des oscillations seront entre elles comme les nombres i , 2, 3, 4, 5, etc.

Puisque la durée des oscillations augmente avec la longueur du Cl, il est évident que la force de torsion diminue , et l’on démontre théoriquement qu’elle diminue comme la longueur du Cl augmente, car cette hypothèse est la seule qui reproduise la loi expérimentale précédente.

Au reste, on peut se rendre compte de cette vérité théorique en observant que, pour un même angle de torsion, l’écartement des molécules est véritablement réduit à la moitié quand la longueur du Cl est double , au tiers quand elle est triple , etc. , et qu’il est tout simple que la force de torsion soit alors réduite à la moitié , au tiers , etc. , puisque cela prouve seulement qu’elle est proportionnelle à l’écartement des molécules, comme on pourrait le supposer a priori.

5° Les durées des oscillations sont en raison inverse des carrés des diamètres des fils.

C’est-à-dire que si l’on prend successivement des Cls de meme substance et de même longueur , dont les diamètres soient entre eux comme les nombres i, 2, 3, 4> et qu’on les fasse osciller après les avoir chargés des mêmes poids , es durées des oscillations seront entre elles en raison inverse des nombres 1., 4? 9? 16, etc.

O11 en conclut par la théorie que les forces de torsion

DE L’ÉLASTICITÉ. — CïIAP. lift 87

sont entre elles connue les quatrièmes puissances des diamètres des fils, car les forces de torsion sont en raison inverse des carrés des temps d’une oscillation.

468. Après avoir rapporté les lois expérimentales de la torsion et les avoir rapprochées des lois théoriques auxquelles elles se trouvent nécessairement liées, il n’est peutêtre pas inutile de donner ici la formule générale qui comprend tous ces résultats. Celte formule est la suivante ;

7T2 Fit1 T1 = -

r. , rapport approché de la circonférence au diamètre 3,14109a.

g, gravité, à Paris, eu 9“, 8088, eu prenant le mètre pour unité de longueur, et la seconde sexagésimale pour unité de temps.

t, durée d’une oscillation évaluée en secondes.

r, poids cylindrique qui tend le Cl.

n, rayon du cylindre dont le poids est r, il doit être évalué en mètres.

f, force de torsion du Cl, c’est-à-dire l’effort .qu’il faudrait exercer à l’extrémité d’un levier d’un mètre de longueur pour le maintenir tordu d’un arc dont la valeur rectiligne serait aussi un mètre en le comptant sur une circonférence d’un mètre de rayon. Ainsi la force de torsion est exprimée par un poids, et elle est évaluée en grammes ou en kilogrammes, suivant que l’on a évalué le poids r au moyen de l’une ou l’autre de ces unités.

Cette formule peut servir à calculer la valeur absolue de la force de torsion, et à mettre en évidence les différons rapports qui existent entre cette force et la durée des oscillations , leur amplitude , le poids cylindrique qui tord le Cl et son rayon.

Par exemple, daus une expérience de Coulomb sur un

fil de fer n° 12, dont le mètre de longueur pesait 1 5g milligrammes, on avait

grammes mètres

La longueur du fil était seulement de om,02o3.

On trouve au moyen de ces données , que sa force de torsion était telle, que pour le maintenir tordu d’une circonférence entière, il aurait fallu exercer un effort de o,sroo968 , ou d’environ 1 centigramme, à l’extrémité d’un bras de levier de 1 mètre de longueur.

La formule précédente s’obtient, en supposant que la force de torsion est proportionnelle à l’angle de torsion , et comme elle exprime que la durée des oscillations est indépendante de l’amplitude , on eu conclut réciproquement que l’expérience indiquant l'isochronisme des oscillations , il faut que la force de torsion soit proportionnelle à l’angle de torsion.

Pour lemême fil tendu par des poids cylindriques r et r', de même rayon, on aurait

7T2PR2 , 7T2 p' R1

x3 = - et y 2 = - - r

2gF 2gF

Et puisque l’expérience donne

On en conclut f=f'; c’est-à-dire que les forces de torsion d’un fil sont indépendantes des poids qui le tendent.

Pour des longueurs inégales du même fil tendues par le même poids, on aurait