CHAPITRE PREMIER

De la catoptrique ou de la réflexion de la lumière .

5i j. De laréfl exion de lalumiere sur une surface plane. Lorsqu’on fait tomber dans la chambre noire un faisceau de lumière solaire l l', ( Fig. 1 44) ? sur un miroir poli de métal mm', on observe en général deux phénomènes remarquables : i° on distingue dans une direction déterminée un faisceau R r' qui semble partir du miroir et qui trace sur les corps qu’il rencontre une image brillante du soleil ; tous les rayons de ce faisceau sont des rayons régulièrement réfléchis; ils ont d’autant plus d’éclat que le miroir est mieux poli ; 2° des divers poiuts de la chambre noire on distingue la portion du miroir sur laquelle tombe la lumière; les rayons id, id', io", etc., qui sont ainsi dispersés dans tous les sens, sont des rayons irrégulièrement réfléchis ; ils ont d’autant plus d’éclat que le miroir est moins poli.

Pour rendre l’expérience plus frappante on peut diriger sur le miroir le souffle de l’haleine ou former près de la surface un petit nuage de poussière , en secouant une

éponge remplie de poudre de lycopode ou de craie pulvérisée.

L’angle lip qu’un rayon incident li fait avec la normale 1 r au point d’incidence 1 se nomme angle d’incidence.

L’angle rip qu’un rayon réfléchi R x fait avec la normale 1 p au point d’incidence se nomme angle de réflexion.

Le plan formé par l’angle d’incidence se nomme plan d'incidence.

Le plan formé par l’angle de réflexion se nomme plan de réflexion.

Ces définitions s’appliquent à tous les rayons incidens et réfléchis 5 mais nous 11e devons nous occuper en ce moment que de Irréflexion régulière , et voici les lois suivant lesquelles elle s’accomplit.

i° Le plan de réflexion coïncide avec le plan d’incidence.

2* L'angle de réflexion est égal à l'angle d' incidence cl situé de l'autre côté de la normale. .

Ces deux vérités fondamentales peuvent être démontrées par une seule expérience que les astronomes ont occasion de répéter souvent et avec des instrumens d’une grande précision.

Autour du centre cfFig. 147), d’un grand cercle vertical v v', se meut une lunette l avec laquelle on observe les étoiles. D’abord , on fait une observation par la lumière directe ed, ensuite on en faitune autre parla lumière e'i r qui est réfléchie sur la surface tranquille d’un vase plein de mercure, et l’on trouve constamment que l’angle d c p est égal à l’angle pco\ Or, les verticales rc et xp' étant parallèles, ainsi que les rayons sd et e'i qui viennent d’une même étoile, il est évident que les angles d c p et r c o' sont respectivement égaux aux angles e,ip/ etp^u, et que par conséquent ceux-ci sont égaux entre eux ; et il

est évident en outre que le plan d’incidence e' i p'coïncide avec le plan de réflexion v1 1 n.

Il n’est pas nécessaire de prouver directement que le rayon ir. provient de e'i, puisqu’au point i il ne peut tomber qu’un rayon parallèle à e d.

Au lieu d’une lunette adaptée au cercle on pourrait se servir, comme les anciens astronomes, d’un simple tube droit , (Fig. t 45) , ou d’une alidade , (Fig. i46), portant deux piaules dont les trous u et v' fussent sur une ligne exactement parallèle au limbe du cercle v v\

Ces deux lois de la réflexion sont tout-à-fait générales et ne souffrent aucune exception ; elles sont vraies pour la lumière naturelle qui nous vient des astres et pour la lumière artificielle que nous pouvons produire par la combustion, par les actions chimiques, la phosphorescence, l’électricité , etc. Elles sont vraies pour la lumière directe et pour la lumière diffuse qui nous fait voir les corps et tou les leurs couleurs diverses; enfin elles sout complètement indépendantes de la nature des substances sur lesquelles la réflexion s’opère, car elles se vérifient avec la même exactitude, sur les métaux et les pierres précieuses, sur les solides et les liquides, en un mot sur tcfutes les surfaces réfléchissantes, quelle que puisse être la matière pondérable qui les compose.

Au moyen de ces principes il est facile de démontrer que les miroirs plans doivent nous faire voir des images des objets, et que ces images sont toujours symétriques des objets par rapport au plan du miroir.

En effet , soit m si/ un miroir plan , (Fig. i48) , et l un point lumineux ; du point l abaissons sur la surface du miroir ou sur son prolongement une perpendiculaire lk que nous prolongerons d’une quantité égale à elle-même; le point l' qui la termine est symétrique du point l. Mais si nous menons une ligne dmen un point quelconque du miroir et une ligne u au même point, les angles lik et

l'ik étant égaux, les angles lip et l'ip' le seront aussi, donc r i p opposé par le sommet à l'ip' sera égal à lip; aussi le rayon qui tombe suivant li doit se réfléchir suivant le prolongement de \J x. Ce^fui est vrai pour ce rayon est vrai pour tous les autres , donc enfin tous les rayons du faisceau réfléchi r i rV sont dirigés comme s'ils partaient du point l' qui est le point symétrique du point l.

Supposons maintenant que l’on place l’œil quelque part en o dans le faisceau réfléchi, et que pp' représente l’ouverture de la pupille. Le petit pinceau de lumière qui tombe dans la pupille est exactement dirigé comme s’il venait du point l'; ainsi par ce pinceau l’œil voit le point lumineux en 1/ sans soupçonner que la lumière vient du point l et qu elle a été brisée par la réflexion en i x'.

Ce raisonnement s’appliquant à chacun des points d’un corps lumineux quelconque, il en résulte que la flamme d’une bougie, par exemple, qui est située en bg, {Fig. 149), doit être vue en b' g', car le sommet s est vu en s', le point b en b', le point g en g', etc. Les corps qui ne sont pas lumineux, mais simplement éclairés, .présentent les mêmes phénomènes, parce que la lumière qui est irrégulièrement réfléchie sur chacun des points de leur surface se propage comme si elle était immédiatement produite par ces points.

Les images ne sont donc pas renversées , comme on le dit quelquefois, mais elles sont symétriques des objets -, ce qui est très-difléi’ent.

Pour construire, en général, une image symétrique d’un corps par rapport à un plan, il faut de tous les points de ce corps abaisser des perpendiculaires sur le plan, et prolonger chacune d’une quantité égale à elle-même; l’ensemble des extrémités de ces perpendiculaires prolongées forme l’image symétrique.

S’il existait des surfaces réfléchissantes parfaitement polies, l’œil ne pourrait ni les distinguer ni même en soup-

’ll'X

çonner l’existence ; car les corps ne sont perceptibles à distance que par les rayons irrégulièrement réfléchis à leur surface, et tous les rayons régulièrement réfléchis font voir les points lumineux<fl’où ils sont sortis et non pas les réflecteurs sur lesquels ils tombent. Si le globe de la lune, par exemple, était poli comme la surface d’un globule de mercure, nous ne pourrions pas le voir en le regardant , mais nous verrions seulement l’image du soleil qui l’éclaire.

Dans le même milieu parfaitement homogène, la lumière peut se mouvoir indéfiniment sans éprouver la moindre réflexion régulière*, mais toutes les fois quelle se présente pour passer d’un milieu dans un autre, elle éprouve à la surface de séparation de ces milieux une réflexion régulière plus ou moins abondante.

Ce passage d’un milieu dans un autre est la seule condition nécessaire et toujours suffisante pour que la réflexion s’accomplisse. Mais il faut bien entendre qu’une même substance n’est pas essentiellement un même milieu à l’égard de la lumière ; dans une masse de verre , par exemple, il peut se trouver des couches contiguës où les molécules offrent des arrangemens différens 5 alors la lumière éprouve une réflexion partielle en passant de l’une dans l’autre. Il en est de même dans les masses fluides , et un pinceau de lumière solaire éprouve un nombre infini de réflexions partielles, avant d’arriver jusqu’à nous, parce qu’il traverse successivement dans l’atmosphère un nombre infini de couches contiguës dont les densités sont différentes.

Si la direction de la lumière réfléchie est déterminée avec une précision géométrique , il n’en est pas de même de son intensité. Sur ce point difficile dont nous nous occuperons à la fin de l’optique, on sait seulement :

i° Que la quantité de lumière régulièrement réfléchie va croissant avec l’angle d’incidence, sans toutefois être nulle quand cet angle est nul $

OPTIQUE. CIÏAP. I. - RÉFiEXrOjü. 523

5° Qu’elle dépend du milieu dans lequel la lumière se meut et du milieu sur lequel elle tombe;

3° Qu elle est très-différente pour des corps de différente nature qui sont placés dans les mêmes circonstances.

Nous citerons quelques exemples à l’appui de ces résultats généraux pour les faire mieux comprendre.

Eu regardant la flamme d’une bougie par réflexion sur un morceau de verre dépoli , on ne distingue pas son image quand l’angle d’incidence est très-petit, mais onia distingue assez nettement quand cet angle est très-grand. On peut même alors la distinguer sur un morceau de bois, ou d’étoffe, ou même sur un morceau de papier noirci au noir de fumée. Ces expériences prouvent en même temps que tous les corps réfléchissent régulièrement une certaine proportionde la lumière qu’ils reçoivent, et que cette proportion va croissant avec l’obliquité des rayons.

Les fragmens de verre poli sont à peine visibles quand ils sont plongés dans l’eau ou dans l’huile , et ils ne donnent alors par réflexion que des images très-obscures des objets, parce qu’au contact de ces fluides la surface du verre réfléchit moins de lumière qu’au contact de l’air.

En disposant parallèlement à côté l’une de l’autre des surfaces liquides et des substances également polies, on distingue une grande différence dans l’éclat des images qu’elles réfléchissent sous la même obliquité; le mercure et l’acier, par exemple , donnent des images bien plus éclatantes que l’eau , l’alcool ou le verre.

5i8. Goniomètre de Wollaston. Les lois de la réflexion de la lumière ont été appliquées à la mesure des angles dièdres des corps polis et particulièrement des cristaux. Les appareils dont on se sert pour cet objet se nomment des goniomètres ; nous décrirons ici la construction du goniomètre de W ollaston comme étant l’un des plus ingénieux et des plus commodes que l’on ait imaginé,

Cet appareil est représenté dans la (Fig, i53); il se com-

LIVRB HUITIÈME.

pose d’un cercle vertical en cuivre v , porté sur un pied p v' et tournant autour de son centre sur l’axe horizontal aa.'. Cet axe est lui-même percé dans sa longueur pour donner passage à un axe plus petit a a' ,• le frottement qui existe entre eux est assez grand pour que le mouvement de l’un entraine l’autre s’il n’est, arrêté. L’axe a a' est terminé d’un côté par un bouton et de l’autre par un système de pièces qui peuvent exécuter trois mouvemens rectangulaires. Le cristal dont on veut mesurer l’angle s’ajuste avec de la cire molle sur l’extrémité c de la pièce q que l’on peut appeler la queue de l’appareil.

On dispose le goniomètre sur une table solide à i5 ou 20 pas d’une fenêtre ou d’un objet qui présente au moins deuxlignes horizontales h et h', la première étant un peu plus élevée que la seconde. L’axe doit être à peu près parallèle à ces lignes et le limbe très-exactement vertical. Alors on approche l’oeil et l’on tourne le cristal jusqu’à ce que l’on aperçoive sur l’une de ses faces l’image de la ligne h. Ensuite on fait des essais en tournant le cristal on les pièces qui le portent, jusqu’à ce que cette image soit horizontale; c’est unecondition indispensable, et l’on parvient à la remplir exactement en regardant à la fois l’image dont il s’agit, et la ligne h' qui n’est là que pour servirde vérification, (Aï;". i5a).Cela fait, on estassuréque cette première face du cristal est horizontale, et l’on amène la seconde face pour la soumettre à la même condition r en combinant les divers mouvemens des pièces mobiles. Enfin, l’on tourne l’axe a a' pour amener successivement chacune des faces du cristal devant l’œil et vérifier ainsi l’horizontalité de leur arête commune; car cette arête sera horizontale si par le seul mouvement de l’axe aa\ l’image delà ligne h estliorizontale sur la première comme sur la seconde face. Alors, on met le zéro du limbe divisé v \' sur le repère fixe f, 011 tourne de nouveau l’axe a a' pour faire coïncider l’image réfléchie de h avec l’image

directe de h', et sans toucher à l’axe a a', on fait tourner le limbe jusqu’à ce que l’image dcHviennese réfléchir sur la secondeface etde nouveau coïncider avec h'. L’arc décrit par le limbe est le supplément de l’angle dièdre du cristal.

5ig. Réflexion sur deux plans parallèles. Le point p (Fig. i5o)se trouve entre deux miroirs parallèles m et m', et l’œil, placé en o , aperçoit derrière le miroir m un grand nombre d’images dont on peut facilement se rendre compte. Les rayons qui tombent directement sur m forment une image en A 5 ceux qui tombent directement sur m' forment une image en a\ Ces derniers rayons, après leur réflexion, sont donc comme s’ils partaient du point k', et en venant tomber sur le miroir m ils forment une image qui se trouve en b (le pointB étant symétrique (5 1 y) de a' par rapport à m). Derrière m' il y a pareillement.une image en c (le point c étant symétrique de A par rapport à m'). Les rayons qui ont éprouvé une première réflexion sur m et une deuxième réflexion sur m' reviennent donc de nouveau enmc 5 ils sont comme s’ils partaient du point c, et donnent par conséquent une image en d (le point d étant symétrique de c par rapport à m) , etc.

On comprend comment les réflexions successives font apercevoir un nombre indéfini d’images de plus en plus sombres et espacées suivant une certaine loi qu’il serait facile d’exprimer algébriquement.

Si l’on voulait distinguer parmi les images celles qui résultent d’une première réflexion sur m et celles qui résultent d’une première réflexion sur m', on pourrait placer entre les miroirs un corps qui serait rouge, par exemple, du côté de m , et bleu du côté de m'*, alors d’un côté toutes les images seraientalternativement rouges et bleues et de l’autre alternativement bleues et rouges.

5io. Réflexion sur deux miroirs inclinés. Les phérfomènes précédons se reproduisent entre deux miroirs inclinés, avec cette différence que le nombre des images visibles est

LTVHE nüITIKMK.

alors dépendant de l’angle des miroirs. Il suffira d'examiner le cas où les miroirs font entre eux un angle droit; ai c (Fig. 1 0 x ) représente la coupe du premier, et ai'c celle du second; du point c de leur intersection commune on a décrit une circonférence de cercle a ai ai'. Un objet placé en A fait une image en b par la réflexion sur ai c , et une image en b’ par la réflexion sur ai'c ; de plus, les rayons cpii ont subi une première réflexion sur aic et qui retombent sur ai'c donnent une image en n (le point d étant symétrique de b par rapport à ai' c), et ceux qui ont subi une première réflexion sur m'c et qui retombent sur aic donnent une image au même point d (puisque ce point est aussi le symétrique de b' par rapport à aic). Il en résulte que si l’on place l’œil à l’un des bouts des miroirs et près de leur intersection commune pour recevoir en même temps les rayons directs et ceux qui ont éprouvé une ou deux réflexions , on verra quatre images du point A, savoir l’image directe en A, puis les images réfléchies en b, b' et n.

C’est sur ceprincipe que l’on construit le kaléidoscope, instrument ingénieux, imaginé pas M. Brewster, et qui est maintenant employé avec succès dans plusieurs arts, pour obtenir des dessins bizarrement variés et cependant toujours symétriques.

Pour avoir, par exemple, 5, 6. ..20 images du même point, il suffit de donner à l’angle des miroirs-j-, -7-...-^ de circonférence; mais si cet angle était, par exemple, irz au lieu de ~ il est facile de voir qu’il n’y aurait plus de symétrie dans les images.

521. RéJI exion sur les miroirs courbes. On adopte eu optique ce principe fondamental, que la réflexion se fait en un point quelconque d’une surface courbe, comme elle se ferait sur le plan tangent en ce point. Nous verrons tout à l’heure que ce principe est en effet confirmé par de nombreuses expériences, mais l’on pourrait aussi le

démontrer directement par la théorie. Il en résulte que les lois générales, dont nous avons établi l’exactitude (517), s'appliquent sans restriclion à toutes les surfaces, quelle que soit leur courbure, et que tout se réduit à trouver pour chaque point la direction du plan tangent ou de la normale, ce qui est simplement uu problème de géométrie.

Ainsi, un pointlumineux, placé au centre d’une sphère creuse et polie à l’intérieur, enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et chacun de ces rayons serait réfléchi sur lui-mème et reviendrait directement au centre après la réflexion. De même, un point lumineux placé à l'un des foyer d’un ellipsoïde enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et tous ces rayons iraient par les réflexions se réunir et se concentrer en l’autre foyer; puis en continuant leur route, ils retourneraient au premier foyer après une seconde réflexion , reviendraient au second foyer après une troisième et ainsi de suite.

Un pointlumineux placé au foyer d’un paraboloïde enverrait des rayons qui seraient tous réfléchis parallèlement à l’axe et s’en iraient se perdre à l’infini ; réciproquement, un point placé à l’infini comme une étoile, et sur l’axe d’un paraboloïde , enverrait des rayons qui viendraient tous se concentrer au foyer.

C’est par des considérations analogues que l’on peut expliquer les irrégularités et les accidens singuliers que présentent les images des objets lorsqu’elles sont réfléchies par des surfaces courbes. Par exemple, l’image d’une étoile n’est qu’un point brillant lorsqu’on la regarde par réflexion sur la surface d’une eau tranquille , et elle devient une longue traînée lumineuse ou une grande tache brillante contournée de mille manières lorsqu’on la regarde par réflexion sur une surface ondulée. La ligne menée dé l’œil à l'étoile peut être prise pour l’axe d’une multitude de paraboloïdes dont l’œil est le foyer, et, dans le premier cas, un seul de ces paraboloïdes pouvant être tangent à la surface

aît8 UVRE HUITIÊMÊ.

plane réfléchissante, on n’a qu’une seule image de l’étoile qui est formée parla lumière réfléchie au point de tangence; dans le second cas , un grand nombre de ces paraholoîdes peuvent être tangents en divers points de la surface courbe réfléchissante, et alors on voit autant d’images, chacune étant formée par la lumière qui se réfléchit en l’un des points de tangence.

Quand l’objet n’est pas à l’infini, il faut construire des ellipsoïdes dont l’objet et l’œil sont les deux foyers.

522. Réflexion sur les miroirs sphériques. Nous devons discuter en détail la réflexion de la lumière sur les surfaces sphériques , parce qu’elle est le principe de la construction de plusieurs instrumens qui sont d’un grand intérêt pour la science.

Si l’on imagine une sphère dont l’intérieur soit trèspoli et qu’on la coupe par un plan , on en détache une calotte qui est un miroir sphérique concave. Ce serait un miroir sphérique convexe si la sphère était polie en dehors.

F ouverture du miroir est l’angle des deux rayons c m et c m' menés aux bords opposés de la calotte {Fig. i54)j cet angle ne doit pas dépasser 20 ou 3o°.

Le diamètre du miroir est la ligne mm' qui joint deux bords opposés de la calotte.

L'axe du miroir est la ligne A c menée du centre de la calotte au centre de la sphère.

Le point A s’appelle aussi le centre défiguré du miroir et le point c son centre de courbure.

On démontre par le calcul, et l’on peut constater aisément par une construction graphique, que tous les rayons de lumière envoyés sur le miroir, par un point quelconque l de l’axe, vont après la réflexion concourir en un même point F qui est aussi placé sur l’axe {Fig. i55).

Ce phénomène n’a lieu toutefois que dans les miroirs bien travaillés, dont l’ouverture ne dépasse pas 20 ou 3o°.

OPTIQÜE. f— CH AP. I. RÉFLEXION. 2 2C)

Si l’ouverluro était plus grande, les rayons qui tomberaient en b, par exemple, ne viendraient plus concourir en f; l’image ne serait plus nettement terminée, et il y aurait alors ce qu’on appelle une aberration de sphéricité.

Le point f se nomme le foyer du point l , et ces deux points considérés relativement se nomment foyers conjugués , parce qu’il est évident que si le point lumineux était en F il formerait son foyer en l.

Les mêmes démonstrations et les mêmes conséquences s’appliquent à un point 1/ situé hors de l’axe d’une manière quelconque; seulement , il faut alors, par ce point et par le centre de courbure c, mener une ligne i/c a' que l’on nomme axe secondaire , et c’est à. l’égard de cet axe secondaire que les phénomènes se produisent ; c’est-à-dire que les points 1/ et f' sont situés sur lui comme les points L et f l’étaient tout à l’heure sur l’axe principal.

Cependant il importe de remarquer que les points situés hors de l’axe principal sont soumis à une restriction : quand l’axe secondaire qui leur correspond fait avec l’axe principal un angle plus grand que dix ou quinze degrés , leurs images ne sont plus régulières et nettement définies, et il y a une aberration de sphéricité, comme si le miroir avait trop d’ouverture. On dit alors que ces points sont hors du champ du miroir.

Quand le point lumineux s’éloigne du miroir, son foyer s’en approche et vice versa. Les lois suivant lesquelles ces cliangemens s’opèrent constituent toute la théorie des miroirs pelles sont heureusement exprimées par une foiv mule très-simple que nous allons discuter.

Cette formule est la suivante :

R, rayon de courbure du miroir ainsi cette quantité reste constante pour le même miroir.

b , distance du point lumineux ou de l'objet au miroir. M , distance du foyer ou de l’image au miroir.

Ces distances sont toujours comptées sur l’axe principal ou sur l’axe secondaire correspondant au point lumineux. Ainsi dans la Fig. i55 , pour le point l on aurait b = u et M.= FA.j et pour le point F on aurait b = il F et

Voici le tableau des valeurs les plus remarquables que l’on peut donner à b et des valeurs correspondantes deM.

i°. . . b — co : .... m =-

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