POSITIFS

Zircon-

Quarz.

Oxide de fer.

Tungstaie de zinc.

Stannite.

Boraciie.

Apophylite.

Sulfate de potasse et de fer.

Suracéiate de cuivre et de chaux.

Hydrate de magnésie.

Glace.

Hyposulfate de chaux.

Hioptase.

Argent rouge.

443. Cristaux à deux axes. — Nous avons vu précédemment que le caractère des cristaux à deux axes est d’offrir deux directions, et pas plus de deux, suivant lesquelles le rayon naturel incident peut pénétrer leur substance sans se diviser en deux autres rayons. Ces axes ne peuvent plus ici être déOnis d’une manière simple et commode par l’axf cristallographique; mais il est évident que les deux axe: étant une fois connus pour un point d’une substance cristal Usée les deux lignes menées parallèlement à ces axes pa un autre point quelconque seront les axes de cet autre point

Fresnel a découvert par la théorie et démontré par l’expé rience que dans les cristaux à deux axes il n’y a plus d rayon ordinaire , c’est- à-dire que les deux rayons qui nais sent de la division d’un rayon incident ne suivent ni l’un i l’autre les lois générales de la réfraction. La marche de 1 lumière est donc ici bien plus compliquée encore que dar les cristaux à un axe.

Cependant, nous allons indiquer deux coupes pour les quelles la question se simplifie.

1° Coupe perpendiculaire à la ligne moyenne.— Supposoi que px et px' [fig. 298) représentent les deux axes d’un cri; lal : l’angle xpx' est l’angle de ces axes ; et la ligne pm, q divise cet angle en deux parties égales, est la ligne moyeni ou la ligne intermédiaire; le plan perpendiculaire à pm doni

CHAP. I.—DOUBLE RÉf/UCTION, 339

dans le cristal une section pour laquelle I'uk des deur rayons se conforme aui lois générales de la réfraction.

2” Coupe perpendiculaire à la ligne supplémentaire. — Le plan perpendiculaire à la ligne ps, que l'on nomme ligne

supplémentaire (parce qu'elle divise en deux parties égales

le snpplément de l'angle des aies ( /igure 298), détermine dans le cristal une section pour laquelle l'autre des deux rayons qui naissent d'nn rayon incident se conforme aux lois générales de la réfraclion.

Au moyen de ces deux coupes, l’on pourra donc détermiler les indices de réfraction des deux rayons qui sont ana

logues au rayon ordinaire et au rayon extraordinaire des cristaux à un axe.

Voici le tableau des cristaux à deux axes.

Table des cristaux à deux axes.

Noms des substances.

Sulfate de nickel (certains échantillons)

Sulfo-carbonate de plomb .

Carbonate de strontiane .

Carbonate de baryte . .

Nitrate de potasse .

Mica (certains échantillons) .

Talc . . .

Perle .

Hydrate de baryte .

Mica (certains échantillons) .

Arragonite .

Prussiate de potasse .

Mica (certains échantillons) .

Cymophane . *

Anhydrite .

Borax . . .

Mica (divers échantillons examinés par M. Biot)

Apophylite .

Sulfate de magnésie .

Sulfate de baryte .

Spermaceti . { environ ).

Angle des axes.

Noms des substances.

Borax natif . . .

Nitrate de zinc .

Stilbite .

Sulfate de nickel .

Carbonate d’ammoniaque .

Sulfate de zinc . .

Anhydrite (examinée par M. Biot) .

Mica .

Lepidolite . . .

Benzoate d’amfnoniaque . . .

Sulfate de soude et de magnésie .

Sulfate d’ammoniaque .

Topaze^ du Brésil . .

Sucre . .

Sulfate de strontiane .

Sulfo-bydrochlorate de magnésie et de fer Sulfate de magnésie et d’ammoniaque. . . .

Phosphate de soude .

Comptonite .

Sulfate de chaux .

Oxynitrate d’argent .

lolite .

Feldspath .

Topaze (Aberdeeshire) .

Sulfate de potasse .

Carbonate de soude . » .

Acétate de plomb .

Acide citrique .

Tartrate de potasse .

Acide . .

Tartrate de potasse et de soude . .

Carbonate de potasse .

Cyanite .

Chlorate de potasse .

Epidote . . .

Hydrochlorate de cuivre .

Péridot .

Acide succinique .

Sulfate de fer .

Angle des axes.

444. Lois générales de la double réfraction dans les cris taux à un axe et à deux axes. —Si, par un point donn dans l’intérieur d’un cristal, on conçoit des lignes tracét dans toutes les directions possibles, il est évident qu’un rayo de lumière peut traverser ce point en passant successive

CHAP, 1. — DOUBLH RÉFRACTION. 341

ment par chacune de ces directions. Dans un cristal à un axe, le rayon ordinaire aura toujours la même vitesse, quelle que soit celle de ces routes suivant laquelle il se propage , tandis que le rayon extraordinaire aura une infinité de vitesses différentes comprises entre deux limites déterminées. Dans un cristal à deux axes, les vitesses seront changeantes avec les directions, soit pour l’un, soit pour l’autre des deux rayons que la double réfraction développe, et elles seront changeantes suivant des lois différentes. On doit à Hujghens une construction géométrique très élégante, qui donne en même temps toutes les vitesses du rayon extraordinaire, et toutes ses positions par rapport au rayon ordinaire correspondant ; mais cette construction ne s’applique ju’aux cristaux à un axe. Les effets plus compliqués des îristaux à deux axes restaient inexactement exprimés, soit par a loi d’Huyghens, soit par les modifications plus ou moins Dgénieuses que l’on avait essayé de lui donner, lorsque le ;énie de Fresnel parvint à saisir à la fois, comme dans une eule pensée, la cause de la polarisation, celle de la double éfraction, et la loi générale de ces phénomènes dans tous 3s cristaux. Cette découverte est, sans contredit, l’une des lus admirables découvertes dont la science se soit enrichie. Pour ne pas anticiper sur ce qui appartient à la polarisaon, nous nous contenterons de donner ici les vitesses des eux rayons qui naissent de la double réfraction; ces vitesses cuvent être exprimées en traduisant la construction de ^resnel, et alors elles prennent la forme suivante :

+ (d'»— d’) sin. => i(a'— a), u'"=d»-|- (d"— d') sin. » i (o'+a) :

V vitesse ordinaire , V vitesse extraordinaire , a angle du lyon avec le premier axe , a‘ angle du rayon avec le suxième axe ; d pour les cristaux à un axe, vitesse ordiaire; pour les cristaux à deux axes, vitesse constante dans I section perpendiculaire à la ligne supplémentaire;; d' pour

les cristaux à un axe, vitesse extraordinaire; pour les cristaux à deux axes, vitesse constante dans la section perpendiculaire à la ligne moyenne.

Pour mieux faire comprendre ces formules, nous les dis-; culerons dans quelques cas particuliers.

10 Cristaux à un axe. — Lorsque les deux axes se réduisent à un seul, les angles a et a' que le rayon fait avec chacun des axes se réduisent pareillement à un seul et l’on aj simplement ; j

(d" — d*) sin.’a.

Ainsi, la vitesse ordinaire v est constante dans toutes les directions et toujours égale à d : tandis que la vitesse extra* ordinaire v' dépend de l’angle a, que le rayon extraordinaire fait avec l’axe.

Quand ce rayon est dans la section perpendiculaire à l’axe, on a a=90°, sin.» et = 1 ; et v'=d'.

Ainsi, la vitesse extraordinaire est constante.

Quand il se meut parallèlement à l’axe, on a a=o sin.v =0 ; et v'=d.

Ainsi dans cette direction, et dans celle-là seule, la vitessi extraordinaire devient égale à la vitesse ordinaire.

Ces deux valeurs d' et d sont les deux limites de la vitesse extraordinaire : l’une est son maximum , et l’autre soi

minimum.

Dans le système ondulatoire que nous avons adopté, l’indice de réfraction n’est autre chose que le rapport direct de vitesses, et, si nous représentons par 1 la vitesse de la lu;

mière dans le vide , sera l’indice de réfraction du rayoïj a

extraordinaire dans la section perpendiculaire à l’axe, tandi

que-^ sera l’indice de réfraction du rayon ordinaire; le ca d

racfère des cristaux négatifs sera donc d' d, et celui des cristaux positifs d'Cd.

Dans le premier cas, d'^—d\ coefficient de sin.’a, est positif, et le maximum de v correspond au cas où l’on a sin. a'=l ou a=90°, tandis que le minimum correspond à sin.® a = o ou à a = O. Dans le second cas, au contraire , d'' — d’ est négatif, et le minimum de v' correspond à a = 90, et le maximum ha —o.

C’est donc toujours en se propageant suivant l’axe, et dans la section perpendiculaire à l’axe, que le rayon extraordinaire acquiert sa moindre et sa plus grande vitesse; mais pour les cristaux négatifs, le maximum a lieu dans la section perpendiculaire à l’axe, et le minimum dans le sens de l’axe, et c’est le contraire pour les cristaux positifs.

2° Cristaux à deux axes. — Quand le rayon est compris dans la section perpendiculaire à la ligne supplémentaire ps {fig. 298), il est évident qu’il fait toujours des angles égaux avec chacun des axespa: et px' ; ainsi a=a' et se réduit à

u’ = d* ou u = d.

Ainsi, comme nous l’avons annoncé, d est dans ce cas l’expression de la vitesse, et c’est pour celte raison que nous appellerons vitesses ordinaires toutes celles qui sont données par les diverses valeurs de v.

Au contraire, quand le rayon se meut dans la section perpendiculaire à la ligne moyenne pm, la somme des angles a et a' est toujours égale à deux angles droits, d’où il résulte:

v'’=d'* ou v'=d'.

C’est pourquoi nous avons dit que d' représente la vitesse du rayon dans cette section, et nous appellerons aussi vitesses extraordinaires toutes celles qui sont données par les valeurs de v'

Quand d' est plus grand que d, le minimum de la vitesse

ordinaire a lieu pour a'«=a , ou pour v=d, et le maximum a lieu lorsque a'— a est le plus grand possible, ce qui arrive dans le plan des axes.

Le minimum devient maximum, et vice versa, lorsque d est plus grand que d'.

Les maximum et minimum du rayon extraordinaire arri- ! vent aussi pour v'=.d', et par conséquent pour le cas où le rayon est dans le plan des axes , mais ils changent pareil-! lement de rôle lorsque d' est plus grand ou plus petit que d.i

On peut encore remarquer que dans tous les cas la différence des carrés des vitesses est exprimée par la formule :

V'* — v^—(d'^ — d>) sin. a' sin. a,

c’est-à-dire que les deux rayons ordinaires et extraordinaires ayant une direction commune, les différences des carrés de leurs vitesses sont proportionnelles au produit des sinus des angles que chacun d’eux fait avec les deux axes. Cette remarque avait été faite parM. Brewster et par M. Biot avanï que Fresnel eût indiqué la loi simple qui embrasse le phénomène dans toute son étendue.

445. Diverses expériences de double réfraction. — Nousi indiquerons ici quelques-unes des nombreuses expériences que l’on peut faire pour habituer l’esprit à suivre les mouvemens delà lumière dans les cristaux biréfringens.

1^*. Expérience de Monge. En regardant la double image d’un objet b placé à quelque distance au dessous de la surface inférieure d’un rhomboïde {fig. 299) , et en promenant une carte contre cette surface, on voit avec surprise que, si elle passe de gauche à droite, c’estTimage de droite qu’elle cache la première, et vice versa. Ce phénomène tient à ce que les| faisceaux 0 0' et ee', qui apportent dans l’œil p l’impression des images ordinaires et extraordinaires , se croisent dans l’intérieur du cristal à cause de leur inégale réfrangibilité et de leur inégale incidence sur la surface d’entrée ff'. Le

faisceau extraordinaire provenant de hrr' n’arrive pas à ] œil, non plus que le faisceau ordinaire provenant de 6 2®. Expériences sur le lieu apparent des images. En plaçant 1 œil très près de la surface supérieure d’un rhomboïde, et en regardant des points qui sont très près de la surface inférieure, soit au dehors comme des marques faites sur du papier, soit au dedans comme des taches particulières à la masse du cristal, on reconnaît que, des deux images d’un même point, l'une paraît sensiblement plus rapprochée que 1 autre; et c’est l’image ordinaire, parce que, le spath d’Islande étant négatif, l’indice ordinaire surpasse l’indice extraordinaire.

3°. Expériences des rhomboïdes superposés. Lorsqu’on superpose deux rhomboïdes pour regarder des objets au travers de leur double épaisseur, on observe les phénomènes suivants ; quand les sections principales de ces deux rhomboïdes sont parallèles ou perpendiculaires, on ne volt que deux images de l’objet, comme si le rhomboïde était seul; nais l’on en voit 4 images diversement intenses dans toutes es autres positions relatives des 2 sections principales.

Nous devons conclure de là que les deux rayons ordilaire et extraordinaire qui sortent d’un premier rhomboïde )nt une propriété qui les distingue essentiellement d’un nyon de lumière naturelle , puisque celui-ci donne toujours leux images égales en traversant un rhomboïde.

Pour mieux analyser cette propriété distinctive, on peut mployer la lumière solaire et placer le second rhomboïde ssez loin du premier pour agir séparément sur es rayons rdinaires et extraordinaires auxquels il a donné naissance.

Alors ou reconnaît : loque, si les sections principales sont arallèles, le rayon ordinaire du l^r cristal se réfracte tout ener ordinairement dans le 2®, et que le rayon extraordinaire -réfracte aussi tout entier extraordinairement;^'^ cpxe, si les îctioüs principales sont perpendiculaires, le ratjon ordinaire Il premier cristal se réfracte tout entier extraordinairement

dans le second, tandis que \e rayon extmordinaire se réfracte tout entier ordinairement', 3“ que, si les sections principales font entre elles un angle de 45% chacun des rayons ordinaire et extraordinaire du premier cristal se divise dans le second en deux faisceaux égaux; 4» que, dans les autres situations relatives des deux sections principales, chacun des faisceaux du premier cristal donne naissance à deux faisceaux inégaux dans le second.

Dans toutes les expériences de cette espèce, on peut avec avantage substituer aux rhomboïdes des prismes de chaus carbonatée ou de cristal de roche, achromatisés avec du verre; c’est ce que nous appellerons des prismes bi-rèfringens. Ils doivent être travaillés de manière que l’axe optiqui soit parallèle ou perpendiculaire à l’arête du sommet; alors en donnant aux faces latérales des inclinaisons convenables on obtient des séparations plus ou moins grandes entre le deux images, et rien n’est plus facile que d’observer et d’analyser chacune d’elles en particulier ; mais l’on conçoit qu jamais les deux images ne peuvent être à la fois complétt ment achromatisées, puisqu’elles proviennent de puissance réfractives différentes.

5°. Expérience deréflectionàla seconde surface des cori doublement réfringens. — Quand un faisceau de lumière i réfléchit à la seconde surface d’un corps doué de la doub réfraction, il présente des phénomènes particuliers qui lier nent aux propriétés dont nous venons de parler. En arriva à cette seconde surface, le faisceau est ordinaire ou extraoi naire, puisqu’il vient de traverser un cristal, et, après la r flection, il se trouve dans le même cas qu’un faisceau orc naire ou extraordinaire qui se présente pour pénétrer da un second cristal. Delà les différentes apparences des imag réfléchies suivant les positions relatives de l’œil, du plan réflection, et de la section principale du cristal. Tous cese fets peuvent être facilement analysés au moyen du prisi bi-réfringent. i

CHAP. I.— DOüBLE RÉFRACTION. 347

446. Double réfraction du verre comprimé. — Après avoir eiposé les principaux phénomènes de la double réfraction dans les cristaux, nous devons donner une idée des causes accidentelles qui peuvent agir sur la plupart des corps diaphanes pour les rendre aussi doublement réfringens. Ces indications n auront pas seulement pour objet de nous faire connaître des faits nouveaux ; elles serviront encore à nous montrer d’une manière évidente que la division des rayons dans les corps doublement réfringens est produite par l’inégale élasticité que possède l’élher dans les différentes directions, et que cette inégale élasticité résulte elle-même de la forme des molécules, de leur distance relative et de leur arrangement particulier. Voici l’expérience queFresnel a imaginée pour démontrer cette vérité importante.

Quatre prismes rectangulaires de verre a, 6, c, d, parfaitement égaux entre eux, sont posés à côté l’un de l’autre sur un plan horizontal, par leur face hypoténuse {fig. 300). D’un côté et de l’autre, on applique contre les quatre bouts des bandes de carton, et sur elles des bandes très rigides d’a-

!ier ; puis on les comprime très fortement dans un étau conenable, de telle sorte que la compression s’exerce dans le sns de l’axe ‘des prismes pour en diminuer la longueur, ’endantque le verre est ainsi maintenu dans un état forcé, n ajuste trois autres prismes rectangulaires e, f, et deux risraes h, k, de 45«, pour compléter un parallélipipède alongé dont les faces extrêmes s s' soient parallèles ; les faces atérales de tous ces derniers prismes sont collées aux faces alérales des premiers avec du mastic en larmes, afin d’éviter es réfleclions partielles.

Ce système, ainsi composé, est doué de la double réfracion. Une petite mire, placée à 1 mètre du côté de la face s' )ar exemple, est vue double par l’œil qui regarde contre la ace s, et l’écart des deux images peut être de 1 millimètre ou nême davantage. On peut du reste s’assurer que chacun des leux faisceaux jouit bien de tous les caractères des faisceaux

doublement réfractés. Or, il est bien évident que, dans ce cas, la double réfraction est produite par l’inégale élasticité de l’éther, dans le verre comprimé et dans celui qui ne l’est pas.

Nous verrons à la fin de la polarisation beaucoup de phénomènes très curieux qui résultent d’une véritable double réfraction dans un grand nombre de corps diaphanes non cristallisés ; mais, si cette double réfraction est assez forte pour produire de vives couleurs, elle est trop faible pour être observée directement.

Pour compléter l’exposition des principaux phénomènes qui appartiennent exclusivement à la double réfraction, nous indiquerons encore ici comment le principe de la division des rayons peut être utilement appliqué à la mesure des petits angles : c’est Rochon qui a réalisé le premier cette ingénieuse application, en 1777, dans un instrument que l’on appelle aujourd’hui micromètre à double image ou. lunette de J^ochon.

Micromètre à double image. — Concevons deux prismes de cristal de roche {fig. 301 ), l’axe du premier, as&, étant perpendiculaire à la face s b, et l’axe du second étant, au contraire, parallèle aux faces latérales as', b s' et a&; supposons que leurs angles réfringens abs et bas' soient égaux, et qu’on les ait réunis par la face ab, avec du mastic en larmes, de telle sorte qu’ils composent un seul système dont les faces as et s & soient exactement parallèles.

Un faisceau de lumière, tombant perpendiculairement sui sb, pénétrera sans déviation ni bifurcation jusqu’à la face ab; mais là, il sera décomposé en 2 faisceaux distincts : l’un, ordinaire, qui suivra sa route o u o' en ligne droite; l’autre, extraordinaire, qui sera dévié et prendra la route vtx, eu faisant, après son émergence, un angle xtq' = e avec la normale ou avec le faisceau ordinaire v o. En plaçant l’œil derrière h face as', ou verra donc unq double image du point qui envoie la lumière, et ces deux images seront vues sous l’angle e. Lesi faisceaux envoyés par les points voisins éprouveront le même

effet puisqu’ils seront très peu obliques sur la face s6, et I œil verra ainsi une double rmage des objets qui sont dansle champ de vision, sans qu’il y ait de déformation sensible, du moins pour ceux de ces objets qui envoient la lumière sous une petite obliquité.

Pour déterminer Vangle de duplication, e, qui appartient au système des prismes, désignons par i, r, ï, les angles ovp, tvp',vtq;paTa les angles réfringens, sba, s’ ah, en sorte que i= a et i' = a—r; et par n, n, les indices de réfraction ordinaire et extraordinaire : il est facile de voir que l’on aura alors :

sin. g n' sin. e sin. r n sin. (a — rj

on a d ailleurs w'=1.5582,et nol. 5484-. Ainsi, après avoir déterminé par les procédés ordinaires l’angle a des prismes, la première équation donnera r, et, celte valeur étant substituée dans la deuxième équation, l’on en déduira la vaeurde e. Ces valeurs seront de 19' 30"; 28' 20"; 40’ 0"* 57' 40" pour des valeurs de a de 30»; 40"; 50°; 60°.

Au lieu de déterminer par le calcul l’angle de duplication l’un prisme donné, on peut aisément le déterminer par l’observation : il suffit pour cela d’éloigner une mire circulaire lyant un diamètre connu d jusqu’à une distance connue z, telle que, en la regardant avec le prisme, ses deux images loient tangentes l’une à l’autre ; alors, il est évident que 'angle de duplication e est égal à l’angle sous lequel on voit a mire à l’œil nu à celte distance z; ainsi, l’on a:

tang. e = — ;

■éciproquement, l’angle e étant connu, on pourrait déterniner d au moyen de z, ou z au moyen de d, pour un objet lont les images seraient en contact.

Le prisme dont il s agit peut s’appliquer de diverses raaûères aux lunettes, dans le micromètre à double image qui

s’appelle aussi micromètre de Rochon, du nom de son inventeur : le prisme est dans le tuhe de la lunette, entre l’objectif et l’oculaire (/îgr. 302), et il peut se mouvoir à volonté, en restant toujours dans l’axe ; on l’approche du foyer de l’objectif jusqu’à une distance fz—h telle que les deux images fm, fm', de l’objet qu’on veut mesurer {fig. 302) soient au contact {fig. 303); alors, entre l’angle visuel /‘cm = « et l’angle de duplication /zm = e , on a évidemment la relation

tang.v. e;

fest la distance focale fc de l’objectif, e est déterminé par l’un des moyens que nous venons d’indiquer; ainsi, il ne restf d’inconnu que la valeur de h,*qui pourrait se mesurer directement sur le tube.

Cependant, il est plus exact de procéder à la graduatioi de la manière suivante : on regarde avec la lunette un mire circulaire dont on connaît le diamètre et la distance et qui soutend par conséquent un angle connu de 20 au 30' on met le prisme au point où il ne fait voir qu’une seul image, c’est le zéro de l’instrument; ensuite on le fait mar cher vers l’objectif, jusqu’au point où les deux images sot en contact : sachant alors que l’angle visuel v est de 30' pf exemple, on marque 30 sur le tube, au point où se trouve i repère du prisme, et l’on divise en 30 parties égales l’inter valle depuis 0, en continuant les divisions au-delà de 30; e visant un autre objet après avoir mis ses deux images t contact, il suffit de lire la division correspondante au repèi du prisme, c’est l’angle visuel de cet objet.

A côté de ces divisions angulaires se trouvent encore écri sur le tube d'autres nombres qui expriment le rapport entre distance et la grandeur d’un objet. Ainsi à côté de 4' est éci 859, ce qui signifie que la distance d’un objet est 859 fois grandeur quand il est vu sous un angle de 4'; ainsi, au moy» de cette seconde division , le micromètre à double ima!

donne la distance d’un objet dont on connaît la grandeur, ou, réciproquement, la grandeur d’un objet dont on connaît la distance.

M. Arago, qui s’est servi de cet instrument pour mesurer le diamètre des planètes, a trouvé de l’avantage à mettre le prisme entre l’oculaire et l’œil : mais alors il faut employer un oculaire particulier dont les verres soient mobiles pour changer à volonté les grossissemens. Par làj on arrive comme dans le cas précédent à établir le contact des deux images : le grossissement g qui remplit ce but, étant connu par la position respective des verres de l’oculaire, il est facile d’en déduire le diamètre apparent d de l’astre ou de l’objet, car on a alors :

e=dg.

Réciproquement, on pourrait déterminer par ce procédé le grossissement d’une lunette : mais pour cela il faudrait éloi- ;ner une mire circulaire jusqu’à ce que ses deux images ussent en contact lorsqu’on les regarde, avec le prisme placé lu devant de l’oculaire; connaissant alors son diamètre apurent d et l’angle e, on en déduirait g.

Ce même procédé pourrait encore être appliqué aux miîroscopes; pour cela, il faudrait placer devant les lentilles obectives un micromètre de verre et le mettre au foyer ; puis, lulieu de l’observer avec la chambre claire, on l’observerait ivec le prisme de Rochon, en le tournant de manière que es deux images fussent dans la môme ligne; alors on reconlaitrait la fraction m de millimètres dont l’une des imagos délasse l’autre, c’est cette fraction amplifiée et devenue g fois lias grande qui, à la distance de la vision distincte d, forme a tangente de l’angle de duplication; ainsi on a :

: tang. e :: d: gm^ d’où g =

d tang. e.