Franges produites par des ouvertures étroites

A quelque distance de la lentille qui concentre la lumière dans les expériences précédentes, on dispose une mince feuille de métal dane laquelle est pratiquée une fente rectangulaire très-étroite et parallèle à la ligne lumineuse du foyer F. Alors la portion de lumière simple qui passe au travers de la fente produit les phénomènes suivans:

t° Le faisceau est très-dilaté, c’est-à-dire qu’il occupe un espace beaucoup plus large que l’espace géométrique compris entre les deux lignes qui joignent le point lumineux aux deux bords de la feu te.

20 L’espace occupé par le faisceau présente dans toute sa largeur des franges alternativement sombres et brillantes ; ces franges sont symétriquement distribuées de part < t d’autre de la ligne qui passe par le point lumineux et par le milieu de la largeur de l’ouverture ; ainsi en les comptant à partir de celte ligne qui est comme X axe de l’ouverture, on aura deux franges du premier ordre, deux du deuxième ordre, deux du troisième ordre, etc. 5 on observe souvent les franges sombres du huitième ou même du neuvième ordre.

3° La lumière rouge produit les franges les plus larges et les plus espacées ; les autres couleurs simples donnent des franges qui se rapprochent et sc resserrent progressivement ; de telle sorte que les franges violettes sont beaucoup plus serrées que les rouges.

La figure 267 représente en a les franges du rouge, en v celles du vert, et en u celles du violet; ces trois espèces de franges étant observées à la même distance, et produites avec la même ouverture , placée à la même distance du point lumineux et du foyer f de la lentille.

Ce troisième fait est encore une découverte de Grimaldi (prop. i, no a5 et suiv.).

Les (ranges de cette espèce se propagent aussi suivant des hyperboles, comme on peut s’en assurer au moyen du micromètre dcFresnel, en mesurant l’écartement de deux franges du même ordre à diverses distances derrière l’ouverture.1

La largeur de l’ouverture et sa distance au point lumineux déterminent la grandeur des franges , leur nombre et la courbure de la ligue suivant laquelle elle se propagent.

Pour étudier avec précision les lois de ces phénomènes, on peut employer avec avantage l’appareil à biseaux qui est représenté dans la lig. 268. Il se compose d’une espèce de châssis en cuivre cc', et de deuxlames a et a' taillées en biseau et parfaitement dressées. La lame A est fixe, et la lame k' est entraînée par la vis mitrométrique v. Le pas de la vis étant connu, et sa tête étant divisée en 100 parties, on peut facilement produire entre les biseaux un écartement donné, depuis quelques centièmes de millimètre jusqu’à plusieurs centimètres. Pour donner une juste idée de l’étendue dans laquelle se développent les franges produites par la diffraction que la lumière éprouve dans les ouvertures étroites, nous avons rapporté dans le tableau suivant la distance des franges sombres des cinq premiers ordres à l’égard de l’axe de l’ouverture 5 ces franges étant produites par la lumière rouge, dans une ouverture de 1 millimètre, et reçues à des distances croissantes par décimètre depuis i jusqu’à 20 décimètres. La plupart des nombres indiqués dans ce tableau sont des résultats d’expériences.

Tableau des distances entre les franges sombres de divers ordres et l’axe de l’ ouverture pour diverses distances du micromètre , depuis ioo à 2000 millimètres. La largeur de l’ouverture = i inill. ; la distance au point lumineux = 20iomill.

Lumière rouge.

Dislance du

micromètre

Premier

Deuxième

Troisième

Quatrième

Cinquième

à l'ouverture.

ordre.

ordre.

ordre.

ordre.

ordre.

IOO

°,og3

3oo

4oo

5oo

6oo

I IOO

i3oo

i5oo

igoo

Au moyen des données contenues dans ce tableau , on pourrait reconstruire par points les lignes que suivent les franges, et prendre ainsi une notion parfaitement exacte du phénomène.

La lumière naturelle , en tombant directement sur des ouvertures quelconques , produit des effets analogues, mais qui se compliquent de plus en plus avec les divers

acciclens de courbure et les irrégularités que présentent les ouvertures.

576. Des franges produites par les bords des surfaces réfléchissantes.

A une distance quelconque du foyer f, où la lumière simple est concentrée, on dispose un miroir plan de métal, qui renvoie les rayons obliquement dans l’ombre, on observe alors le faisceau réfléchi et l’on y découvre les apparences suivantes.

i° Les rayons qui sont tombés sur les bords du miroir, aux limites de sa surface polie, et qui se sont réfléchis en faisant l’angle de réflexion égal à celui d’incidence , ne séparent pas l’ombre de la lumière, comme ils sembleraient le devoir faire.

2° Si le miroir est large, on distingue dans l’intérieur du faisceau réfléchi des franges alternativement sombres et brillantes , semblables à celles que présente le bord de l’écran dans la figure 264.

3° Si le miroir est très-étroit, les franges ne se montrent pas seulement dans l’intérieur du faisceau réfléchi, mais elles paraissent aussi au dehors, et deviennent semblables à celles que l’on observe dans le faisceau qui a passé par une ouverture étroite.

Ces phénomènes se produisent comme les précédens , avec la lumière blanche, et alors les franges sombres et brillantes se transforment aussi en franges colorées de diversesnuances; ils se produisent encoreavec la lumière naturelle non concentrée au foyer d’une lentille ; dans ce cas, les franges colorées dépendent particulièrement du degré de divergence des rayons incidens. La forme du miroir, sa grandeur, les courbures de son contour, et l’obliquité sous laquelle il reçoit la lumière , sont autant de circonstances qui influent sur le nombre, la forme et la disposition des franges. En choisissant un miroir de métal, nous avons réduit le phénomène à sa plus grande simplicité ,

diffraction et INTERFÉRENCES. — ? CHAP. VI. 387

caria première surface d’une glace étaméc modifierait les re'sulials produits par la seconde.

Les franges produites par les bords des surfaces réfléchissantes ont été, je crois, observées et étudiées pour la première fois dans la série des expériences de dilfractiou que nous avons faites avec M. Biol. (Traité de pliysiq. de M. Biot, l. iv, supplément).

Après avoir exposé d’une manière générale les quatre phénomènes fondamentaux de la diffraction, savoir , la production des franges par les bords des écrans, par les corps étroits, par les ouvertures étroites et par les bords des surfaces réfléchissantes, nous pouvons essayer de discuter les principes sur lesquels repose la théorie de la diffraction et sur lesquels repose en même temps le sj-stème des ondulations; cette importante discussion peut être réduite aux trois propositions suivantes:

i° Sous certaines conditions les rayons lumineux exercent les uns sur les autres une action mutuelle.

20 De celte action résulte rigoureusement le principe des interférences , principe fécond , auquel semblent soumis tous les phénomènes de l’optique.

3° Le principe des interférences semble inévitablement conduire au système des ondulations.

De T action mutuelle des rayons homogènes et du principe des interférences.

677. Expérience de Grimaldi. Dans l’ouvrage de Grimaldi déjà cité, on trouve le passage suivant ( proposit . 22, pag. 187):

« Proposition : Un corps actuellement éclairé peut de- » venir plus obscur, lorsqu'on ajoute une nouvelle lu- » mière à celle qu’il reçoit déjà. Cette proposition est « un paradoxe qui semblera d’abord toul-à-fait improba- » ble, car la propriété caractéristique de la lumière est

» d’éclairer les corps quelle frappe, et non de les obscur- « cir. Ce paradoxe est cependant une vérité certaine, à » laquelle on peut donner le plus haut degré d’évidence » par uneexpérience facile, bien qu’à ma connaissance elle » n’ait été faite par personne. »

Voici une courte- description de l'expérience de Grimaldi ; elle prouve en effet sa proposition d’une manière décisive , et elle est, comme il le dit , tellement facile que tout le monde peut la faire.

La lumière solaire réfléchie horizontalement entre dans la chambre noire par deux petits trous ronds qui sont égaux , et assez éloignés l’un de l’autre pour que les deux faisceaux coniques ne commencent à se pénétrer qu’à une certaine distance. Un peu au delà du point où ils se pénètrent, on les reçoit perpendiculairement sur un tableau ou sur un carton blanc. Soit abcd (Fig. 269J, le cercle produit par le premier, aecf le cercle égal produit par le second, et afcd le segment commun. Dans cet état, on observe: i 0 que le segment commun afcd est bien plus éclairé dans son intérieur que ne le sont les portions correspondantes , vers eg ou vers hb, ou dans toute autre partie du contour où il n’y a pas superposition.

2° Que les arcs adc et afc sont d’une obscurité remarquable , quoiqu’ils reçoivent beaucoup plus de lumière que le reste de la circonférence dont ils font partie.

Maintenant, si l’on ferme la première ouverture pour qu’elle n’envoie plus de lumière sur le segment adfc du second cercle , les points situés en adc et en afc privés de cette lumière, reprennent un nouvel éclat. Il en est de même lorsqu’on ferme la seconde ouverture , en laissant ouverte la première, les points situés en adc et en afc privés de la lumière que leur envoyait la deuxième ouverture, deviennent beaucoup plus éclatans.

Donc, dans ces circonstances , de la lumière a joutée à de la lumière, produit de l’obscurité 5 et réciproquement

DIFFRACTION TT INTERFÉRENCES. — - » CFÎAP. •'». 38<)

une surface obscure devient lumineuse, quand on lu.! ôte une partie do la lumière (^ui l’éclairait.

Les arcs adc et afc , présentent des traces de coloration quand ils sont obscurs , c’est-à-dire quand ils sont éclairés par les deux ouvertures à la fois ; ce phénomène de production de coureur n’avait pas échappé à la sagacité deGrimaldi.

5^8. Expérience du f)r Young sur les franges produites par doux petites ouvertures.

Quand la lumière solaire, après avoir traversé un verre coloré , entre dans la chambre noire par deux fentes étroites ou par deux ouvertures circulaires, plus petites et plus rapprochées que celles de l’expérience précédente, on reconnaît que les faisceaux en se pénétrant, produisent des franges alternativement sombres et brillantes (Fig. 270), tout-à-fait analogues aux franges produites par la diffraction. Mais si l'on ferme successivement l’une ou l’autre des ouvertures, les franges disparaissent, et, dans l’espace qu’elles occupaient, les alternatives de lumière et d’obscurité sont remplacées par une teinte lumineuse à peu près uniforme. Ainsi, en supprimant la lumière envoyée par l’une des ouvertures , 011 supprime l’obscurité qui se produisait entre les espaces brillaus ; donc cette obscurité résulte du concours de deux lumières qui viennent se rencontrer obliquement, l’une venant de la première ouverture, et l’autre de la deuxième.

LeDr Young avait annoncé que dans cette expérience, les franges se propagent suivant des hyperboles (yt course of lectures on natural philosophy , etc., London, 1807; t. 1, pag. 4&>-, et explication des planches, pag. 787, fig. 442)* Mais il parait que dans aucune de ses recherches si remarquables sur l’optique, il n’avait constaté ce fait par des mesures directes.

579. Expérience du D' Young sur les franges intérieures produites dans l ombre des corps déliés.

Un petit faisceau de lumière blanche, réfléchi horizon -

3gO LIVRE HUITIÈME.

talement par un miroir , pénètre dans la chambre noire par un trou percé avec la pointe d’une fine aiguille, dans une carte ou dans une feuille d’étain; à quelque distance de l’ouverture on place verticalement un fil ou une petite bande opaque pp' {Fig. 271), qui ait moins d'un millimètre de largeur ( 1 /3o de pouce anglais). Les franges intérieures paraissent alors sur le tableau tt; celle du milieu est blanche , et de chaque côté on en compte trois rouges qui sont séparées par diverses nuances. Alors , si l’on place au devant de pp' un petit écran c pour arrêter seulement la lumière qui allait raser l’un des bords , toutes les franges intérieures disparaissent tant à droite qu’à gauche de la frange centrale blanche. {A course of lectures, etc., t. 2, pag. 63g.)

Le même phénomène se produit en mettant l’écran à une petite distance derrière pp’ , seulement il faut alors le plonger un peu dans l’ombre géométrique.

Avec lalumière simple, les franges sont alternativement sombres et brillantes, et l’interposition de l’écran près d’un seul des bords de pp', fait pareillement disparaître toutes les franges intérieures.

Donc ces franges sont produites par le concours des rayons qui rasent les deux bords du corps opaque, et par conséquent ces rayons de lumière exercent une action l’un sur l’autre.

58o. Expérience de M. Arago sur les modifications remarquables que les écrans transparais peuvent imprimer aux franges.

Dans l’expérience précédente, Fig. 271 , on substitue à l’écran c une lame de verre très-mince et à faces parallèles ; alors , suivant que cette lame est plus ou moins épaisse , on voit les franges éprouver des modifications différentes. Pour une certaine épaisseur, elles se déplacent d'un rang, c’est-à-dire que la frange centrale avance de m vers t', et la première frange sombre de ce côté vient occuper la

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES. — C.nAP. VI. 89!

place qui était occupée par la seconde, celle-ci prend la place de la troisième, etc. : de l’autre côté de si c’est l’inverse j la troisième frange prend la place de la seconde, la seconde prend la place de la première, et celle-ci s’avance vers le lieu qui était occupé par la bande centrale. Pour une autre épaisseur de la lame transparente un peu plus grande que la première, le déplacement est de deux rangs, puis de trois , puis de quatre , etc. -, enfin, pour des épaisseurs plus grandes , toutes les bandes intérieures sont déplacées et transportées hors de l’ombre géométrique ; et là, sous certaines conditions, il est facile de les observer encore parmi les franges extérieures qui n’éprouvent que de légères modifications.

11 est bien entendu que, pour des épaisseurs comprises entre les précédentes, les déplacemens sont compris entre ceux que nous avons indiqués, et dont nous avons parlé de préférence pour mieux fixer les idées. O11 obtient des effets analogues en mettant des lames transparentes de différentes épaisseurs devant chacun des bords du corps opaque ; alors les déplacemens ne sont plus produits par les épaisseurs absolues de ces lames, mais seulement par leurs différences. ( Annales de physique et de chimie, t. x,

PaS- I99* )

Cette expérience de M. Arago est fondamentale; elle nous conduira plus tard à déterminer la vitesse de la lumière dans les difierens milieux, et à reconnaître les effets des rayons diversement polarisés ; mais, pour le moment, nous nous bornerons à en conclure, i° que les franges sont bien réellement produites parle concours des rayons venantdes deux bords opposés ; et 20 que l’action mutuelle des rayons ne dépend pas seulement d’une modification particulière qu’ils éprouveraient aux limites des corps qu’ils rasent dans leur course, mais que cette action dépend aussi des divers milieux qu’ils ont traversés, depuisla source d’où ils émanent jusqu’au point où ils se rencontrent.

58 1. Expérience de Fresnel sur les franges produites par la rencontre des rayons réfléchis.

Deux miroirs métalliques plans sont disposés verticalement à côté l’un de l’autre (à peu près comme les feuillets d’un livre ouvert), de manière qu’ils fassent entre eux un angle très-obtus. (La Fig. 272 représente une coupe horizontale des miroirs et du faisceau de lumière qui sert à l’expérience.) Au devant de ces miroirs, une lentille d’un court foyer A concentre en f un faisceau de lumière homogène et dirigé horizontalement. Le cône divergent qui en résulte tombe en partie sur le miroir m et en partie sur le miroir m' 3 les rayons, après s’être réfléchis, loin de V intersection des miroirs, et loin de leurs bords , viennent se rencontrer dans l’espace, et là ils forment des franges alternativement sombres et brillantes , que l’on peut observer avec une loupe ou avec le micromètre précédemment décrit, Fig. 265 et 265 bis. Ces franges présentent les caractères suivans :

i° Elles sont parallèles à la commune intersection des miroirs ;

20 Elles sont symétriques de part et d’autre du plan lgl', qui passe par cette intersection commune et par le milieu de la ligne p v' qui joint les images du point f sur chacun des miroirs ; la frange centrale qui est sur ce plan est toujours une frange brillante.

5e Elles se propagent suivant des hyperboles , dont les foyers sont en p et p' , cl dont le centre commun est en l.

4° Si l’on couvre l'un des miroirs, ou si l’on arrête avec un écran la lumière qui tombe sur sa surface, toutes les franges disparaissent.

5° Si le faisceau réfléchi par l’un des miroirs traverse une lame transparente à faces parallèles, soit avant , soit après la réflexion, toutes les franges sont déplacées, conformément aux lois découvertes par M. Arago (expérience précédente) 3 lorsque chacun des faisceaux traverse une lame

DIFFRACTION ET INTERFERENCES. — CI1AP. VI. 3q3

de même substance, cc n’est plus en raison des épaisseurs absolues, mais de la différence des épaisseurs de ces lames que le déplacement a lieu.

On peut dire que cette expérience porte au plus haut degré d’évidence la vérité fondamentale qu’il s’agit de démontrer ici , savoir : que deux rayons de lumière , émanés d’une même source, et qui se rencontrent sous une petite obliquité, exercent l’un sur l’autre une action mutuelle, de telle sorte qu’ils peuvent alternativement sc détruire en totalité ou s’ajouter pour doubler leur éclat. Car le phénomène en sc produisant par réflexion sur les miroirs se montre dans toute sa pureté et se trouve dégagé de toutes causes accidentelles. L’esprit le plus sévère et le plus difficile à convaincre ne peut plus rccourirà des actions inconnues qui pouvaient être invoquées avec plus ou moins de raison dans les expériences précédentes : on pouvait supposer qu’en rasant les extrémités des corps la lumière éprouve des modifications particulières 5 et, de cc que ces modifications ne sont pas déterminées, on ne serait pas en droit de conclure absolument qu’elles ne peuvent pas produire les franges intérieures et les^ autres effets observés. Mais dans l’expérience de Frcsnel la lumière n’éprouve aucunement l’influeuce des bords ; elle est réfléchie suivant les lois ordinaires, et c’est le concours de deux rayons simplement réfléchis qui produit alternativement une lumière double en éclat ou l’obscurité complète.

Cette vérité, soupçonnée par Grimaldi , admise et posée en principe par leDryoung, se trouve désormais établie sur des bases solides par l’expérience de Frcsnel et par celle de M. x\rago. Nous allons maintemant montrer comment le principe des interférences s’en déduit d’une manière rigoureuse.

582. Principe des interférences. Ce principe général peut être énoncé de la manière suivante :

Deux rayons homogènes , émanés d’une même source ,

ajoutent leur éclat quand ils se rencontrent sous une petite obliquité, après avoir parcouru des chemins dont la

différence est o, — , — — , - — , c’est-à-dire un nombre

pair de demi-valeurs de d; au contraire, ils se détruisent et produisent l’obscurité quand ils se rencontrent après

cl 3 d

avoir parcouru des chemins dont la différence est — , — ,

— , etc. , c’est-à-dire un nombre impair de demi- valeurs

de d.

La valeur de d est un nombre différent pour les diverses couleurs , et même pour les diverses nuances du spectre. Voici le tableau des valeurs de d , déterminées par Fresnel avec le dernier degré d’exactitude, comme nous le verrons dans un instant.

Tableau des valeurs de d qui déterminent les périodes de duplication ou de destruction de lumière.

Limites d es couleurs Valeurs extrêmes principales. de d en millioniè¬

mes de millimèt.

Violet extrême. . . . 4o6 Violet indigo . 4%

Indigo bleu . 4^9

Bleu vert . 4g2

Vert jaune . 532

Jaune orangé . 5^1

Orangé rouge . 596

Rouge extrême. . . . 645

Couleurs Valeurs moyennes principales, de d en millionièmes de millimèt.

Violet . 423

Indigo . 44g

Bleu . 475

Vert . 521

Jaune . 55 1

Orangé. . . . . 583 Rouge . 620

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES. — CîïAP. VI. 3g5

Ainsi deux rayons appartenant au rouge moyen du spectre se détruisent, et font du noir, quand ils se rencontrent, après avoir parcouru des chemins dont la dif-

fercnce est un nombre impair de fois - ou 3 10 millio¬

nièmes de millimèli-e ; pour deux rayons violets la différence des chemins parcourus doit être seulement un nombre impair de fois ou 212 millionièmes de millimè¬

tre.

On remarquera peut-être que 212 ou même 3io millionièmes de millimètre sont des valeurs si petites qu’elles semblent échapper à toute mesure et qu’il doit sans doute rester beaucoup d’incertitude sur leur détermination absolue 5 mais nous verrons bientôt que Newton était parvenu à mesurer ces longueurs , que Fresnel les a mesurées à son tour dans des phénomènes et par des moyens complètement différons, et qu’il existe un accord admirable entre les résultats de ces grands observateurs.

Ces valeurs de d , obtenues par des expériences et par des mesures directes, sont indépendantes de toute hypothèse sur le mode d’existence de la lumière ; elles conviennent au système de l’émission et au système des ondulations, ou plutôt elles sont comme autant de conditions numériques auxquelles un système, quel qu’il soit, devra se soumettre. Elles sont le quadruple de ce qu’on nomme la longueur des accès dans le système de l'émission , et clics sont ce que l’on appelle la longueur des ondes dans le système des ondulations. Pour s’exprimer rigoureusement , sans admettre aucun système, et sans sortir des voies expérimentales, il ne faudrait désigner ces valeurs de d , ni en les appelant des longueurs d’accès ni en les appelant des longueurs d’ondes -, il faudrait leur donner un nom, qui ne contint ou ne supposât autre chose que le fait physique lui-même; on pourrait les appeler les longueurs des plia-

ses OU des périodes de la lumière, car ces périodes sont lin fait, et un fait indépendant de toute hypothèse. Cependant, pour ne pas compliquer le langage de la science par une innovation qui nous semble peu nécessaire, nous dironsque les valeurs de d représentent les longueurs des ondes ou des ondulations de la lumière , à peu près comme les nombres compris entre 3 1 pieds et 18 lignes représentant les longueurs des ondes sonores que notre oreille peut apprécier.

Reprenons maintenant l’expérience des miroirs de Fresnel, et essayons d’en déduire les preuves du principe que nous venons d’énoncer, et la détermination des longueurs des ondes.

te point v (Fig. 272 ) étant l’image du point r syr le premier miroir , on a rp — pv et cp = cf.

Par la meme raison, à l’égard du secoud miroir, on a F p' —pr r* et cp' — CF.

Donc cp=cp' .

D’où il suit que la ligne Lcida tous ses points à égale distance des deux images r et r' .

Mais la lumière qui se réfléchit sur le premier miroir se trouve, pour sa direction et pour le chemin qu’elle fait, exactement comme si elle partait du point r 5 celle qui se réfléchit sur le second miroir est exactement aussi comme si elle partait du point p' .

Donc tous les rayons tels que fcb et fhb, qui viennent se rencontrer sur la ligne ll' , sont des rayons qui ont parcouru des chemins égaux; et réciproquement la ligne loi/ étant à égale distance des points r et rr , se trouve être le lieu des rencontres de tous les rayons qui ont parcouru des chemins égaux. Or, comme il y a partout sur cette ligne une frange centrale brillante, ayant une fois autant d’éclat que la lumière réfléchie par un seul miroir , il en résulte que les rayons ajoutent leur éclat lorsqu’ils sc rencontrent après avoir parcouru des chemins égaux.

DIFFRACTION ET INTERFERENCES. CilAP. VI. 3q7

• Considérons actuellement la première frange sombre s, soit à droite, soit à gauche de la frange centrale, et joignons son milieu aux deux points r et p' qui sont censés être les deux points rayonnans. Il est évident que les rayons rs et v's qui arrivent en ce point se rencontrent après avoir parcouru des chemins inégaux dont la différence est sp — se', pour la frange sombre de gauche, et sp' — sp pour celle de droite. Donc on ne fait autre chose qu’exprimer un fait en disant : Les rayons se détruisent, quand ils se rencontrent après avoir parcouru des chemins dont la différence est sp -ttsp'. Or, Fresnel ayant déterminé les positions des points p et p et mesuré exactement au moyen de son micromètre (Fig. 265 et s65 Z>?V),la distance su ou la demi-distance ss, il en a pu conclure aisément la différence des chemins parcourus ; et c’est ainsi qu’il a constaté que les rayons des différentes couleurs se détruisent lorsqu’ils ont parcouru des chemins dont la différence est 3io millionièmes de millimètre pour les rayons rouges et 212 millionièmes pour les violets, etc., conformément au tableau précédent.

Fresnel a mesuré de même la distance s s' des franges sombres du deuxième ordre, puis celle des franges du troisième ordre, etc. ; puis celle des franges brillantes du premier, du deuxième, du troisième ordre . Comparaison

faite de ces mesures, il en est résulté le principe fondamental que nous avons énoncé plus haut, “savoir que les rayons s’ajoutent quand la différences de chemins par-

courus est o, — , — , etc., et quils se détruisent quand

cette différence est — , — , — , etc.

La marche hyperbolique des franges est une conséquence immédiate de ce principe $ car il est facile de voir que la série des points pour lesquels la différence sp — sp' des distances aux points p et p' reste constante forme une branche d’hyperbole ayant ses foyers en p et p' $ que la se-

rie des points pour lesquels la différence s'p — sV reste constante, forme une autre hyperbole ayant les mômes foyers, de môme pour la série des points dont la différence s"p-s"p' reste constante , etc.

Fresnel n’a pas négligé de vérifier cette conséquence par un grand nombre de mesures prises à diverses distances des miroirs, ainsi, par son admirable sagacité, et par la précision scrupuleuse qu’il portait dans toutes ses recherches, il est parvenu à donner des preuves directes et irrévocables du principe de l’action mutuelle des rayons lumineux et des lois suivant lesquelles cette action s’exerce.

Le principe des interférences établi sur ces données n’est doue autre chose que l’expression d’un fait. On l’appelle principe des interférences parce que le Dr Young, qui en a le premier donné l’énoncé, disait qu’il y a interférence quand il y a action mutuelle de deux rayons, ou, ce qui revient aumême, que deux rayons interfèrent quand ils agissent l’un sur l’autre. L’action mutuelle des rayons lumineux est, en effet, trop remarquable pour n’etre pas désignée par un nom particulier, et tous les physiciens ont adopté l’expression du B' Young. Il résulte de celle définition que, pour comprendre le principe des interférences dans toute son étendue et avec toute sa fécondité, il faudrait connaître tous les accidens et îouslesmodes qui peuvent se présenter dans l’action mutuelle des rayons. Nous aurons occasion de voir dans la suite que l’énoncé précédent n’est, à vrai dire, qu’un cas particulier du principe général de l’action mutuelle des rayons.

On conçoit maintenant pourquoi les franges disparaissent, lorsqu’on supprime la lumière réfléchie par l’un des miroirs; car il ne peut plus alors y avoir d’interférences : les rayons du miroir découvert suivent leur route sans cLrc partiellement détruits , et il en résulte une lumière de teinte uniforme dans toute l’étendue du faisceau réfléchi.

On conçoit pareillement pourquoi les franges sont dépla-

cées par linterposition d’une lame transparente dans le faisceau de l’un des miroirs 5 car, la vitesse de la lumière étant différente dans les différens milieux, les rayons ne mettent pas le même temps pour traverser l’épaisseur de la lame interposéeet pour traverser une égale épaisseur d’air.

S’ils mettent plus de temps dans la laine, ils sont comme s’ils avaient plus de chemin à faire dans l’air. Il en résulte par conséquent uue véritable inégalité dans les chemins parcourus, bien que les longueurs de ces chemins soient géométriquement égales. Delà le déplacement des franges j ctcommclescns de ce déplacement, dans les expériences de M.Arago, annonce toujours un retard dans la lumière qui traverse la lame de verre, il en résulte d’une manière incontestable que la lumière se meut plus lentement dans le verre que dans l’air ; ce qui semble en contradiction nécessaire, non-seulement avec la théorie actuelle de la réfraction dans le système de l’émission, mais avec toutes les théories de réfraction auxquelles ce système pourrait conduire.

L’expérience des deux miroirs est sans contredit l’une des expériences les plus délicates de toute l’optique 5 l’angle qu’ils doivent faire entre eux est un angle très-obtus, et il faut beaucoup de temps et d’adresse pour les ajuster convenablement et pour les ajuster d’une manière fixe. Lorsqu’il s’agit de prendre des mesures comme Fresncl est parvenu à le faire, il est presque indispensable d’employer un verre coloré plutôt que la lumière du spectre , car il serait à peu près impossible avec celle-ci d’avoir toujours la même nuance, et par conséquent la môme longueur d’ondulation. Il importe aussi que la lentille qui concentre la lumière en f soit d’un très-court foyer ; car , si l’image solaire qu elle donne avait une étendue sensible , chacun des points de cette image donnant un système de Iranges au lieu qui convient à sa position par rapport au miroir, il en résulterait une infinité de systèmes différens, placés à côté les uns de3 autres, et les franges noires

des uns tombant sur les franges brillantes des autres, la lumière deviendrait sensiblement uniforme, ou du moins les franges noires deviendraient trop vagues et trop peu prononcées pour être mesurées avec exactitude.

Hypothèse des ondulations.

583. Le fait des interférences ne suffit pas pour expliquer les phénomènes de diffraction.

Quand un principe général est une fois établi , on peut s’en servir de bien des manières pour reculer les bornes de lascience. On peut essayer de le développer, c’est-à-dire d’en tirer des phénomènes nouveaux ou de l’étendre à des phémènes connus, dont la cause et les lois restaient indéterminées ou inconnues; on peut essayer aussi de le justifier, c’està-dire de remonter à une cause plus générale , dont il n’est qu’un mode ou un effet particulier. Or, si l’on essaie d’expliquer les phénomènes de diffraction, par le principe des interférences, on est imédiatement arrêté : on prouve bien, comme nous l’avons vu, que les franges intérieures, par exemple, résultent du concours de l’action mutuelle ou de l’interférence des rayons qui ont rasé chaque bord 5 mais d’où viennent ces rayonsPet pourquoi se trouvent-ils dans l’ombre géométrique, où ils ne devraient jamais entrer si leur propagation se faisait en ligne droite? c’est ce que le principe des interférences n’explique pas. Sans doute, s’il y a des rayons dans l’ombre, et s’ils s’y trouvent dans un certain état et sous certaines conditions , ils doivent interférer et produire des franges • mais pourquoi y a-t-il des rayons Pet pourquoi sont-ils soumis aux conditions d’interférence ?

On peut supposer, comme l’avait fait le Dr Ùoung, qu’aux bords du corps délié il se fait une réflexion régulière ou irrégulière, et que les rayons qui en résultent viennent se propager dans l’ombre et interférer 3 mais cette

DIFFRACTION F-T INTERFERENCES. — CIIAP. VI. t{Ol

hypothèse ne peut se soutenir, car il en résulterait certainement que la nature des corps et l’état de leur surface aurait une influence ou sur la grandeur des franges, ou du moins sur leur intensité, et l’expérience prouve que cette influence est complètement nulle. D’ailleurs, et ceci est sans réplique, celle hypothèse est inconciliable avec les expériences de M. Arago, sur le déplacement des franges.

On pourrait supposer aussi que les bords des écrans, frappés par les rayons directs, deviennent lumineux, et que les rayons propres qu’ils émettent se propagent dans l’ombre, et produisent les franges par leurconcours. Mais cette seconde hypothèse est détruite par les faits qui détruisent la première.

Ce que nous venons de dire des franges intérieures s’applique aux franges extérieui'es du bord des écrans et à celles qui sont produites par les biseaux des ouvertures étroites- Ces franges dépendent sans aucun doute d’une interférence des rayons ; mais on ne peut soutenir nique ces rayons sontréfléchis par les bords des écrans ou des biseaux, ni qu'ils sonlpioduits par uncexcitation particulière des rayons directs sur la matière pondérable de ces corps.

Ainsi , jusqu’à présent , quelles que soient les hypothèses auxiliaires auxquelles on recourrc, si l’on veut appliquer rigoureusement le principe des interférences, on reconnaît qu’il est insuffisant pour expliquer les phénomènes de diffraction.

Arrêtés de ce côté , nous pouvons tenter l’autre voie , et essayer de justifier ce principe, c’est-à-dire d’en chercher la cause dans la nature même de la lumière.

584- Lofait des interférences est jusqu à présent inconciliable avec le système de l'émission.

Les physiciens sont unanimes sur ce point, que là où il y a lumière il y a mouvement-, et le temps qu’il faut à la lumière pour venir du premier satellite de Jupiter jusqu’à 1» terre est une preuve assez frappante de celte vérité.

Entre toutes les variations que le mouvement peut présenter on distingue deux modes généraux essentiellement différons : le mouvement de translation et le mouvement d c vibration. C’est ici que les opinions se partagent à l’égard de la lumière : les uns admettent qu’elle se propage par translation, et les autres quelle se propage par vibration. La première hypothèse constitue le système de l'émission , car la substance lumineuse serait alors émise sans retour et projetée par le soleil dans toutes les directions. La seconde hypothèse constitue le système des ondulations ; car la substauce lumineuse éprouverait alors des déplacemens très-petits, des mouvemens alternatifs parlesqucls elle serait successivement éloignée du corps lumineux dans un instant et rapprochée de la môme quantité dans l’instant suivant, et les périodes d’allées et de retours se répéteraient un grand nombre de fois dans un temps très-court. Alors la substance lumineuse aurait une existence indépendante du corps lumineux, comme l’air aune existence indépendante des corps sonores 5 cette substance en repos ne serait pas de la lumière, pas plus que l’air en reposn’estdu son. A cause de celte existence indépendante, et parce que de fait la lumière se propage dans toutes les directions, il en résulte que la substance lumineuse serait répandue d’une manière uniforme autour des corps lumineux. Par conséquent , ce qui serait vibration dans le corps deviendrait ondulation dans la substance lumineuse, c’est-àdire que tous les points qui sont à la même distance d’un point donné dans le corps lumineux, éprouveraient à un instant donné , de la part de ce point, le même mouvement d’allée et de retour et avec la môme intensité; c’està-dire, en d’autres termes, que, si l’on conçoit une infinité de lignes droites mathématiques qui divergent dans toutes les directions, à partir d’un point donné dans le corps lumineux, les vibrations qui s’exécuteront sur l’une de ces droites seront lices à celles qui s’exécutent au même in-

diffraction et interférfncfs.*^ CITAP. VI. 4o3

stant sur une autre droite quelconque. C’est celte liaison qui constitue à proprement parler l’ondulation ; car si les phénomènes de mouvement qui se produisent sur l’une de ces droites pouvaient être indépendans de ceux qui se produisent sur la droite voisine, les mouvemensdiscordans et désordonnés qui en résulteraient ne seraient plus appelés des ondulations.

Voilà deux systèmes. C’est jusqu’à ce jour tout ce que l’on a pu imaginer de plus plausible. Or, si l’on ne peut affirmer sans réserve qu’entre les deux il y en a essentiellement un de vrai , on peut affirmer au moins qu’il y en a un qui ne l’est pas-, c’cst celui de l’émission.

Sans entrer ici dans une discussion complète , nous ferons remarquerseulement que personne jusqu’à ce jour n’a pu concilier ce système avec le principe des interférences, et rien en effet ne semble plus inconciliable. Deux molécules sont animées d’une même vitesse ; elles vont dans le même sens, se rencontrent sous un petit angle et leurs vitesses se détruisent. N’y a-t-il pas contradiction, c’està-dire impossibilité mécanique?

Au contraire, dans le système des ondulations, le mouvement de la substance lumineuse étant alternativement dans un sens et dans l’autre, on voit que deux rayons doivent se détruire en se rencontrant , si , par une cause quelconque, ils arrivent au point de rencontre avec des vitesses opposées 5 c’est ce que nous allons examiner avec quelque détail.

585. Le fait des interférences deviendrait une conséquence immédiate du système des ondulations.

Concevons une ligne droite indéfinie Ax (Fig. 273),'suivantlaquelle se propage de la lumière simple d’une nuance quelconque. Admettre que celle lumière se propage par ondulation dans une substance ou dans un fluide particulier que l’on appelle Y éther, c’cst admettre quesurla ligne Ax une molécule donnée d’étlier reçoit successivement

deux vitesses contraires : par exemple , des vitesses impulsives , qui la poussent dans le sens ax de la propagation , et ensuite des vitesses apulsives qui la rappellent dans le SCns XA vers l’origine du mouvement que nous supposerons quelque part à gauche du point a. Les vitesses impulsives passent nécessairement par divers degrés d’intensité, elles sont nullcs d’abord, clics deviennent croissantes, atteignent un maximum , et décroissent ensuite jusqu’à redevenir zéro; il en est de même des vitesses apulsives , et l’on admet de plus que celles-ci passent exactement par les mêmes périodes que les premières. Par conséquent , si l’on considère au même instant toutes les molécules de la ligne ax, on en trouvera dans tous les états et avec tous les degrés possibles de vitesse. Au point e, par exemple, la vitesse sera nulle-, puis les points précédais jusqu’au point d auront des vitesses impulsives , qui seront croissantes jusqu’en p, puis ensuite décroissantes; de Den c, les vitesses seront apulsives , ayant aussi leurs maximum au pointai; de c en A se renouvelleront exactement les mêmes périodes, et ainsi de suite sur toute l’étendue de la ligne lumineuse. La longueur de la ligne ec sur laquelle se trouve une période complète des vitesses, dans leur ordre, est ce que l’on appelle la longueur de V ondulation. C’est cette longueur qui est de 620 millionièmes de millimètre pour les rayons rouges moyens , et de 4^3 millionièmes seulement pour les violets. Ainsi, en suspendant par la pensée la course rapide d’un rayon lumineux, et en l’observant tel . qu’il est à cet instant , l’on trouverait pour la lumière rouge un million d’ondulations dans la longueur de 620 millimètres ou un million d’espaces tels que ac, ce, etc.

Maintenant , pour mieux peindre aux yeux les divers états des molécules dans la longueur d’une ondulation, l’on peut, de chaque molécule, élever sur la ligue ax une perpendiculaire qui représente la grandeur de la vitesse correspondante, et pomme la direction do cette vitesse est

DIFFRACTION ET INTERFERENCES. — CTÏAP. VI. /jo5

de A versx, pour les points compris entre e et n , et au contraire de x vers A pour les points compris entre d etc, si l’on élève ces perpendiculaires au-dessus de ax pour le premier cas, et au-dessous pour le second : la ligne sinueuse cmdme, formée par les extrémités de ces perpendiculaires , pourra donner une juste idée de la direction et de la grandeur des vitesses. Les lignes courbes des vitesses, formées d’après ces principes et ces conventions, peuvent servir ainsi à caractériser les ondulations , et comme on peut concevoir une infinité de courbes différentes , passant par les points e, d et c , et remplissant les conditions voulues de grandeur et de symétrie, il est évident qu’il peut v avoir une infinité d’ondulations différentes, ayant toutes la même longeur.

Après avoir reconnu l’état dans lequel se trouvent les dirers points de la ligne lumineuse ax à un instant donné , nous devons examiner encore l’état d'un même point , considéré dans plusieurs iristans consécutifs. Le point e, par exemple, est en repos, sa vitesse est nulle; mais, dans les instans suivans , toutes les vitesses qui affectent présentement les points précédons jusqu’à c viendront affecter successivement le point e. Ainsi , dire qu’une ondulation passe par un point donné, c’est dire que ce point reçoit successivement, et dans leur ordre, toutes les vitesses qui constituent l’ondulation.

Cela posé, considérons une autre ligne ax, Fig. •> et une autre ondulation identique à la précédente, qui se propage suivant cette ligne; supposons de plus que celte seconde ondulation se trouve d’accord avec la première, c’est-à-dire qu’à un instant donné, les points de repos et de mouvement se correspondent exactement. îî est clair que s’il y a ainsi accord parfait à un instant , cet accord se soutiendra toujours. Quand le point E sera en repos sur la première ligne , il sera en repos sur la seconde; quand il aura le maximum de vitesse impulsive Iî. p. 7

sur la première , il aura le maximum de vitesse impulsive sur la seconde, etc. Or, si Ion pouvait, par un moyen quelconque, amener le rayon lumineux ax delafig. 274, en coïncidence avec le rayon ax de la ligure 2y3, sans rien changer à l’accord où iis se trouvent $ il est évident que toutes les vitesses seraient doublées par la superposition des petits raouvemeus, et que l’intensité de la lumière serait par conséquent doublée.

Le résultat serait le même encore si l’un des rayons était en retard ou eu avance sur l’autre, d’une ou de plusieurs ondulations entières, ou , ce qui est la même chose , d’un nombre pair de demi-ondulations.

Et enfin il serait encore le môme si les deux rayons, au lieu de se superposer, venaient seulement concourir au même point et se rencontrer sous une petite obliquité.

Doue, premièrement, deux rayons homogènes ajoutent leur éclat quand ils se rencontrent sous une petite obliquité et que l’up d’eux est , à l’égard de l’autre, en avance ou en retard , d’un nombre pair de demi-ondulations. t

Mais si l’un des rayons est en retard sur l’autre d’une demi-ondulation, comme le rayon aV , Fig . 2j5,à l’égard du rayon ax, Fig. 274, les phénomènes changent complètement d’apparence. Alors le point E,par exemple, Fig. 274, correspond au point f', Fig. 276. Le premier de ces points va être traversé par l’onde edc, et le deuxième par l’onde f'e'd' ; ainsi l’un prendra des vitesses positives, tandis que l’autre recevra des vitesses négatives égales, et vice versci.

Par conséquent , si l’on suppose que les deux rayons ax et aV soient amenés en coïncidence, les vitesses se détruiront à chaque instant par leur superposition, et tous les points serout au repos*, il n’y aura plus de mouvement et plus de lumière. Ainsi la coïncidence de deux rayons homogènes peur produire les ténèbres complètes.

Le résultat serait le même , si l’un des rayons était en

PirFRACTIOtf ET lïCTERFÛtENCKS. ■ — CHAP. VI. /(O'J

retard ou en avance sur l’autre, d’un nombre impair quel- . conque de demi -ondulations.

11 serait le même encore si les rayons se rencontraient sous une petite obliquité.

Donc, secondement, deux rayons homogènes se détruisent et produisent les ténèbres quand ils se rencontrent sous une petite obliquité, et que l’un est à l’égard de l’autre .en retard ou en avance d’un nombre impair de demi-

ondulations.

C’est ainsi que le principe des interférences devient une conséquence nécessaire du système des ondulations. En sc reportant maintenant à l’expérience des miroirs (58 1), on pourra facilement en faire l’analyse, et reconnaître que l’inégalité des chemins parcourus par les rayons qui viennent former les franges sombres et brillantes produit un retard d’un nombre impair de demi - ondulations dans le premier cas , et d’un nombre pair dans le second.

586. Origine du système des ondulations , et conséquences générales auxquelles il conduit.

Les philosophes de l’antiquité ne connaissaient sur la lumière qu’un petit nombre de phénomènes qui avaient été observés avec peu de soin et vaguement définis; cependant leurs ouvrages contiennent les premiers germes du système de l’émission et du système des ondulations. Tant il est vrai que l’esprit humain semble condamné à admettre l’un ou l’autre de ces systèmes, faute de pouvoir imaginer autre chose. Ces opinions contraires se sont transmises d’àgc en âge, jusqu’à la naissance des sciences, c’està-dire jusqu’au temps de Kepler, de Galilée, de Descartes et de Grimaldi , sans rien perdre de l’obscurité qui les enveloppait. Alors , de rapides découvertes sur la lumière et la chaleur, sur le magnétisme et l’électricité, semblaient promettre une prompte solution de toutes les questions fondamentales sur le mode d’existence des forces naturelles. Mais ces questions destinées à tourmenter sans cesse

LIVÏ1B HUITIÈME.

les esprits vulgaires doivent occuper long-temps encore les esprits les plus élevés; et dans l’impossibilité d’en donner des solutions , même après les grandes découvertes qui ont illustré notre époque , nous sommes réduits à retracer les efforts plus ou moins heureux qui ont été faits pour les résoudre.

Le père Grimaldi paraît être le premier qui ait essayé d’expliquer logiquement les phénomènes de l’optique par le système des ondulations. Ses raisonnemens supposent une prodigieuse sagacité, et une connaissance approfondie des lois de la mécanique. On peut juger par son ouvrage qu’il s’était ouvert des routes nouvelles dans l’étude de la physique; mais il fut enlevé aux sciences à l’âge de quarante-quatre ans.

A peu près à la même époque , Robert Hooke, cet esprit si fécond, si original et si hardi, avait expliqué plusieurs phénomènes par les ondulations, et particulièrement celui des anneaux colorés ou des lames minces, dont nous devons nous occuper un peu plus loin.

Huvghens avait adopté aussi le système des ondulations ; il en avait posé les principes mathématiques avec cette supériorité de génie qui caractérise tous ses ouvrages , et la loi fondamentale de la double réfraction, à laquelle il fut conduit par cette voie, est , comme nous le verrons plus tard , une découverte du premier ordre.

Plusieurs autres grands mathématiciens , comme Descartes et Euler, admettaient le système des ondulations; mais on ne trouve dans leurs ouvrages aucune découverte théorique ou expérimentale qui puisse devenir un argument direct en faveur de ce système: il est même remarquable que les idées à priori qui conduisirent Descartes à la découverte de la loi de réfraction ne paraissent pas rentrer dans l’hypothèse des ondes.

Le Dr lounga découvert le principe des interférences ; il y fut conduit, à ce qu’il paraît, par scs recherches sur le

DIFFRACTION ET INTERFERENCES. — CIIAP. VI. 4°9

son,’ après en avoir donné l’énonce en 1801 ( Course of lectures, etc. , t. 2, pag. 624), il parvint à le fortifier par quelques expériences en 1802 ( id. , pag. 633) 5 et c’est seulement en i8o3 ( id. , pag. 63q) , qu’il fit l'expérience décisive que nous avons rapportée (5jg).

Fresncl a fondé le système des ondulations sur des La scs solides , et par ses découvertes expérimentale et par ses recherches théoriques. Nous verrons dans ce qui nous reste à dire sur l’optique , que parmi les grands observateurs qui l’ont précédé dans l’étude des phénomènes de la lumière , on 11’en peut citer aucun qui ait su porter plus d’invention dans ses expériences, plus de précision dans scs mesures et plus de profondeur dans ses déductions. L’histoire des sciences placera le nom de Fresnel parmi les noms les plus illustres.

Après avoir rappelé en peu de mots les efforts longtemps incertains par lesquels on est parvenu au système des ondulations, il est nécessaire d’indiquer ici quelquesunes des conséquences générales auxquelles il conduit.

Dans les phénomènes de la lumière comme dans les phénomènes du son, il faut distinguer l’impression reçue par nos organes et la cause physique de ces impressions. Ces deux choses distinctes sont en général confondues: quand on dit, par exemple, que le son existe pour les sourds , et la lumière pour, les aveugles, on n’exprime en réalité qu’un fait physique incontestable, et cependant on a l’air de rechercher une expression paradoxale , parce que dans le langage ordinaire, ces mots, son et lumière , désignent seulement la perception du son et de la lumière. Dans le langage de la science, le son est une vibration de la matière pondérable, et la lumière une vibration dans l’éther, qui est une substance impondérable. Aiusi , la lumièi’C existe hors de nous ; nous pouvons la concevoir dans l’espace, nous pouvons la peindre à l’esprit} c’est un mouvement soumis à certaines conditions.

LIVRB HUITIÈME.

4lO

Cela posé, il est évident que partout où il y a de la lumière, il y a de l’éther; donc l’éther remplit l’espace. Il se trouve entre le soleil et la terre, entre tous les corps de notre système planétaire, et dans l’espace indéfini qui nous sépare des étoiles les plus éloignées-, car il n’y a pas un point de cette immense étendue qui ne soit à chaque instant traversé par d’innombrables rayons de lumière. Et, ce n’est pas seulement dans le vide des deux, que l’éther est répandu, mais il pénètre dans tous les corps, il remplit tous les intervalles que laissent entre eux les atonies pondérables. Si l’éther n’existait pas dans toute l’étendue de l’atmosphère, la lumière des astres n’arriverait pas jusqu’à nous; s’il n’existait pas dans l’eau, le verre, le diamant, et tous les corps diaphanes , ces corps ne se laisseraient pas traverser par les ondes lumineuses ; enfin s’il n’existait pas dans les intervalles qui séparent les atomes de notre enveloppe matérielle, la lumière ne pourrait pas nous affecter, les ondulations ne passeraient pas dans les humeurs de l’oeil et jusqu’aux fibres nerveuses de la rétine, dernier terme visible où notre raison puisse les suivre. Les corps opaques eux- mêmes sont remplis d’éther, car ils deviennent transparens lorsqu’ils ont une ténuité suffisante.

Ainsi . le système des ondulations nous conduit à admettre l’existence d’une matière, ou plutôt d’une substance, au sein de laquelle se trouvent dispersés, suivant des lois éternelles , les divers fragmens de matière pondérable , qui constituent les planètes et les astres.

Cependant si l'éther est partout, il n’est pas partout identique à lui-même. Il est probable que dans le vide des espaces célestes, comme dans le vide artificiel produit par nos machines, il n’y a nulle différence dans la distribution de cette substance, et par conséquent nulle différence dans la marche de la lumière. Mais dans l’intérieur des corps, la lumière se meut diversement , les ondulations changent

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES. — CH AP. VI. f\ 1 I

de vitesse et de longueur, par conséquent l’éllicr prend des élasticités différentes. Nous verrons même, par les expériences de polarisation, que dans la plupart des corps cristallisés, son élasticité n’est pas la même dans tous les sens.

Aprèsavoir développé les notions fondamentales du système des ondulations, plus longuement peut-être que les bornes de cet ouvrage ne devaient le permettre , il est temps d’arriver aux applications que l’on en peut faire pour expliquer les phénomènes de la diffraction et beaucoup d’autres phénomènes qui dépendent des interférences.

Explication des phénomènes de diffraction.

587. Franges extérieures produites par le bord d'un écran. Pour expliquer la cause des franges diffractées, et de toutes les lois qu’elles présentent, Fresnel admet le pria cipc suivant : « Les vibrations d’uuo onde lumineuse dans » chacun de ses points peuvent être regardées comme la » somme des mouvemens élémentaires qu’y enverraient au )> même instant, en agissant isolément, toutes les parties » de cette onde considérée dans une quelconque de ses » positions antérieures. »

Ainsi, le point F, Fig. 276, étant un point lumineux, ou le foyer d’un faisceau de lumière simple, et le cercle Amc représentant une portion de l’une des ondes envoyées par ce point lumineux, la vitesse qui se produira en un point quelconque P , lorsque cette portion de l’onde y passera, sera la même que la vitesse qui serait produite en ce point par la résultante de toutes les actions que les divers élémens de l’oncle amc pourraient exercer sur lui, en les considérant comme autant de centres d’ébranlement ou do points lumineux particuliers. 11 arrive même que dans la composition des mouvemens élémentaires envoyés en p par les diverses parties de l’onde amc, l’on ne doit tenir compte que des parties qui avoisinent le point m situé sur la ligue

4 1 a LIVRA HUITIÈME.

rp, et négliger complètement celles qui en sont assez éloignées pour que les lignes correspondantes, telles que «P, mp, cp, aient une inclinaison sensible, parce que leurs actions deviennent contraires et se détruisent mutuellement. En effet, prenonspar exemple, ces trois points, a, m, c, de manière que av — mv soit égal à mp — cp et égal aune demi-ondulation ; à cause de l’obliquité de ces lignes, et de leur longueur qui est comme infinie par rapport à la longueur si petite d’une demi-ondulation, il est clair que les arcs trèspetits ma et me seront égaux entre eux; or, les ondulations qui arriveraient en p suivant av et suivant mv, étant en discordance , c’est-à-dire en différence d’une demi-ondulation , se détruiraient 5 pareillement , les ondes qui partiraient de tous les points compris entre a et m, étant en discordance avec celles qui partiraient des points correspondans compris entre m et c, il y aurait destruction complète puisque am—mc. Donc la résultante des actions de l’onde amc sur le point p ne dépend que des actions produites par les divers points de cette onde qui sont à une petite distance du point M. Ce que nous disons du point p s'applique au point p' et à tout autre point quelconque ; c’est-à-dire que la résultante des actions que les divers points d’une onde exercent sur un point donné dépend seulement des actions produites parles points de cette onde qui se trouvent à une petite distance de la ligne menée dn point lumineux au point donné. Quand l’onde se propage librement, toutes ces résultantes sont égales pour des points qui sont à la même distance du point lumineux, et la lumière est uniforme.

Mais quand l’onde amc rencontre un obstacle, par exemple , un écran un, Fig. 377, la portion mc étant arrêtée, la résultante des actions qui s’exercent au point p est seulement produite par les divers points de la portion ma de l’onde qui reste libre. Par conséquent, pour connaître l’influence d’un écran, il faut savoir calculer la résultantes

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES, r-ï CflAP. V!. /(l3

des actions que les divers points de la partie libre de l’onde peuvent exercer sur un point donné.

Or, si ce point est eu p' par exemple, de telle sorte que la ligne fp' vienne percer la surface de l’onde amc en un point m' un peu éloigné du bord m de l’écran, il suit de ce que nous venons de voir que la résultante étant seulement dépendante des points qui avoisinent le point m' et toutà-fait indépendante des points éloignés comme m etc, l’éclat de la lumière reçue en p' ne sera modifiée en rien par la présence de l’écran. Voilà pourquoi les franges diffractées ne s’étendent jamais qu’à une petite distance angulaire du bord de l’écran.

Mais si le point donné est en p"de manière que fp* perce l’onde en un point m" assez voisin de m pour que l’action exercée suivant mp" ne puisse être négligée , alors la lumière qui arrive ence point p^est modifiée par la présence de l’écran.

Nous allons essayer de faire comprendre le principe de ces modifications et la cause des alternatives d’ombre et de lumière qu’elles produisent. Pour simplifier les idées, nous raisonnerons seulement sur ce qui arrive dans le plan de la figure; il est facile de voir que tout sera pareil dans les plans voisins de celui-ci, soit que le foyer F provienne d’une lentille cylindrique parallèle au bord de l’écran, soit qu’il provienne d’une lentille sphérique.

Soit f le point lumineux , Fig, 278, et amc la portion d’une onde qui se propage vers le point p. Menons la ligne fp, et séparons par la pensée les effets produits sur le point p par les deux portions am et mc de l’onde amc, ces portions étant assez étendues pour comprendre tous lespoints de l’onde qui peuvent transmettre en p des actions sensibles ; car , d’après ce qui précède, nous pouvons négliger tout ce qui est à une distance un peu grande du point m. Tout étant symétrique de chaque côté de fm, il est évident que la somme des actions produites en p par am sera iden-

tique à la somme des actions produites au même point par mc, et que si l’on repïésente par i l’éclat ou l’intensité de lumière qui résulte des premières, r sera aussi l’éclat qui résulte des secondes, et par conséquent 2 sera l’éclat ou l’intensité de lumière que doit posséder le point p quand il reçoit pleinement et saus obslacic la somme des actions que tous les points efficaces de l’onde amc peuvent exercer sur lui.

Du point p comme centre, et d’un rayon pm, décrivons un arc de cercle et traçons les lignes p b, vs, vb', p s', etc. 5 de telle sorte que leurs parties bt,sr,b‘ l1 , s' /•' , etc., comprises entre les arcs mc. et mk soient respectivement égales, la première à une demi-ondulation , la deuxième à deux demi- ondulations , la troisième à trois demi-ondulations, etc. : alors de celte construction simple on pourra tirer les conséquences suivantes.

i° Les arcs c.orrespondans mZ>, bs , sb' , b' s' , etc. dépendront, pourleurs grandeurs, et de la distance de Fonde amc au point lumineux F, et de la distance du point pà l’onde amc 5 mais dans tous les cas ils iront en décroissant avec plus ou moins de rapidité : le premier m b étant plus grand que le deuxième, celui-ci plus grand que le troisième, etc.

‘2° Tous les points compris de m en b ou sur le premier arc exerceront sur le poîntp des actions conspirantes entre elles, quel quesoit d’ailleurs l’ordre suivant lequel décroisse 1 intensité de rcs actions à mesure que l’on s'éloigne de m; il en sera de même desactions exercées parles points compris de b en 5, ou sur le deuxième arc, et de s en b' , et de U en s1 , etc.

3e Les actions exercées par les points compris de m en b, ou par le premier arc , seront discordantes avec les actions exercées par les points compris de b eu s ou par le deuxième arc, celles-ci seront discordantes avec celles du troisième, qui seront discordantes à leur tour avec celles

DIFFRACTION ET INTERFERENCES. - CHAI». VI. 4*5

du quatrième, etc. ; car l’action qui s’exerce suivant mp sera en discordance complète avec celle qui s’exerce suivant $p, puisque par hypothèse les longueurs de ces ligues diflèrent d’une demi-ondulation. Par la même raison, chacun des points compris entre m et b sci a en discordance avec l’un des points compris entre h et s, puisqu’on peut choisir ces deux points de manière que la différence de leurs distances au point p soit d’une demi-ondulation, etc.

4° Malgré ccs discordances complètes, l’action du premier arc m b ne sera que partiellement détruite par celle du deuxième arc bs , parce que m!> est plus grand que bs , et parce que les points de 116 agissent sur le point p moins obliquement et par conséquent avec plus d’énergie que les points de bs -, de même l’action du troisième arc ne sera que partiellement détruite par celle du quatrième, etc. ; la résultante totale des actions de l’arc mc sur le point P n’est donc autre chose que les différences des actions discordantes et contraires produites sur ce point par le premier et le deuxième arc, le troisième et le quatrième, le cinquième et le sixième, etc.; ou si l’onveutcettc résultante est l’excès des actions produites par les arcs de rang impair sur les actions produites par les arcs de rang pair; les arcs étant déterminés comme nous l’avons vu par la condition que les lignes pm, p b, p? diffèrent d'une demi-ondulation. C’est cette différence ou cet excès qui donne au point p une intensité de lumière que nous avons supposée être égale à x.

5° C’est le premier arc, ou le plus voisin de la ligneFP, qui détermine le sens dans lequel agit la résultante totale ; et si l’on pouvait, par exemple, arrêter ou supprimer l’action de tous les points compris entre m et b, la résultante de tous les arcs restans donnerait eu p une intensité de lumière moindre que x, et le point p vibrerait dans le sens de la résultante de bs, c’est-à-dire qu’il serait en discordance avec la résultante des actions de m b. Il suit encore

de là que l’action produite par le premier arc seul l’emporte en intensité sur l’action produite par tous les autres ensemble; car le résultat change de signe suivant que le premier y entre ou n’y entre pas. Ce que nous disons ici du premier, par rapport à tous les autres, s’applique à l’un quelconque des arcs par rapport à tous les suivans ; l’action isolée de chacun l’emporte toujours en intensité sur la somme des actions de tous ceux qui le suivent.

Ces conséquences nous conduisent à la véritable cause de la production des franges.

En effet supposons i° qu’un écran arrête toute la partie mc de l’onde amc, Fig. 278 ; le point r reçoit alors l’action de la partie am et prend une intensité de lumière égale à 1 .

Supposons 20 que le bord de l’écran soit en b , alors la partie bc est seule arrêtée, le point p reçoit l’action de AM, plus l’action de m b-, ces actions sont conspirantes, et il en résulte en p une intensité de lumière égale à 1 de la part de am et plus grande que 1 de la part de m b. Donc quand le point p est placé à l’égard de l’écran de telle sorte que la somme des distances r b -j- p b au bord de l’écran l’emporte d'une demi-ondulation sur la ligne droite fp, il reçoit plus de lumière qu’il n’en recevrait si l'écran n'existait pas.

Supposons 3° que le bord de l’écran soit en s , la partie sc est seule arretée; le point p reçoit l’action deAM plus l’action de ms : la première donne en p une intensité égale à 1 ; la seconde étant seulement l’excès de la résultante de m b sur celle de ms donne une intensité bien moindre que 1 : donc, quand le point p est placé à l’égard de l’écran de telle sorte que la somme des distance FA-f-1^ > au bord de l’écran , l’emporte de deux demi-ondulations sur la ligne droite fp, il reçoit beaucoup moins de lumière qu’il n’en recevrait si l’écran n’existait pas.

E11 suivant le même raisonnement, nous pouvons conclure d’une manière générale que la présence d’un écran augmente l’intensité de la lumière sur tous les points pour

DIFFRACTION FT iNlt.RFÉRFIVTES. - — CHAP. VI. l\ \ 7

lesquels la ligne brisée , qui arrive au point lumineux eu passant par le bord de l’écran, surpasse d’un nombre impair de demi-ondulations , la ligne droite qui arrive directement au point lumineux -, la trace de tous ces points forme donc la trace de toutes les franges brillantes ;

Celles du premier ordre correspondant à 1/2 ondulation.

Celle du second ordre . à 3/2

Celle du troisième ordre . à 5/ 2 ;

et qu’au contraire la présence de l’écran diminue l’intensité de la lumière sur tous les points pour lesquels la ligne brisée qui arrive au point lumineux en rasant le bord de l’écran surpasse d’un nombre pair dedemi-ondulations, la ligne droite qui arrive directement au point lumineux 5 la trace de tous ces points forme donc la trace de toutes les franges sombres ;

Celle du premier ordre correspondant à 2/2 ondulations.

Celle du second ordre . à 4/2

Celle du troisième ordre ...... à 6/2

Nous pouvons conclure de là que les traces de ces franges forment des hyperboles et non des lignes droites; qu’elles sont plus serrées dans la lumière'violette que dans la lumière rouge; enfin que leurs distances à l’ombre géométrique change avec la distance du point lumineux à l’écran, et avec celle du tableau sur lequel on les reçoit.

Voilà donc le vrai principe des franges rendu sensible par le raisonnement et sans le secours du calcul.

Cependant, pour porteSfcms ses conclusions le dernier

4*'6 MVBE HUITIÈME,

degré d’exactitude, Fresncl a déterminé, par l’analyse, les positions des maxima et des minima d’intensité de lumière, dont nous venons d’indiquer approximativement l’existence. Les résultats auxquels ils est parvenu sont rassemblés dans Je tableau suivant.

Tableau du maximum et du minimum pour les franges extérieures et des intensités de lumière correspondantes .

Valeurs tic 'V. Intensité de lumière.

Premier maximum . 1,217 . 2,741

Premier . minimum.. . , 1,873. .... 1,55^

Deuxième max . 2,345 . 2,3gg

Deuxième. .... min . 2,789 . 1 ,687

Troisième max . 3,082 . 2,3o2

Troisième . min . 3,3g 1 . 1 , 744-

Quatrième max . 3,674 . 2,262

Quatrième . min. ..... 3,987 . 1 , 778

Cinquième max . 4,t83. .... 2,221

Cinquième . min . 4>4I6 . 1,801

Sixième max . 4»637 . 2,199

Sixième . . min . 4,848- * = . . 1,819

Septième max . 5,o5o. , , . . 2,182

Septième . min . 5,244- • - • • 1.832

Ainsi en représentant par 2 l’intensité de lumière que recevrait un point sans la prcsence de l’écran, on voit, dans ce tableau, la série des intensités alternatives qu’il prendra lorsqu’il sera placé sous l’influence de l’écran, à diverses distances de l’ombre géométrique.

Au premier maximum, c’est-à-dire nu point le plus éclatant de la première frange brillante, l’intensité est presque 2 plus 3/4, ou à peu près une fois et demie ce qu’elle serait sans l’écran.

Au premier minimum, c’est-à-dire au point le plus sombre de la première frange sombre, l’intensité n’est qu’environ 1 et 1/2011 à peu près les 3/4 de ce qu’elle serait sans l’écran j puis les maxkute suives diminuent gra-

DIFFRACTION LT INTERFÉRENCES. — CIIAP. VI. [\\()

duelletneut tandis que les minima augmentent de telle sorte qu’au septième ordre le maximum ne surpasse pas de 2 dixièmes la lumière directe 2 , et le minimum lui est à peine inférieur de la même quantité; c’est ainsi que les alternatives s’effacent et viennent se confondre dans la lumière uniforme.

La première frange sombre est bien loin d’être ici complètement noire, comme elle est dans l’expérience des miroirs; on peut même remarquer que l’intensité de la lumière qu’elle reçoit est plus grande que 1, ce qui prouve bien que la portion de l’onde comprise entre pf, et le bord de l’écran (Fig. 278) contribue , comme nous l’avons remarqué, à augmenter l'effet de la portion de l’onde qui est à gauche derr.

Les valeurs de v, contenues dans la seconde colonne du tableau précédent et correspondantes aux di vers maxirna et minima ou aux diverses franges brillantes et sombres, sont telles qu’en les substituant dans l’équation

on obtient pour x une valeur qui exprime la distance qui existe entre le milieu de la frange correspondante et la ligne de l’ombre géométrique;

a est la distance du bord de l’écran au point lumineux, h la distance du même bord au tableau sur lequel on reçoit la frange;

d est la longueur de l’ondalatiou pour l’espèce de lumière qui est soumise à l’expérience.

Il serait facile, d’après cette formule, de tracer la courbe hyperbolique que suit une frange donnée lorsqu’on connaît a et d.

JNous avons considéré l’effet d’un seul point lumineux ; mais il serait facile d’analyser les phénomènes plus complexes qui se produiront lorsqu’un nombre quelconque de

points voisins viendront concourir au résultat; car chacun d’eux, agissant comme s’il était seul , donnera naissance à un système particulier de franges, et il suffira de voir comment ces systèmes se croisent ou se superposent pour prendre une juste idée de l’effet résultant.

Si la lumière incidente était de la lumière solaire directe, on aurait a — co, et la formule précédente deviendrait

Ces valeurs de x se rapportent alors à autant d’ombreg géométriques différentes qu’il y a de directions différentes dans les rayons incidens ; et si l’on veut s’arrêter seulement aux rayons extrêmes qui font entre eux un angle d’environ 3o à 3od, il sera facile de tracer les systèmes de franges correspondans et de voir comment les systèmes intermédiaires viennent empiéter sur ceux-ci.

Pour la lumière blanche toutes les franges deviendront colorées, et d’après ce qui précède il ne sera pas difficile de tracer les limites des diverses couleurs , ni de déterminer quelles sont les intensités des nuances diverses qui viennent se superposer en un point donné.

588. Franges intérieures , produites dans V ombre des corps déliés , ou des écrans étroits. Soit nJ (Fig. 2^9), la largeur d’un écran ou d’un corps très-délié, comme un fil ou un cheveu , f le foyer d’une lentille sphérique , ou d’une lentille cylindrique dont l’axe est parallèle à la longueur de l’écran; A ll' k' l’onde incidente, que nous supposerons appartenir à la lumière rouge homogène, dont la longueur d’ondulation est 63o millionièmes de millimètre; tt' le tableau ou le verre dépoli sur lequel 011 reçoit l’ombre de l’écran; gg' la largeur de l’ombre géométrique ; et r un point quelconque situé dans cette ombre, dont l’axe est suivant la ligne f' m x.

DIFFRACTION FT INTER FÈRENCËS. — ÇIIAP. VI.

Pour rendre l'explication sensible, il a été nécessaire d’exagérer singulièrement la largeur de l’écran , qui n'est en réalité que de i ou a millimètres, et de réduire au contraire dans une grande proportion les distances de l'écran au point lumineux et au tableau, qui peuvent être en général de plusieurs mètres.

Sur le cercle àll' a', qui représente l’onde incidente, on prend à gauche de p l des points , a , b , c , d , etc. , tels qu’en les joignant au point p, la différence de deux de ces lignes consécutives soit égale à la demi-longueur d’une ondulation, ou à 3 io millionièmes de millimètre, en supposant, comme nous l’avons fait , que l’on opère sur de la lumière rouge. Ainsi

va — pl = 3io millionièmes de millimètre.

t b — p a = 3 1 o id.

Pc — v b=oio id.

A droite de P i/, on prend pareillement des points a\ b' , c', etc. , qui remplissent la même condition , et qui donnent aussi

p a1 — p x! == 3 1 o millionièmes de millimètre, p b' — p a' = oto id.

v c' — p b' — 5io id.

Cela posé, pour connaître la quantité de lumière qui arrive au point p, il suffit de remarquer qu’elle résulte des quantités partielles envoyées par la portion la de l’onde incidente , et par la portion x1 , car chacune de ces portions de l’onde éclaire le point p dans un certain degré, qui dépend des distances PLCt pl', et de l’obliquité de ces lignes sur la ligne pf , qui va au point lumineux. Or, la lumière que la peut envoyer au point r dépend elle-même des rapports de grandeur des arcs la, ab,bc, etc. En effet, nous avons vu. précédemment que les divers points de ces arcs peuvent être considérés comme des centres d’ébranlement qui propagent des ondes versle II. 28

point p. Ainsi, la distance va surpassant la distance pl d’une demi-ondulation , les ondes envoyées par les deux points a et l arrivent en r dans un élat de discordance complète , et elles se détruiraient exactement si elles avaient la même intensité. Ce qui arrive pour ces deux points arriverait pour tous les points de l’arc La, si l’on avait l a — ab, car chacun des points de La aurait alors sur a b un point correspondant avec lequel il serait en discordance complète ; les deux arcs pris ensemble ne produiraient aucun effet, et par conséquent aucune lumière au point p ; il en serait de même de l’arc bc considéré avec l’arc suivant, etc.

Mais les arcs l a et a b sont essentiellement inégaux, et de plus l’intensité des ébranlemens que leurs divers points peuvent exciter en r est différente à raison de leur inclinaison croissante sur la ligne pf. 11 en résulte donc que ces deux arcs pris ensemble envoient de la lumière au point p, qu’il en est de même des deux suivans, et de même encore des deux suivans , jusqu’à ce que l’on arrive à un groupe de deux arcs pour lesquels les lignes menées au point p , soient tellement inclinées sur pf que l’on puisse considérer comine tout-à-fait milles les différences des ébranlemens qui arrivent dans ces directions.

On peut essayer de déterminer par le calcul l’intensité et la direction de celle résultante de tous les ébranlemens partiels que les divers points de l’onde la envoient au point P5 mais jusqu’à présent la théorie 11a pas appris à résoudre cette question d’une manière générale , et d’ailleurs nous devons nous borner ici à faire remarquer que l’arc La est celui de tous qui produit le plus grand effet sur le point p, parce qu il agit de plus près et sous la moindre obliquité. Ainsi la x'ésul tante aura, dans tous les cas, une direction, telle que p r, pius,o,u moins rapprochée de pl(i).

(1) Nott* devons rappeler que notre bot C?t feulement do don-

DIFFRACTION F.T INTERFÉRENCES. — CIIAP. VI. 4^3

Mais celte direction changera par deux causes : i "iadistancc du point lumineux à l’écran restant la même , la résultante s’éloignera d’autant plus de pl que le point p s’approchera davantage du bord de l’ombre géométrique du coté de g, parce que les lignes p a, p b devenant moins obliques , les ébranleinens qni arrivent au point p suivant ces ligues prennent plus d’intensité ; 2° le point p restant le même, si le point lumineux se rapproche ou s’éloigne de l’écran ll' , le cercle qui représentera l’onde incidente, et qui passe toujours par les points l et h', sera en dedans ou en dehors du cercle al , et cette circonstance changeant la disposition des points «, b , c, etc., et l’obliquité des lignes menées de ces points au point r, il est évident que la direction de la résultante p/'des ébranlemens qu’ils excitent en ce point sera elle-même changée, et d’autant plus rapprochée de pl que le point lumineux sera plus près de l’écran.

Ainsi, en dernier résultat, la lumière que la portion la de l’oude envoie au point p dépend de la largeur de l’écran , de sa distance au point lumi neux , et de la position de ce point p dans l’ombre géométrique.

Ce que nous venons de dire de la portion LA de l’onde s’applique à la portion l'a', qui donne donc aussi au point p une résultante p r dont la direction est plus ou moins rapprochée de pl. Mais , pour une même distance du point lumineux à l’écran, on voit que cette résultante

ner ici une idée de la cause qui produit i«s phénomènes de diffraction. Nous ne tenons aucun compte delà portion de l’onde ml qui est arrêtée par l’écran , et cependant il faudrait en tenir compte , car elle pourrait être telle que la somme des actions qu’elle exerce en p fût égale à l’action de la moitié entière de l’onde, et dans ce cas la résultante des arcs La, i.!>, lc, etc., serait nulle, et cesserait de l’être si l’écran était un peu plus large ou un peu plus étroit. Beaucoup d’autres considérations encore devront entrer un jour dans la théorie de la diffraction ; c’est un sujet qui dans son état présent doit être considéré comme l’un des plus féconds pour les recherches expérimentales et su' tout pour 'es applications de l'analyse mathématique.

LÎVHE nUITXKMK.

se rapproche de pl à mesure que le point p se rapproche du Lord b de l’ombre géométrique , et par conséquent à mesure que la résultante de la s’éloigne de pl ; et réciproquement la résultante vr' s’éloigne de pl' à mesure que le point p s’approche du bord b' de l’ombre géométrique, et par conséquent à mesure que la résultante vr se rapproche de pl.

Ces deux résultantes p/’et vr déterminent l’éclat de la lumière ou l’obscurité qui doit paraître au point v ; toutes les fois qu’elles seront concordantes, il y aura lumière , et il y aura ténèbres toutes les fois qu’elles seront discordantes. Le premier cas arrivera quand la différence des chemins parcourus vr cl vr sera nulle ou égale à un nombre pair de demi-ondulations , et le second cas arrivera quand cette même différence sera égale à un nombre impair de demiondulations.

Pour tous les points qui sont situés sur l’axe de l’ombre géométrique fjix, la différence des chemins parcourus sera toujours nulle quand la ligne ll' sera perpendiculaire à la ligne rx , parce qu’alors tout sera symétrique de part et d’autre. Ainsi , dans ce cas, le centre même de l’ombre sera toujours une frange brillante.

En s’écartant de l’axe, sur le tableau tt’, le point p arrivera bientôt dans une position pour laquelle la différence des lignes r r et r r' sera égale «à une demi-ondulation ou à 5io millionièmes de millimètre , si l’on opère sur la lumière rouge-, alors il y aura discordance complète, et par conséquent obscurité 5 ce phénomène se produira à la même distance à droite et à gauche de la frange brillante du centre , et les deux franges sombres qui en résulteront forment le système des franges sombres du premier ordre.

En continuant de s’écarter de part et d’autre de l’axe, sur le tableau tt’, le point p passera successivement par des positions pour lesquelles la différence des chemins parcourus vr et vr' sera deux demi-ondulations, ce qui

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES. — ÇIIAP. VI, L\1§

donnera les franges brillantes du deuxième ordre , puis trois demi-ondulations, franges sombres du deuxième ordre, puis quatre demi-ondulations , franges brillantes du troisième ordre, puis cinq demi-ondulations, franges sombres du troisième ordre, etc.

On ne doit pas perdre de vue que, pour une même position du point lumineux de l’écran et du tableau, les résultantes vr et p t* changent un peu de direction, comme nous l’avons vu, à mesure que le point p s’écarte de l’axe dans un sens ou dans l'autre, et c’est là ce qui nous empêche d’indiquer le lieu précis des franges sombres ou brillantes des divers ordres, et leurs distances mutuelles. Mais Frcsnel est parvenu à déterminer ces positions par le calcul , et les expériences qu’il a faites ensuite ont pleinement confirmé sa méthode de calcul.

F rcsncl a pareillement donné une formul e pour résoudre la question suivante : quelles relations doivent exister entre les largeurs de deux écrans , entre leurs distances au point lumineux et leurs distances au tableau pour qu’ils produisent des franges égales.

Soit l la largeur du premier écran ,

F sa distance au point lumineux , t sa distance au tableau.

Soient i/, f', t' les quantités analogues pour le second écran ; les franges seront égales quand ces quantités rempliront les deux conditions suivantes :

t'e = tl'

ff'l’ -j- f'tl2 = ff'el' — |— ftl'j

- Il est facile devoir, d’après ces conditions, que si l’on a l — l', c’est à-dire un même écran pour les deux expériences, il faut nécessairement que l’on ait aussi t = t7 et f=f', et réciproquement. Ainsi, avec un même écran on ne peut pas produire deux systèmes de franges identiques

4^6 L1VRK HUITIÈME.

en faisant varier la distance du point lumineux et celle du tableau.

Si la largeur de l’un des écrans était double de celle de l’autre; si l’on avait, par exemple, l = 2 1/, on on déduirait d’abord ï — - 2 1', c’est-à-dire que, pour avoir des franges égales, il faudrait porter le tableau à une distance double derrière l’écran, qui est double; on trouve en même temps que, devant l’écran le plus étroit , la distance du point lumineux doit être au plus un quart de la distance du point lumineux devant l’écran le plus large.

11 est facile de voir, par la discussion précédente, i°que les franges augmentent de largeur et de distance à mesure que Fou éloigne le tableau derrière l'écran ; mais cette augmentation n’est pas tout-à-fait proportionnelle à la distance ; 2° qu’elles augmentent de largeur à mesure que Fou augmente la distance du point lumineux à l’écran ; b° qu’elles augmentent pareillement de largeur quand l’écran devient plus étroit.

Ces conséquences peuvent être facilemeut vérifiées par l’expérience, et pour rendre plus frappante la vérification delà dernière, il suffit , par exemple, de présenter parallèlement à l’image d’une lentille cylindrique , et à une distance convenable, un corps effilé en pointe comme une aiguille ou comme un triangle très-allongé, et de recevoir son ombre sur le tableau ; ou pourra reconnaître alors que l’ombre de la pointe donne des franges larges et très-distantes , tandis que celle de la base présente des franges si nombreuses et si serrées qu’il devient souvent difficile de les apercevoir, même avec une loupe.

Lorsque l’écran est incliné, comme on le volt (Fig. 280), où li/ représente l’écran, et f le point lumineux, il arrive toujours que les franges cessent d’être symétriques de part et d’autre du milieu de l’ombre, et que la frange centrale brillante suit une ligne courbe. Pour se rendre compte de ce phénomène, il suffit de remarquer que la lu-

mière qui vient dans l’ombre est alors la résultante des ébranlemens excités par les deux portions la et L'A'de l’onde incidente. La résultante de l A sur le point p, par exemple, sera, comme nous l’avons vu, très-voisine de pl, et celle de l'a très-voisine de pl'. Or, les ébranlemens excités parles diverses portions d une ondesc propageant avec la même vitesse que l’onde elle-même, il est évident que la frange centrale brillantesera placée danslcs points de l’ombre géométrique pour lesquels la somme des chemins parcourus par l’onde l A et par sa résultante sera égale à la somme des chemins parcourus par l'a' et par sa résultante; par conséquent , si ces résultantes étaient exactement dirigées, la première suivant pl et la deuxième suivant p'l', le lieu de la frange ceutrale brillante serait déterminé par la condition fl-[-ïl = fl'-|pl'.

Et il est facile de voir que cette condition est remplie par le sommet p du parallélogramme construit sur fll' ; mais , en partant du point p pour se rapprocher de l’écran, la série des points qui remplissent cette condition forme une ligne courbe qui vient aboutir très-près du point l, si l’écran est très-incliné ; quant aux franges sombres et brillantes des différens ordres, qu’elles seront plus larges du côté de la et plus serrées du côté de l'a'.

Ces considérations peuvent faire comprendre combien il est difficile de produire avec les écrans des franges intérieures bien nettes; car , si l’image qui sert de point lumineux a une largeur sensible , l’écran se trouve incliné par rapport aux points lumineux qui forment les bords de l’image, et les systèmes de franges qui résultent de ces points viennent se projeter sur les systèmes de franges qui résultent des points du centre de l’image , et les effacer en grande partie par leur discordance.

Quand les corps qui donnent des franges intérieures ne sont pas terminés par des bords rectilignes, les phénomènes sc compliquent dans leurs apparences de toutes les ir-

régularités de forme que présentent les corps ; mais on peut toujours parvenir à se rendre compte des accidens souvent bizarres que l’on observe alors dans les franges. Il résulte, par exemple, des calculs de Fresnel que l’ombre d’un petit cercle doit être éclairée dans son centre exactement comme si le petit cercle n’existait pas, et M. Arago a reconuu par l’expérience la justesse de cette conclusion: le point brillant du centre est parfaitement visible dans l’ombre d’un cercle de 2 millimètres de diamètre, et en s’éloignant à une distance convenable on peut même l’observer dans l’ombre d’un cercle de 1 centimètre. On conçoit que dans ces expériences il est nécessaire de coller les cercles opaques sur une lame transparente à faces bien parallèles, car un support, quelque délié qu’il fût, produirait, par lui-même et par sa jonction avec le cercle, divers systèmes de franges qui troubleraient le résultat cherché.

Les franges extérieures qui se prod uisent aux deux bords des écrans étroits ne sont pas toujours identiques avec celles qui se produisent au bord d’un écran d’une largeur indéfinie ; elles présentent souvent des anomalies si extraordinaires qu’elles sont à peine reconnaissables; mais en les observant attentivement l’on reconnaît bientôt qu’elles ne sont altérées que dans les cas où les écrans sont assez étroits pour que la portion de l’onde qui rase l’un des bords exerce une action sensible sur celle qui rase l’autre bord; à ces exceptions près, les franges extérieures des écrans étroits sont toujours pareilles aux franges extérieures des écrans indéfinis.

Après avoir analysé les phénomènes des franges intérieures pour une lumière homogène telle que la lumière rouge , il est facile de voir en général ce qui arrivera pour les autres lumières simples , et aussi pour les lumières diversement composées. Toutes choses égales d’ailleurs, les franges seront d’autant plus étroites et plus serrées que la

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES, ÇIJA1?, VI. 4*^9

lumière qui les produit aura des ondulations plus courtes 5 car plus l’ondulation est courte, et moins il faut s’écarter du centre de l’ombre géométrique pour arriver au point où la différence des chemins parcourus estune demi-ondulation. Lorsqu’on est une fois parvenu à connaître les largeurs des franges etleurs distances pour toutes les couleurs simples qui entrent dans une lumière composée, il ne reste plus qu’à déterminer pour un point donné de l’ombre quelles sont les intensités des couleurs qui l'éclairent, et à composer ccs couleurs élémentaires d’après leurs proportions pour avoir la teinte résultante.

L’explication de l’expérience du Dr Young se présente maintenant comme une conséquence-nécessaire des principes que nous venons de développer. Lorsqu’on intercepte la lumière qui rase l’un des bords de l’écran , toutes les franges intérieures doivent disparaître , puisqu’alors il n’y a plus d’interférences possibles; mais l’ombre qui reste n’est pas noire et absolument sans lumière ; elle contient au contraire toute la lumière que la portion de l’onde non arrêtée peut y envoyer , et c’est en effet ce que l’expérience confirme. Cette lumière devient diffuse dans toute l’étendue de l’ombre , en offrant toutefois des intensités variables dans les différons points , et dès qu’on cesse d’intercepter la lumière de l’autre bord , les interférences s’établissent pour doubler l’éclat en quelques points et pour l’éteindre complètement dans d’autres points; de là les franges brillantes et sombres.

Le phénomène observé par M. Ârago, et dont nous avons parlé (5So), rentre pareillement dans la théorie précédente; mais déplus il conduit à une donnée fondamentale sur la propagation de la lumière. En effet., quand on dit nue la frange brillante du milieu de l’ombre résulte du concours de deux lumières qui ont parcouru des chemins égaux, il est bieu entendu que ces chemins sont parcourus dans le même milieu; car la véritable condition

est que les nombres d’ondulations exécutées depuis le point de départ jusqu’au point d’arrivée soient les mêmes. Puisqu’une laine transparente très-mince , interposée d’un côté de l’écran, déplace la frange centrale, on doit en conclure que la lumière qui traverse cette lame n’accomplit pas autant d’ondulations que îa lumière de l’autre bord , qui traverse l’air seulement. On peut même pousser plus loin la conséquence, on peut déterminer la différence absolue des nombres d’ondulations de ccs deux lumières. Si la frange centrale était transportée , par exemple, du côté delà lame transparente, et au lieu qui était occupé par la frange brillante du deuxième ordre, la lumière aurait perdu précisément une ondulation en traversant la lame transparente; car du point lumineux en ce point les longueurs absolues des chemins parcourus en passant par les bords de l’écran sont d'une ondulation. Or, puisqu’on y trouve la frange centrale, qui correspond à des nombres égaux d’ondulations, il faut bien que la traversée de la lame produise sur la lumière le même effet que la perte d’une ondulation. Si îa frange centrale tombait sur la troisième frange brillante, la lumière aurait éprouvé un retard de deux ondulations en traversant la lame transparente, etc.

Donc, dans les substances transparentes et solides, les ondulations sont plus courtes que dans l’air, et il est facile par ce qui précède de déterminer leurs longueurs. On trouve ainsi cette loi remarquable , que les longueurs d'ondulations sont proportionnelles au rapport des sinus d’incidence et de réfraction, ou en d’autres termes, que l’indice de réfraction est précisément le rapport des longueurs d’ondulations.

C’est d'ailleurs un principe fondamental de la propagation de tous les mouvemens vibratoires que les ondulations s’accomplissent toujours dans le même temps, quels que soient les milieux qu’elles traversent, il eu résulte donc

diffraction et INTERFERENCES. *— CIIAP. VI. /j3l

que la lumière se meut plus lentement dans les milieux plus réfringens , et que le rapport des vitesses de la lumière dans deux milieux différens est représenté par l’indice de réfraction, parce qu’il est représenté par le rapport des longueurs d’ondulations.

58g. Franges produites par les petites ouvertures. — Soit F (Fig. 281) le point lumineux ou l’image produite au foyer d’une lentille spbcrique ou cylindrique , et b b' la largeur de l’ouverture que la lumière traverse 5 on peut supposer que cette ouverture est donnée au moyen de l’appareil à biseaux que nous avons décrit précédemment. Les limites de l’ombre géométrique sont représentées par les lignes F g et f'g', et c’est la lumière du faisceau g F g' qui éprouve la diffraction entre les deux biseaux.

Pour mieux faire sentir la cause qui produit ici les franges, nous distinguerons trois cas. Il peut arriver :

i° Que l’on observe seulement des franges extérieures , c’est-à-dire des franges produites dansl’ombre géométrique de part et d’autre du faisceau lumineux intérieur;

20 Que l’on observe seulement des franges intérieures , c’est-à-dire des franges produites dans lefaisceau lumineux intérieur;

3° Que l’on observe à la fois des franges intérieures et extérieures.

Franges extérieures. — Les franges de cette espèce ne peuvent jamais être obtenues que par des ouvertures trèsétroites , et même il arrive souvent que près de l’ouverture elles se trouvent mêlées de franges intérieures plus ou moins nombreuses, de telle sorte qu’il est nécessaire, pour les avoir pures, d’aller les observer à une grande distance derrière les biseaux. Voici les conditions sous lesquelles elles se produisent , et les lois de leur formation :

Du point f comme centre, décrivons un arc abmb'a', qui représente l’onde incidente, figure 281 , et sur la ligne fx, qui passe parle milieu de l’ouverture, concevons un

point p à une dislance de quelques décimètres des bords b et b\ Si l’ouverture est assez étroite pour que la différence des distances fï et pmou ris'et pm soit égale seulement à une demi-ondulation, il n’y aura jamais de franges intérieures à une distance des biseaux plus grande quePM. En effet , pour tous les points , tels que p', situés sur l’axe fx, et plus éloignés que le point p, la différence des chemins parcourus p'b' et p'm ou p'b et p'm sera moindre qu’une demi-ondulation; par conséquent, de tous les ébranlemens envoyés en p' par l’arc «b, aucun ne sera détruit; il en sera de même des ébranlemens envoyés au même point par l’arc mb'. De plus , la résultante des premiers sera conspirante avec celle des seconds; il y aura donc une vive intensité de lumière. Ainsi , au delà du point p , jamais on n’observera de frange sombre sur l’axe fx.

Maintenant , si par le point p l’on mène la ligne indéfinie ph parallèlement aux biseaux, et que l’on détermine sur cette ligne les points s , s', s", etc. , pour lesquels les différences des chemins parcourus sb7 — sb, sV — s'b, sV — s"b, etc., soient respectivement i demi-ondulations, 4 demi-ondulations, 6 demi- ondulations, et en général un nombre pair de demi-ondulations, ces points s, s', s'', etc., seront les milieux des franges sombres du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre, etc. Au contraire , les milieux des franges brillantes du premier , du deuxième, du troisième ordre, etc. , seront donnés par les points n, r7, r", etc., compris entre les premiers , et pour lesquels les différences des chemins parcourus rb7 — re, rY — r7b , rV — r"b, etc., sont respectivement 3 demiondulations, 5 demi -ondulations, 7 demi -ondulations , et en général un nombre impair de demi-ondulatious.

En effet , dans le premier cas, s’il s’agit du point s7 , par exemple , on conçoit que la portion bmb' de l’onde incidente puisse être divisée, à partir du point b, en quatre parties telles que les distances de s' à la fin de la première,

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES, — CIIAP. VI. 4^3

tic la deuxième, de la troisième et de la quatrième , qui se termine en b', surpassent s' b d’une demi-ondulation, deux demi-ondulations , trois demi-ondulations et quatre demi-ondulations. Alorsla résultante des ébranlemens que la première partie envoie en s' sera discordante avec celle de la deuxième partie, et sera détruite par elle, tandis que celle de la troisième partie sera, par la même raison, détruite aussi par celle de la quatrième. Ainsi ? Ie points' est le milieu d’une frange sombre. Pour le point s, on partagerait l’arc bm b' en deux parties, en six peur le point s1', etc., et l’on ferait le même raisonnement.

Dans le second cas , s’il s’agit du point R.', par exemple , on conçoit que la portion bvib' de l’onde incidente puisse être divisée , à partir du point b , en cinq parties telles que les distances de id à la fin de la première, de la deuxième, de la troisième, de la quatrième et de la cinquième , qui se termine en b', surpassent respectivement s' b d’un, deux, trois, quatre et cinq demi-ondidations. Alors, la résultante des ébranlemens que la première partie envoie au point b/ sera détruite par celle de la deuxième , tandis que celle de la troisième sera réduite par celle de la quatrième; mais il restera celle de la cinquième partie, qui viendra éclairer le point u/ de toute son intensité. Ainsi le point b.' sera le milieu d’une frange brillante. Pour le point n, on diviserait l’arc bvie' en trois parties, en sept pour le point b.", etc. , et l’on ferait le même raisonnement.

Telle est la cause de la formation des franges extérieures par des ouvertures étroites.

Pour donner une idée plus juste et plus complète de ces phénomènes, nous ajouterons encore ici les grandeurs absolues des ouvertures etlcs distances correspondantes où l’on commence à observer les franges extérieures dans toute leur pureté. Nous avons fait voir plus haut que ces franges commencent à sc produire régulièrement à une

distance telle que la différence pb — pm (figure 281 ) ou pb' — pm soit égale à une demi-ondulation. Or, il est facile de voir que si l’on représente celte distance par t, et par f la distance du point lumineux aux biseaux, la condition dont il s’agit sera remplie quand la largeur v de l’ouverture sera donnée par l’équation

4 F t cl -, 2 1

d étant la longueur de l’ondulation pour la lumière sur laquelle 011 opère.

Le tableau suivant contient les largeurs qu’il faut successivement donner à l’ouverture pour que les franges extérieures commencent à paraître aux distances respectives de 1, 2, 3 , 4 5 5,6, 7,8, 9 et 10 déci mètres , en supposant , 1 0 que f = 1 mètre , et 20 que f = cc , c’est-àdire que le point lumineux soit d’abord à 1 mètre au-devant des biseaux, et qu’il soit ensuite assez éloigné pour envoyer de la lumière parallèle.

Distances auxquelles les franges

Largeurs de l'ouver-

Largeurs do l’ouver-

extérieures commeDctut

taie des biseaux

ture des biseaux

à paraître seules.

pour 1000 millim.

pour F=oo .

millimètres.

millim.

millim.

CO

en

3oo ......

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Ainsi le point lumineux étant à i mètre, et la lumière incidente étant le rouge moyen , si l’ouverture des biseaux

DIFFRACTION F.T INTERFERENCES. — CÏTÀP. VI. /|35

est seulement 0,474 ou un Pcu moins de l demi-millimètre, il faudra s’éloigner à i décimètre derrière les biseaux pour voir les franges extérieures, et il faudra s’éloigner à i mètre si l’ouverture des biseaux est seulement 1,112, c’est-à-dire un peu plus de i millimètre. A de moindres distances , le faisceau central seifait sillonné des franges intérieures plus ou moins nombreuses.

On peut juger par la troisième colonne que pour des ouvertures égales il faut s’éloigner d’autant moins derrière les biseaux que la lumière incidente est moins divergente , puisqu’avec une ouverture de 1 millimètre 112, il suffit dans la lumière parallèle de s’éloigner à 1 demi-mètre, au lieu de 1 mètre , qui est nécessaire dans le premier cas.

Il n’était pas inutile de faire voir, par des valeurs numériques , que ces phénomènes s'accomplissent dans d’assez grandes dimensions pour que l’on puisse les produire et les observer avec une suffisante exactitude.

Il nous reste à présent à indiquer les lois générales que suivent les franges extérieures dans leur développement.

Puisque les milieux des franges sombres du premier ordre forment la série des points dont les distances aux points b et b' sont de deux demi-ondulations, il est évident quelles se trouvent sur deux branches d’hyperboles ayant pour foyer les points b et b', et pour grand axe une longueur égale à deux demi-ondulations. Par la même raison les franges des divers ordres se meuvent suivant des hyperboles dont les foyers sont encore en b et b', et dont les grands axes ont respectivement pour longueurs quatre, six, huit, etc., demi-ondulations. Or, ces hyperboles se confondent sensiblement avec leurs asymptotes, et il est facile de voir, en représentant par v la largeur de l’ouverture, et par d la longueur d’une ondulation, que les tangentes des angles des asympsotes avec l’axe des franges sont

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- ■ pour le premier ordre,

- 'pour le deuxième ordre:

• - pour le troisième.

En prenant, par exemple, une largeur d’ouverture de i millimètre , on a

et l’angle correspondant est 2' 8".

Ces angles sont toujours assez petits pour être proportionnels à leurs tangentes-, ainsi, celui du deuxième ordre est double de celui du premier, celui du troisième ordre triple, celui du quatrième ordre quadruple, etc. D’ailleurs la grandeur absolue du premier est en raison inverse de la largeur de l’ouverture. Ainsi , nous sommes conduits aux lois suivantes :

i° La largeur des franges ou la distance des milieux de deux franges sombres consécutives est en raison inverse de la largeur de l’ouverture.

20 De chaque côté de l’axe les franges sombres consécutives sont équidistantes, et leur distance est égale à la distance de l’axe à la frange sombre du premier ordre , ou, ce qui revient au même, les distances des franges sombres à l’axe forment une progression arithmétique dont la raison est égale au premier terme.

3° Les largeurs absolues des franges intérieures croissent proportionnellement à la distance à laquelle on les reçoit derrière les biseaux.

4° Les largeurs absolues des franges sont en raison inverse des rapports de réfraction des milieux dans lesquels elles sont produites, car elles sont en raison inverse des

DIFFRACTION ET IttTERFiREJTCES. — CIIAP. VI. 437

ondes, et nous avons vu plus haut que les longueurs des ondes sont en raison inverse des rapports de réfractions.

Ces lois, qui se déduisent si simplement de la théorie de Fresnel, ont été établies pour la première fois dans le travvl que nous avons fait en i8i5 , M. Biot et moi, sur les phénomènes de diffraction; elles étaient alors un pur résultat d’expérience; nous n’avions pu trouver aucune théorie pour les lier ou pour les expliquer, parce que nous adoptions exclusivement le système de l’émission, qui ne peut en réalité expliquer la moindre circonstance des phénomènes de la diffraction.

Franges intérieures. Soit F le point lumineux ( figure 282) , b et b' les biseaux , et p un point pris sur l’axe fmx à une distance telle que la différence pb — pm , ou p b' — pm soit une demi-ondulation. Nous venons de voir qu’au delà du point p il n’y a pas de franges intérieures; mais nous allons montrer qu’en deçà du point p , c’est-àdire plus près des biseaux , il y a successivement sur l'axe des franges sombres et brillantes. En effet, on conçoit qu’il existe des points s, s', s" pour lesquels les différences s b—

SM OU se' - SM, s' B — s'm , OU s' b' - s'm , s"b - SnM, OUsV

— s'm, etc., seront respectivement a , 4> ou en général un nombre pair de demi-ondulations, et ces points seront les milieux de franges sombres , puisque chacun des ébranlemens qu’ils reçoivent des parties mb et mb' de l’onde incidente est détruit par lui-même. Au contraire , le» points n, b.', etc. , compris entre les premiers, sont tels que les différences r b — r m , ouek' — bm,b'b — r'm , ou r'b' — r'm , etc. , seront de 3 , 5, ou en général un nombre impair de demi-ondulations, et ces points seront les milieux de franges brillantes , puisqu’ils éprouvent de la part des arcs b m et bm' des ébranlemcns concordans, qui sont chacun séparément capables de les éclairer. Ainsi la condition qui nous a servi dans la page {\'$i à déterminer les distances où les franges extérieures commencent à être w* 29

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seules nous donne pareillement les limites desquelles il faut partir pour observer des franges intérieures en se rapprochant des biseaux.

Maintenant , pour donner une idée du nombre et des distances des franges intérieures , nous examinerons seulement le cas où la lumière incidente est de la lumière parallèle. L’onde qui tombe sur les biseaux étant alors représentée par la ligne droite b b' ( Fig . 283) , prenons sur l’axe du faisceau un point p tellement situé que la différence pb — ïmouïb' — p m soit un nombre pair de demiondulations , par exemple, dix demi-ondulations. Ce point y sera le milieu d’une frange sombre , puisque chacun des ébranlemens des arcs mb et m b' se détruit séparément, bien que cette destruction ne soit pas totale. Pour des points voisins du point p, et comme lui situés sur l’axe, ou plus près ou plus loin des biseaux , la différence sera onze demi-ondulations ou neuf demi-ondulations, donc il y aura lumière, comme nous venons de le voir dans la figure précédente, elle chemin qu’il faudra faire pour arrivera ces points sera d’autant plus court que les biseaux seront plus écartés l’un de l’autre. Mais arrêtons-nous au point p, et essayons de faire voir que sur la ligne horizontale ph il y aura à côté de lui des franges alternativement brillantes et sombres. Concevons que l’on prenne sur p h yn point s, déterminé par la double condition que les différences sb — s m, et su’ — s 7/2 soient l’une et l’autre un nombre pair de demi-ondulations, par exemple, la première huit et la seconde quatorze, il est évident que le point s sera alors le milieu d’une frange sombre; et, en général , il y aura sur p h autant de franges sombres qu’il y aura de points analogues au point s, c’est-à-dire tels que les différences sb* — s m et s b’ — sra soient l’une et l’autre égales à un nombre pair quelconque de demi-ondulations; d’ailleurs il est facile de voir que ces franges sombres seront d’autant plus nombreuses et plus serrées que l’ouverture

DIFFRACTION ET INTERFÉRENCES. — CIIAP. VI. 439

sera plus grande , et le point lumineux et la ligne ph l’un et l’autre plus rapprochés des biseaux. Au contraire » les franges brillantes seront déterminées par les points r , pour lesquels les dilférences i; u — r n et un' — il n sont chacune égales à un nombre impair de demi-ondulations , puisque alors ces points recevront de chaque partie B n et h'n de l’onde incidente des ébraulcmcns conspirans , et dont chacun séparément serait capable de les éclairer.

Franges intérieures et. extérieures. Pour cpi’il se produise à la fois des franges intérieures et extérieures, il su (Ht que l’ouverture soit assez large pour donner naissance à des franges intérieures, et assez étroite pour que les portions de l’onde qui touchent l’un des bordsdonnent une résultante sensible dans l’ombre de l’autre bord. Sous cette double condition chacun des systèmes de franges est produit suivant les lois qui lui sont propres.

Les principes que nous venonsd’exposer sur les modifications remarquables que présente la lumière homogène d’une seule couleur , en passant au travers des ouvertures rectangulaires, peuvent être étendus à toutes les couleurs simples séparément, et par conséquent a urte lumière composée quelconque puisque, dans tout mélange, chaque couleur élémentaire suit très - exactement les lois qu’elle suivraitsi elle était seule. Ces mêmes principes peuvent être appliqués avec plus ou moins de simplicité ou de complication aux ouvertures, de diverses formes, régulières, irrégulièresoubizarrement variées dans leurs contours. Il est facile de voir , par exemple, que les ouvertures circulaires donneront des franges annulaires , soit extérieures, soit intérieures, soit mélangées de l’une et l’autre espèce, suivant le diamètre des ouvertures, la distance du po nt éclairant et celle du tableau sur lequel on fait l’observation. On pourrait exercer sa sagacité à varier les conditions qui font varier les franges , à compliquer les formes de mille accidcns divers , et à démêler ensuite ou analyser ces com-

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plicatîons au moyen de la théorie ; mais la science n’aurait probablement rien à gagner à ces recherches de détail, qui deviendraient seulement un jeu d’esprit propre à satisfaire une stérile curiosité. Tout le monde sait, par exemple, qu’en regardant au travers des barbes d’une plume quelque corps lumineux de petite étendue, comme la flamme d’une bougie, on observe de vives couleurs qui se succèdent périodiquement dans un certain ordre. Ces couleurs sont certainement produites par les linéamens qui composent la barbe de plume et par les fentes étroites qu’ils laissent entre eux. Leur éclat et leur distribution dépendent de la grosseur de ces linéamens et de la forme de ces fentes ; mais après ce que nous avons dit sur les principes généraux de la théorie , il serait sans doute bien inutile de faire une analyse minutieuse de ccs couleurs et de tous les accidens qui peuvent à l’infini diversifier leurs apparences.

5go. Franges produites par la réflexion sur les surfaces polies très-étroites , et sur les surfaces irrégulièrement striées. Au devant du point lumineux F on présente perpendiculairement ou obliquement ( Fig. 284 ) un miroir métallique de très-petite dimension dans un sens, ayant, par exemple, une longueur quelconque, et une largeur mm' qui ne dépasse pas 1 ou 2 millimètres; alors le faisceau réfléchi mg, m'g’ présente un système de franges intérieures et un système de franges extérieures, et quelquefois les deux systèmes ensemble. Ces phénomènes sont toutà-fait analogues à ceux que nous venons de décrire; car le faisceau réfléchi est exactement comme s’il partait du point f’, image du point f , et qu’il fût obligé de traverser une ouverture d’une largeur mm': seulement la direction dans laquelle il la traverse est oblique au lieu d’être perpendiculaire , commenous l’avons toujourssupposé. Mais iln’est pas nécessaire d’analyser ici l’influence de cette circonstance, nous l’avons suffisamment indiquée en parlant des écrans inclinés, page /pi6, fîg. 280.

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Une surface polie qui se trouve accidentellement sillonnée d’uue ou de plusieurs stries irrégulières produit encore des effets analogues. Soit que les rayons incidens cessent d’être réfléchis régulièrement sur plusieurs points de la surface striée, comme sur les arêtes des stries, ou même dans leur profondeur, soit qu’ils suivent seulement après la réflexion des directions rapidement changeantes d’un point à l’autre -, il se trouve alors dans les rayons réfléchis des inégalités dechemins parcourus qui déterminent des interférences, et par conséquent des franges sombres et brillantes dans le cas de la lumière simple, et des franges, ou plutôt des teintes diversement colorées dans le cas de la lumière blanche.

Ces phénomènes peuvent être observés sur toutes les surfaces métalliques qui n’ont pas été polies avec delà poudre assez fine, et aussi sur toutes les surfaces parfaitement polies qui sont enduites d’une couche de graisse, de vernis, ou même de goutelcttes de rosée. En passant, par exemple, le doigt sur une glace humide, on laisse une trace qui 'donne souvent de très-vives couleurs, dont l’ordre et l’aspect changent dans tous les sens avec la position de l’œil.

Les couleurs éclatantes de la nacre de perle sont encore dues à la même cause, bien que dans certaines circonstances elles semblent se rapprocher davantage des vives nuances des réseaux que nous allons examiner dans un instant. La substance de la nacre se trouve, comme on sait, dans l’intérieur de l’écaille d’une certaine espèce d’huîtres -, elle se forme, avec le temps, d’une multitude de couches très-minces, qui se déposent successivement , chacune prenant toujours la forme et les contours de la couche précédente. En travaillant un morceau de nacre on en coupe les joints naturels suivant une multitude de lignes sinueuses , et les surfaces qui en résultent , quelque polies qu elles paraissent, se trouvent sillonnées dans tous les sens d’uno infinité de stries irrégulières, dont l’œil ne

peut directement saisir ni la trace ni la profondeur. Mais les rayons de lumière qui tombent sur ces irrégularités sans nombre , et qui s’y réfléchissent, sont nécessairement forcés de parcourir des chemins inégaux pour revenir à l’oeil 5 de là des interférences infiniment multipliées, et cette profusion de couleurs brillantes que présentent les surfaces de nacre artistement travaillées.

Une expérience ingénieuse, imaginée par M. Brewster, démontre directement que les couleurs de la nacre sont dues en effet aux accidens de la surface. Elle consiste à prendre, avec toute la fidélité possible, l’empreinte d’une surface de nacre sur de la cire à cacheter, de la résine , du mastic, ou même sur un métal en fusion. Alors , en donnant tous les accidens de sa forme, la nacre donne en meme temps scs couleurs et tous ses rellets brillans. Ce qui prouve bien , comme nous l’avons tant de fois répété , que dans tous les phénomènes de diffraction la matière agit par sa forme, et jamais par la nature de sa substance.